7-3-3 加乘原理之图论 教学目标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力． 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分 步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合． 知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中 的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加 法原理来解决． 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决． 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理， 综合分析，正确作出分类和分步． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问 题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不 可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”． 例题精讲 【例 1】 5 条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这 5 条直线的交点为 顶点能构成几个三角形？ 【考点】加乘原理之图论 【解析】方法一：5 条直线一共形成 5 4 2 10 【难度】3 星    个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另 外 有 3 个 点 ， 此 外 还 有 三 个 不 共 线 的 点 ， 以 这 个 点 为 顶 点 的 三 角 形 就 有          个三角形，以 10 个点分别为定点的三角形一共有 300 个三角形，但 3 3 3 3 3 3 3 2 2 30 每个三角形被重复计算 3 次，所以一共有 100 个三角形． 方法二：只要三点不共线就能构成三角形，所以我们先求出 10 个点中取出 3 个点的种数，再减去 3 点共线的情况．这 10 个点是由 5 条直线互相相交得到的，在每条直线上都有 4 个点存在共线的情 【题型】解答 7-3-3.加乘原理之图论.题库 教师版 page 1 of 4 

况，这 4 个点中任意三个都共线，所以一共有 5 [4 3 2 (3 2 1)] 20 以外再也没有 3 点共线的情况(用反证法可证明之)， 所以一共可以构成10 9 8 (3 2 1) 20 100              种情况．  个三点共线的情况，除此 【答案】100 【例 2】 如图，有这样的两条线，请问从这 5 个点中任选三个点可以构成＿＿＿＿＿个不同的三角形． 【考点】加乘原理之图论 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 4 题 【解析】只要三点不共线，就能构成三角形。 3 C   个 5 【答案】 8 个 2 8 【例 3】 直线 a，b 上分别有 5 个点和 4 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ a b 【考点】加乘原理之图论 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 6 题 【解析】画三角形需要在一条线上找 1 个点，另一条线上找 2 个点，本题分为两种情况： 【题型】解答 【难度】2 星 ⑴在 a 线上找一个点，有 5 种选取法，在 b 线上找两个点，有 4 3 2 6    种 根据乘法原理，一共有： 5 6 30   个三角形； ⑵在 b 线上找一个点，有 4 种选取法，在 a 线上找两个点，有 5 4 2 10    种 根据乘法原理，一共有： 4 10  根据加法原理，一共可以画出： 30 40 70  个三角形．  个三角形； 40  【答案】 70 【巩固】 直线 a，b 上分别有 4 个点和 2 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ a 【考点】加乘原理之图论 【解析】画三角形需要在一条线上找 1 个点，另一条线上找 2 个点，本题分为两种情况： 【题型】解答 【难度】2 星 ⑴在 a 线上找一个点，有 4 种选取法，在 b 线上找两个点，有 1 种，根据乘法原理，一共有：4 1 4   b 个三角形； ⑵在 b 线上找一个点，有 2 种选取法，在 a 线上找两个点，有 4 3 2 6    种，根据乘法原理，一共有： 2 6 12   个三角形； 根据加法原理，一共可以画出： 4 12 16  个三角形．  【答案】16 【巩固】 直线 a，b 上分别有 5 个点和 4 个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？ 【考点】加乘原理之图论 【解析】画四边形需要在每条线上取 2 个点， 【难度】2 星 【题型】解答 在 a 线上取 2 个点共有 5 4 2 10    种， 7-3-3.加乘原理之图论.题库 教师版 page 2 of 4 

在 b 线上取 2 个点共有 4 3 2 6    种， 根据乘法原理，一共可以画出 6 10 60   个四边形． 【答案】 60 【巩固】 三条平行线上分别有 2，4，3 个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些 点为顶点可以画出多少个不同的三角形？ 【考点】加乘原理之图论 【解析】 (方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况 【题型】解答 【难度】3 星 ⑴三个顶点在两条直线上， 一共有 4 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 3 2 3 4 3 55                   个 ⑵三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线， 所以一共有： 2 4 3 24 根据加法原理，一共可以画出 55 24 79 (方法二) 9 个点任取三个点有 9 8 7 (3 2 1 ) 84 都在第三条直线上有1种，所以一共可以画出 84 4 1 79  个三角形．         个    个三角形．  【答案】 79  种取法，其中三个点都在第二条直线上有 4 种， 【例 4】 一个半圆周上共有 12 个点，直径上 5 个，圆周上 7 个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？ 【难度】2 星 【题型】解答 【考点】加乘原理之图论 35 【解析】第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有 7 6 5 2 1    种；  （ ） 种； 第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有 7 6   第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有 7 5 4    根据加法原理，一共可以画出 35 105 70 （ （ ） 2 1 3 2 1 5 105 70        种． 210   ） 种； 【答案】 210 【例 5】 在一个圆周上均匀分布 10 个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？(补充知识： 由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如 果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形)． 【难度】3 星 【考点】加乘原理之图论 【解析】由于 10 个点全在圆周上，所以这 10 个点没有三点共线，故只要在 10 个点中取 3 个点，就可以画出 一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小 的圆周上，则这三个点构成钝角三角形， 这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之 间仅相隔一个点，这样的三角形有10 1 10   个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形 有10 2   个，所以一共可以 画出10 20 30 60    个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10 3 30  个钝角三角形． 【题型】解答 20  【答案】 60 【例 6】 从 1 至 9 这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字 种不同的挑法来．(六个数字相同、排列次 之和都是不能被 3 整除的奇数，那么最多能找出 7-3-3.加乘原理之图论.题库 教师版 page 3 of 4 

序不同的都算同一种) 【考点】加乘原理之图论 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶，因此，应从 2，4，6，8 中选 3 个数填入 3 个不相邻的 【题型】解答 【难度】2 星 圆圈中，下面就按此分类列举： ⑴填入 2，4，6，这时 3 与 9 不能同时填入(否则总有一个与 6 相邻， 3 6 或 9 6 能被 3 整除)，没 有 3，9 的有 1 种：1，5，7，经试填，不成立；有 3 或 9 的，其它 3 个奇数 1，7 中选一个，5 必 选，有 2 种选法，因此有 2 2   种． ⑵填入 2，4，8，这时 1，7 不能填入(因为 7 2 ，7 8 ，1 2 ，1 8 都能被 3 整除)，从其余 3 个奇 4 数中选出 1 个，有 1 种选法． ⑶填入 2，6，8，这时 1，7 不能填入，故无法填． ⑷填入 4，6，8，这时 3 与 9 只能任选一个，1 与 7 也只能任选 1 个，第三个数是 5，因而有 2 2   4 种选法． 根据加法原理，总共有 4 1 0 4 9     种选法． 【答案】 9 7-3-3.加乘原理之图论.题库 教师版 page 4 of 4