6-3-4 工程问题（二）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.33M 资料格式：doc 举报版权申诉

第1页 / 共13页

第2页 / 共13页

第3页 / 共13页

第4页 / 共13页

第5页 / 共13页

第6页 / 共13页

第7页 / 共13页

第8页 / 共13页

文本预览

工程问题（二）教学目标 1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； 2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； 3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； 4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： ① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； ② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； ③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； ④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲 2-3-4.工程问题.题库教师版 page 1 of 13

模块一、工程问题——变速问题【例 1】甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打 32 个字．前后共打 50 分钟，前 25 分钟比后 25 分钟少打 640 个字．文稿一共（）字．【题型】解答、【难度】3 星【考点】工程问题【关键词】走美杯，三年级，初赛，四年级【解析】由“前 25 分钟比后 25 分钟少打 640 个字”，可知：多打这 640 个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），那么就知饭前用了 30 分钟，饭后用了 20 分钟，如果这 640 个字全部用饭前的速度打，则需要 10 分钟，故可知饭前的速度是 64 个字每分钟，饭后的速度是 96 个字每分钟，则文稿一共有： 64×30+96×20=3840 个字。【答案】3840 【例 2】工厂生产一批产品，原计划 15 天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多 10 件，结果提前 4 天完成了生产任务，则这批产品有件。【考点】工程问题【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】设工厂原计划每天生产产品 x 件，则改进生产工艺后每天生产产品的数量为 5 11 【题型】解答、【难度】3 星 x  件。 10 根据题意有 15 x  ( 5 11 x  【答案】165 件 10) 11  ，解得 11 x  。所以这批产品共有 11×15=165（件）。【例 3】甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400 元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获 5040 元．实际上从第 5 天开始，甲队的工作效率提高了 1 倍，这样甲队最终可比原计划多获得 960 元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？【难度】3 星【考点】工程问题【解析】开始时甲队拿到 8400 5040 3360   【题型】解答  ；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为 (3360 960) : (5040 960) 18:17 ．设甲开始时的工效为 “2” ，那么乙的工效为 “3” ，设甲在提高工效后还需 x 天才能完成任务．有元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为 3360 :5040 2 :3    (2 4 4 ) : (3 4 3 ) 18:17      x x ，化简为 216 54  x  136 68  x ，解得 x  ．工程总量为 40 7 5 4 7    40 7 【答案】12 天  ，所以原计划 60 (2 3) 12  天完成． 60   【例 4】甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 1 10 ，乙的工作效率比单独做．甲、乙两人合作 6 小时，完成全部工作的 2 5 ，第二天乙又单独做了 6 小时，还留下这件尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？【难度】4 星【题型】解答时提高 1 5 工作的 13 30 【考点】工程问题【关键词】人大附中【解析】乙的工作效率是： 2   5 单独由甲做需要： 1 33 (1 1   13 30   ，甲的工作效率是： 2 ) 6 ( 5 1 36   6 1 36  5 1  ) 5 (1   1 10 )  ，所以， 1 33 33 (小时)． 2-3-4.工程问题.题库教师版 page 2 of 13

【答案】 33 小时【巩固】一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的 4 5 ，乙只能完成原来的 9 10 合做多少天? ．现在要 8 天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要【考点】工程问题【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由【题型】解答【难度】4 星甲单独完成．现设两人合作 x 天，则甲单独做 8- x 天，于是得到方程( 1 10 × x + 1 10 ×(8- x )=l，解出 x =5.所以，在满足条件下，两人至少要合作 5 天．【答案】5 天 ×80 ％+ 1 15 ×90 ％) 【巩固】要发一份资料，单用 A 传真机发送，要 10 分钟；单用 B 传真机发送，要 8 分钟；若 A、B 同时发送，由于相互干扰，A、B 每分钟共少发 0.2 页。实际情况是由 A、B 同时发送，5 分钟内传完了资料（对方可同时接收两份传真），则这份资料有________页。【考点】工程问题【关键词】希望杯，六年级，一试【解析】没受干扰时传真机的合作工作效率为 1 10 【难度】4 星 0.2 (  9 40  1 5 ) 8  （页）【答案】5 天【题型】解答   ，而实际的工作效率为 1 1 8 5 9 40 ，所以这份资料共有【例 5】甲、乙两人合作清理 400 米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快 1 3 ，中途乙曾用 10 分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过 1 小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？【考点】工程问题【关键词】四中，入学测试，希望杯，六年级，2 试【解析】法一：直接求【难度】4 星【题型】解答首先求出甲的工作效率，甲1 个小时完成了 200 米的工作量，因此每分钟完成 200 60   （米）， 10 3 开始的时候甲的速度比乙快 1 3 ，也就是说乙开始每分钟完成为 10 3 (1   1 3 )  （米），换工具之后， 2.5 工作效率提高一倍，因此每分钟完成 2.5 2 5   （米），问题就变成了，乙 50 分钟扫完了 200 米的雪，前若干分钟每分钟完成 2.5 米，换工具之后的时间每分钟完成了 5 米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫 2.5 米，那么 50 分钟应该能扫 2.5 50 125 （米），比实际少了 200 125 75  （米），因此换工具后的工作时间为 75 2.5 30 法二：其实这个问题当中的 400 米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为 3 ，甲比他快 1 3 ，甲每分钟可以清理 4 ，60 分钟之后，甲一共清理了 4 60  （米），这是因为换工具后每分钟多扫了 5 2.5 2.5  （分钟）.  份的工作量，乙和他的工作总量 240       2-3-4.工程问题.题库教师版 page 3 of 13

相同，也是 240 份，但是乙之前的工作效率为 3 ，换工具后的工作效率为 6 ，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了 (240 3 50)  分钟。 (6 3) 30     【答案】 30 分钟【例 6】甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工 40 个，当甲完成任务的 1 2 时，乙完成了任务的还差 40 个．这时乙开始提高工作效率，又用了 7.5 小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下 20 1 2 个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？【题型】解答【难度】4 星【考点】工程问题【关键词】十三分，入学测试【解析】当甲完成任务的 1 2 时，乙完成了任务的 1 2 还差 40 个，这时乙比甲少完成 40 个；当乙完成全部任务时，甲还剩下 20 个零件没完成，这时乙比甲多完成 20 个；所以在后来的 7.5 小时内，乙比甲多完成了 40 20 60 个．所以提高工效后乙每小时完成 40 8 48    个．  个，那么乙比甲每小时多完成 60 7.5 8   【答案】 48 个【例 7】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要 12 天，二队完成乙工程要 15 天；在雨天，一队的工作效率要下降 40% ，二队的工作效率要下降10% ．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【考点】工程问题【解析】在晴天，一队、二队的工作效率分别为 1 12 【难度】4 星【题型】解答和 1 15 ，一队比二队的工作效率高 1 1 12 15   ；在雨天， 1 60 一队、二队的工作效率分别为 1 12  1 40%     和 1 20 1 15  1 10%     ，二队的工作效率比一队高 3 50  知，3 个晴天 5 个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程 5:3 1 20  3 50 的 1 12 1  ．由 1 100 1 20 1: 60 100 1 2 5   3   ，所以在施工期间，共有 6 个晴天 10 个雨天．方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。【答案】10 个雨天【例 8】一项挖土万工程，如果甲队单独做，16 天可以完成，乙队单独做要 20 天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高 20％．当工程完成 1 4 了 47.25 方土，结果共用了 10 天完成工程．问整工程要挖多少方土? 时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖【考点】工程问题【解析】甲、乙合作时工作效率为( 1 16 【难度】4 星 + 1 20 下水后，甲、乙两队又工作了 10- 50 27 到地下水前后工作效率的差为: 27 200 = 220 27 - 81 880 【答案】1100 方土【题型】解答 )×(1+20%)= 27 200 的工程量需．则 1 4 = 50 27 (天)．则此时甲、乙合作的工作效率为 3 4 ÷ 27 200 1 4 (天)，则遇到地 ÷ 220 27 = 81 880 ．遇 = 189 4400 ，则总工作量为 47.25÷ 189 4400 =1100 方土. 【例 9】甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要 10 天，乙完成工程需要 16 天；雨 2-3-4.工程问题.题库教师版 page 4 of 13

天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的 30% 和 80% ．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是天．【难度】4 星【考点】工程问题【关键词】希望杯，六年级，1 试【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为 1 10 在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为 1 10 【题型】解答和 1 16 ，甲队比乙队的工作效率高 1 1 10 16   ； 3 80  30%  和 1 3 100 16  80%  ，乙队的工作效率比甲队高 1 20  ．由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴  1 50 1 3 20 100 天与雨天的天数比为 1 3: 50 80  8:15 ． 3 如果有 8 个晴天，则甲共完成工程的 1 10 100  个晴天，15 1.25 12 共有 8 1.25 6.4  个雨天．   8    15 1.25  ，而实际的工程量为 1，所以在施工期间，【答案】12 个雨天【例 10】一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的 11 2 倍，上午在甲工地工作的人数是乙工地人数的 3 倍，下午这批工人中的 5 12 在乙工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需 4 名工人再做一天。这批工人有人。【考点】工程问题【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 “甲工地的工作量是乙工地的工作量的 11 2 【难度】3 星【题型】解答倍”说明甲、乙的工作量只比为 3：2。可设这批工人有 X 人，每个工人的工效都为 1，列式为： 3 4 X：（ 5 12 X+4）=3：2 X= 5 4 X+12 6 4 1 4 X=12 X=48 所以这批工人有 48 人。【答案】48 人模块二、工程问题方法与技巧整体分析法【例 11】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的 1 2 ，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的 1 3 ，丙生产了 50 个。这批玩具共有_________________个. 【考点】工程问题【关键词】希望杯，六年级，二试【难度】3 星【题型】解答 2-3-4.工程问题.题库教师版 page 5 of 13

【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的 1 2 ，则总和为 3 ，甲占了1份，甲占了总数的 1 3 ；乙是甲丙和的 1 3 ，同理可知乙占了总数的 1 4 50 5 12 【答案】120 个   （个）. 120 ，那么可知丙生产的玩具占总数的 1 3 1 1 4 5 12    ，所以总数是【例 12】几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的 4 倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下 12 人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？【考点】工程问题【关键词】西城实验【解析】有 12 人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草【题型】解答【难度】3 星 )，所以这些人在上午也能割甲地 1 4 (甲地草的 1 4 1  ，全部的草为甲地草的 5 4 16 草为 3 4 ， 5 12  1 4 16  的草，所以 12 人一天割了甲地 3 4 的草，每人每天割  ，所以共有 20 名学生． 20 【答案】20 名学生【巩固】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的 11 2 倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3 倍，下午这批工人中有 7 12 晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 4 名工人再做1 天，那么这批工人有多少人？的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍【考点】工程问题【解析】根据题意，这批工人的人数是 12 的倍数，设这批工人有12x 人．【题型】解答【难度】3 星那么上午有 9x 人在甲工地，有 3x 人在乙工地；下午有 7x 人在甲工地，有5x 人在乙工地．所以甲工地相当于   人做了一整天；乙工地相当于 2 8   人做了一整天． 3 5 2 4 9 7   x x  x  x x x 由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的 3 2 倍，假设甲工地的工作量是 3 份，那么乙工地的工作量是 2 份．8x 人做一整天完成 3 份，那么 4x 人做一整天完成 3 2 1 2 x  ，那么这批工人有12 3 36 份需要 4 名工人做一整天，所以甲工地的 3 份需要 (人)．      4 3   3 【答案】 36 人份，所以乙工地还剩下 3 2 2 1 2   份．这 1 2     24 人做一整天，即 8 x  ，可得 24 【例 13】有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要 6 小时，乙需要 7 小时，丙需要 14 小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲小时，帮乙小时．【考点】工程问题【关键词】希望杯，六年级，2 试【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完【题型】解答【难度】3 星 2-3-4.工程问题.题库教师版 page 6 of 13

成工作的总时间为 2 (  1 6   1 7 1 14 )  小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙 21 4 则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是 1 6  ，所以丙帮甲搬了 7 7 8 8 31  小时，那么丙帮乙做的时间为 21 4 4 的时间为 1  小时． 21 4 1 2 3 4 1 1 3   1 8   的货物，丙帮甲做  1 8 14 小时，丙帮乙 13 2 小时．【答案】丙帮甲 31 4 【巩固】搬运一个仓库的货物，甲需10 小时，乙需12 小时，丙需15 小时．有同样的仓库 A 和 B ，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了： 2 (  时，丙帮助乙搬运了 8 3 5   小时．【答案】 5 小时 1 1 1 10 12 15   ) 8  小时，丙帮助甲搬运了 1     1 10  8     1 15  3 小【例 14】甲、乙、丙三队要完成 A ， B 两项工程， B 工程的工作量是 A 工程工作量再增加 1 4 ，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成 A 工程所需要的时间分别是 20 天， 24 天， 30 天．现在让甲队做 A 工程，乙队做 B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做 B 工程若干天，然后再与甲队合做 A 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【难度】4 星【题型】解答【考点】工程问题【解析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设 A 工程的工作总量为单位 “1”，那么 B 工程的工作量就是“ 5 4 三队合作完成两项工程所用的天数为： 5  4 ”，那么这个问题就和例 5 联系到了一起了。天。18 天里，乙队一直在完成 B 1 20 1 24 1 30 18 1                 工作，因此乙的工作量为 1 24  18  ， B 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在 B 工程上用了 3 4 5 4 1 30 3   4    15 天也就是说两队合作了15 天。    解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率  工作时间  工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．【答案】15 天【例 15】甲、乙、丙三人同时分别在 3 个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用 10 小时，乙用 12 小时，丙用 15 小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在 A 仓库，乙在 B 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了 16 个小时将两个仓库同时搬完．丙在 A 仓库搬了多长时间？【考点】工程问题【解析】因为 A 、 B 两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么 8 小时可【题型】解答【难度】4 星以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是 1 1 1 10 12 15 : :  6 :5: 4 ，所以甲每小时可以完成大仓库工作量的 1  6 8 6 5 4    1 20 ，丙每小时可以完成大仓库工作量的 1  4 8 6 5 4   2-3-4.工程问题.题库教师版  1 30 ．那么甲 16 小 page 7 of 13

时完成了 A 仓库的 1 20  16  ，丙在 A 仓库搬了 4 4  5 5 (1 )  1 30  小时． 6 【答案】 6 小时【例 16】一项工程，乙单独做要17 天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【难度】4 星【考点】工程问题【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比【题型】解答甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为 1V 和 2V ，那么 1 V V 2   ， V 1 1 2 V 所以 1 【答案】 8.5 天 V ，乙单独做要用17 天，甲的工作效率是乙的 2 倍，所以甲单独做需要17 2 8.5   天． 22 【例 17】一项工程，甲单独完成需 l2 小时，乙单独完成需 15 小时。甲乙合做 1 小时后，由甲单独做 1 小时，再由乙单独做 1 小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。【考点】工程问题【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】甲乙合做 1 小时后，还剩下： 1  【难度】3 星【题型】解答  1 1 15 12 17  ，甲乙单独做 2 小时，共做 1 20 ，需要甲做 1 小时，还有 1 1  ，乙还需要做 1 60 1 15 12 1 1 60 15 4 1 10 12    ，还需要做 2×5=10 3 20   小时，一共需要 1+10+1+ 小时，还剩下 1 10 0.25=12.25 小时【答案】 8.5 天【例 18】一项工程，甲单独做要 12 小时完成，乙单独做要 18 小时完成．若甲先做 1 小时，然后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【考点】工程问题【解析】① 若甲、乙两人合作共需多少小时？【难度】4 星【题型】解答 1     1 1 12 18     1   5 36  7 1 5 （小时）． ②甲、乙两人各单独做 7 小时后，还剩多少？ 1 7      ③余下的 1 36 1 1 12 18  1      35 36  1 36 ．由甲独做需要多少小时？ 1 1 36 12   （小时）． 1 3 ④共用了多少小时？ 7 2    1 3 14 1 3 （小时）．在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做 1 小时，乙做 1 小时，相当于他们合作 1 小时，也就是每 2 小时，相当于两人合做 1 小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的 2 小时，余下部分问题就好解决了． 2-3-4.工程问题.题库教师版 page 8 of 13

分享到：

赞收藏

资料库

6-3-4 工程问题（二）.教师版.doc

相关推荐

小学奥数

热门标签

最新资料