换元法 教学目标 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合， 更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的 小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元， 要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换 元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】 计算： 1   2 (1 例题精讲 1 4   1 2 1 4  ) ( 1 6 )     (1 1 2 1 4 【考点】换元法     ， 1 【解析】令 1 2 2 1 4 1 6 1 a 【难度】2 星    ，则： b ) ( )   1 4 1 2 1 6 【题型】计算 1 6 1 4 1 6 原式  ( a   ab  1 6 1 6 )    b a ( b  ) b ab  a  1 6 11    6 1 6  1 ( 6 a b  ) 【答案】 1 6 (1 【巩固】 1 【巩固】 2 【考点】换元法 【解析】设 1 2 1 3 1 4    1 3 1 4 )  ( 1 2 ) 1 5 1 4    1 3 【难度】2 星 (1      1 2 1 3 1 4 1 5 )  ( 1 2   1 3 1 4 ) a    ，则原式化简为： 1 ( + )( + )- a a 【题型】计算 1 5 + )= a 1 5 (1 a 1 5 【答案】 1 5 【巩固】计算： 621 【巩固】 126     739 358 【考点】换元法 621 126 【解析】令  原式   a 739 358    b   458 947 378 207         739 458 947 358 【难度】2 星  458 947  378 207      621 126 739   358  【题型】计算  458 947  378 207        739 358  458 947     ； a     a      739 358 378 207    458 947  ， b  b   a b   378  207  621 378 126 207   9 1-3-5.换元法.题库 教师版 page 1 of 5 

【答案】 9 【巩固】计算：( 0.1 0.21 0.321 0.4321 【巩固】       ) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321  ) ( 0.21 0.321 0.4321 ( 0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321  【难度】2 星 y  x    【题型】计算  ， 0.21 0.321 0.4321 0.54321 x ) 0.054321   ( y 0.1 ，     原式  ( 0.1 x ) y  ( 0.1 y ) 【考点】换元法 【解析】设 0.21 0.321 0.4321 x    )  ) 【答案】 0.054321 【巩固】计算下面的算式 【巩固】  ( 7.88 6.77 5.66  【考点】换元法 【关键词】希望杯，2 试 【解析】换 元 的 思 想 即 “ 打 包 ” ， 令 a  ( 10 【答案】 0.2 b  10 a  ( 7.88 6.77 5.66 9.31 10.98 )  ( 10  ) b  (  a   ab  10  ) ( 9.31 10.98 10  【难度】2 星   )  ( 7.88 6.77 5.66 10  【题型】计算  ) ( 9.31 10.98  ) 7.88 6.77 5.66  ) 10 b   )  (  ) 10 0.02 0.2  a  ab    10 ab ， a ab 9.31 10.98 b  10 b    ( a b ) 10 ， 则 原 式  【巩固】 (1 0.12 0.23) 【巩固】    (0.12 0.23 0.34)     (1 0.12 0.23 0.34)    (0.12 0.23)   ____ 。 【考点】换元法 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】设 0.12 0.23    ， 0.12 0.23 0.34  【难度】2 星 【题型】计算  b  1    b b      b a a 0.34 a  原式  1   a 【答案】 0.34 【巩固】计算：⑴ (1 0.45 0.56 【巩固】  ⑵ 621 126      739 358  ) ( 0.45 0.56 0.67 378   207   739 358 【难度】2 星  458 947 458 947  621 126 )  (1 0.45 0.56 0.67     739 358 【题型】计算  458 947              【考点】换元法 【关键词】迎春杯 【解析】⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 0.45 0.56  ) ( 0.45 0.56 378 207  739 358 ) 458 947            ， 0.45 0.56 0.67 b    ， 有原式  (1 a ) b  (1 b ) ⑵ 设 a     原式   a b     621 126 378 207 739 358          a  458   947  378 207 【答案】⑴ 0.67 ⑵ 9    b ab a ab b a a    739 358      b ，   b ( a b  )      621 378 126 207   9   458   947  378 207 a  0.67 【巩固】计算： 5 ( 【巩固】 12  7 3 32 17  【考点】换元法 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】设 5  、 7 12 7 3 32 17 a  b   3 32 17  ，则有 )      7 3 32 17 【难度】2 星  4 13     5 12       4 7 3   32 17 13  【题型】计算     7 3 32 17     = 。 1-3-5.换元法.题库 教师版 page 2 of 5 

 4 13     b a b  ) 原式   a b          a   4 ( 13  4 13 4 13  b 5 39   a  4 13 4 5 13 12  【答案】 5 39 【例 2】 计算： 1      1 2  【考点】换元法 【解析】令 1 2 原式  1  1 3 a     2007  1    b b  a  【答案】 1 2008 【巩固】 1  【巩固】  11   1 21  1 31  1 41    【考点】换元法 【解析】设 1 11  1 21  1 31 原式   a b      ab  1 51 a ab  b   1 51 1 41    1 51 1 1 51 11   a b  )   1 ( 51 【答案】 1 561  1 561    1        1 2 2007 【难度】3 星 1 ， 1 2 1 3 1 3 b      1 2008     1      1 2   1 2008        1 2   1 3   1 2007    【题型】计算  1 2008 ，     b ab a ab b a      a 1 2008 1 1 41 51         1 11  1 1 21 31   1 1 41 51         1 1 21 31   1 41    【题型】计算    1 31 1 21    【难度】2 星  ， 1 1 a 21 31 1   51        a b  1 41  ， b 1 1 9 11  ） ( 1 7   1 1 1 9 11 13  【难度】2 星 ) 1  （ 5 1    1 1 1 7 9 11 13 【题型】计算  )  ( 1 7   1 1 9 11 ) 1 7 1 7       【巩固】计算 1 （ 【巩固】 5 【考点】换元法 【关键词】清华附中 1 【解析】设 1 1 9 11 5 1   13  1 13     A B A   A B 原式 B      1 13 A A B    1 1 13 5   B 1 13 1 65  ， B  ， 1 A 7        A    1 1 9 11 1   13  B  【答案】 1 65 1-3-5.换元法.题库 教师版 page 3 of 5 

    1 4  1       1 3 1 2 1 4 1 3 1 2     【巩固】计算 【巩固】    【考点】换元法      ， 1 【解析】设 1 2 2 1 6 1 5 【难度】2 星 1 4  B     1 5 1   6  原式  1 3 1 4 1 3       A A B A 1     1 5 1 5          1 1 3 1 2 1   4  【题型】计算 1 5 1 6        1 2 1 6     B    1 3 1 4 1 5    A B        A A B 1 6 B  1 6    A 1 6 B   ( A B ) 1 6  1 6 1 6 【答案】 1 6 【例 3】 计算：    1 2    3 4   2 9 10        1 2    3 4   9 10      1 2    2 3 1    2 3   9 10        2 3   3 4   9 10    1 2 2 3 【考点】换元法 【关键词】迎春杯 【解析】设 1 2 2 3 t     3 4 【难度】2 星 【题型】计算  9 10 ，则有 2 t (1     t 1 2 t )    t  1 2     2 t  1 2 t  2 t       t t 2 1 2     1 2 【答案】 【例 4】 计算 2  3  1 1 1 4    1 1 2009  1  1  3  【考点】换元法 【难度】4 星 1 1 1 1 1 4    1 2009 【解析】设 3N   4  【答案】1 1 1  1 2009 . 原式= + 1  2 1 N 1  1  1 1 N 【题型】计算 1 = 2 1  + 1N N 1 N N  1 1  = N N  2 1  N 2 N 1  1   1 . 【例 5】 计算：       2 8 2 11  2 11 2 8 【考点】换元法         11 8 8 11       【难度】3 星         1  8 11  11 8        1 1 8 11     2     【题型】计算 【解析】 (法一)设 8 11 x  ，则原式  1      x 1 2 x       x 1 x 1   x 2 x 2  x 1   x  2 11 2 8     1 88 2 8 2 11 1 88 2 88 88  2  2      ．  ，那么 2 x   ，所以 (法二)设 x  而 2    1 1 8 11     8 11 1 2 8  11 8  1 2 11 这样原式转化为  1    2 8 11  2 x x     2 x   x 2  2 2 8 2 11 8 11 8 11     2 2 11 8  x   x   x x   2 2 1 88  88 ．   2 11 2 8  2 x  ． 2    x 1   x  2    1 88 ． 1-3-5.换元法.题库 教师版 page 4 of 5 

在这里需要老师对于 a b     c d     a b     c  a b     d ac bc ad    的计算进行简单的 bd 说明. 【答案】 88 【例 6】 计算： 2 2010  2009 2011 1  【难度】2 星 【考点】换元法 【解析】设 a  2009, 1) a  （ +2 a a  （ ） 原式  2 2 2 a a   2 a 2 a   1 1  1  1 【答案】1  【巩固】计算 2008 2009 2007 【巩固】 2008 2009 1  【难度】2 星 （4 级）    原式 【考点】换元法 【解析】设 2008 a  ( 1)( a a a    ( 1) 1 a a   2 1 a a   1 a a   1   2 1) 【题型】计算 【题型】计算 【答案】1 1-3-5.换元法.题库 教师版 page 5 of 5