7-7-5.容斥原理之最值问题 教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，  (其中符号“  ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“  ” 用式子可表示成： A B A B A B 读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．     1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1次； 2．再排除—— A B A B    把多加了1次的重叠部分 A B 减去． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B、 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A B、 的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把 A B、 的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B 二、三量重叠问题   (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数  既是 A 类又是 B 类 的元素个数  既是 B 类又是 C 类的元素个数  既是 A 类又是 C 类的元素个数  同时是 A 类、 B 类、 C 类的元 素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C   ．图示如下：             A B 图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数． C A B C 1．先包含： A B C   A B C 重叠部分 A B 、B C 、C A 重叠了 2 次，多加了1次．    2．再排除： A B C A B B C A C     重叠了 3 次，但是在进行 A B C 重叠部分 A B C A B B C A C  计算时都被减掉了．                在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 3．再包含： A B C A B B C A C A B C   ．     7-7-5.容斥原理之最值问题.题库 教师版 page 1 of 5 

例题精讲 【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级12 道题，并且至少有 8 道题与其他各年级 道决赛试 都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现 3 次。本届活动至少要准备 题。 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 9 题 【解析】每个年级都有自己 8 道题目，然后可以三至五年级共用 4 道题目，六到八年级共用 4 道题目，总共有 8 6 4 2 56     （道）题目。 【答案】 56 题 【例 2】 将 1～13 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中，然后把每个 圆内的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于 被重复计算多的区格中，最大和为： 13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240. 【答案】 240 【例 3】 如图，5 条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有 1994 个点被染成红色，那么在 这个五角星上红色点最少有多少个? 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置 恰 有 红 色 点 ， 那 么 在 五 角 星 上 重 叠 的 红 色 点 最 多 ， 所 以 此 时 显 现 的 红 色 点 最 少 ， 有 1994×5-(2-1)×10=9960 个． 【答案】 9960 【例 4】 某班共有学生 48 人，其中 27 人会游泳，33 人会骑自行车，40 人会打乒乓球．那么，这个班至少 有多少学生这三项运动都会？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】（法 1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有 27 人，会骑自行车的有 33 人， 【解析】 而总人数为 48 人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有 27 33 48 12 该情况可以用线段图来构造和示意：  人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有12 40 48 4  人.     23|24 0|1 15|16 27|28 48| 27人 总人数 游泳 自行车 游泳 48人 33人 40人 （法 2）设三项运动都会的人有 x 人，只会两项的有 y 人，只会一项的有 z 人， 那么根据在统计中会 n 项运动的学生被统计 n 次的规律有以下等式： 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库 教师版 page 2 of 5 

y x   27 33 40 3 2 z         48 z y x   , 0 , x y z   由第一条方程可得到 100 3 x 52 100 2 y   ① y  ，即 2 而第二条式子还能得到式子 52 联立①和②得到 48 48 x  ，即 4 z    ，即 2 x 48 2   y x y x 【答案】 4  ，将其代入第二条式子得到： x   y 48   ② x x  ．可行情况构造同上． 【巩固】某班有 50 名学生，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 23 人，参加英语竞赛的有 20 人，每 人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人． 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】根据题意可知，该班参加竞赛的共有 28 23 20 71 【解析】      ，所以至多有 35 人参加两科，此时还有 1 人参加 1 科．  人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参 加 2 科的，有参加 1 科的，也有不参加的，共是 71 人次．要求参加两科的人数最多，则让这 71人 次尽可能多地重复，而 71 2 35 那么是否存在 35 人参加两科的情况呢？由于此时还有 1 人是只参加一科的，假设这个人只参加数学 一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有 (28 22 20) 2 15    人，参加语文、英语两科的共  人．也就是说，此时全班有 15 人参加语文、 有 28 15 13 数学两科，13 人参加语文、英语两科，7 人参加数学、英语两科，1 人只参加数学 1 科，还有 14 人 不参加．检验可知符合题设条件．所以 35 人是可以达到的，则参加两科的最多有 35 人．（当然本题 中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）  人，参加数学、英语两科的共有 20 13 7 1    【答案】 35 【巩固】60 人中有 2 3 的人会打乒乓球， 3 4 的人会打羽毛球， 4 5 问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 的人会打排球，这三项运动都会的人有 22 人， 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有 x 人，只会打乒乓球和排球两项的有 y 人，只会打羽毛球和排 【解析】    x x y    0 0 0     22  22  22 y   z   z   球两项的有 z 人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于 0 ，所以 x 、 y 、 z 有如下关系：  40  45   48  将三条关系式相加，得到  40 45 48 别取 7 、11、15 时，不等式组成立）． z  人，所以 60 人当中三项都不会的人数最多 4 人（当 x 、 y 、z 分    ，而 60 人当中会至少一项运动的人数有 x 2 22 56     33    y x y  z 【答案】 4 【例 5】 图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有 33，44 和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为 25 本，同时 有乙、丙签名的图书为 36 本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过? 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】设甲借过的书组成集合 A，乙借过的书组成集合 B，丙借过的书组成集合 C．A =33, B =44，C =55， 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库 教师版 page 3 of 5 

   A   B C A B    最大时， A B C A B =29， A C =25， B C =36． 本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与 100 作差即可． A B C  当 A B C 有一人借过的书最多． 而 A B C 最大为 25．此时 A B C 所以这批图书中最少有 33 本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．   最大不超过 A 、B 、C 、A B 、B C 、A C A C    有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少 A B C   , B C   =33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为 67 本， 6 个数中的最小值，所以 A B C       【答案】 33 【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有 100 个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已 知甲读了 75 个故事，乙读了 60 个故事，丙读了 52 个故事．那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最 少有多少个? 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35 个，此时甲单独读过的为 75-35=40 个， 乙单独读过的为 60-35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在 某端，于是三者都读过书最少为 52-40=12 个． 【答案】12 【例 6】 某数学竞赛共 160 人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有 136 人，做对第二题的有 125 人，做 对第三题的有 118 人，做对第四题的有 104 人。在这次决赛中至少有____得满分。 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 10 题 【解析】设得满分的人都做对 3 道题时得满分的人最少，有 136+125+118+104-160  3=3(人)。 【答案】 3人 【例 7】 某班有 46 人，其中有 40 人会骑自行车，38 人会打乒乓球，35 人会打羽毛球，27 人会游泳，则该 班这四项运动都会的至少有 人。 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】不会骑车的 6 人，不会打乒乓球的 8 人，不会羽毛球的 11 人，不会游泳的 19 人，那么至少不会一 项的最多只有 6+8+11+19=44 人，那么思想都会的至少 44 人 【答案】 44 人 【例 8】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75 盆， 丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】为了恰好被 3 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的 花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是 30 盆，那么接下来就变成乙浇 了 45 盆，丙浇了 50 盆，丁浇 60 盆了，这时共有100 30 70  盆花，我们要让这 70 盆中恰好被 3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被 3 个人浇过的花最少有 45 50 60 140 15 盆．      【答案】15 【巩固】 甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水．已知甲浇了 78 盆，乙浇了 68 盆，丙浇了 58 盆，那么 3 人都浇 过的花最少有多少盆? 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46 盆，此时甲单独浇过的为 78-46=32 盆，乙单独浇过的为 68-46=22 盆； 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库 教师版 page 4 of 5 

欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少 为 58-32-22=4 盆． 【答案】 4 【巩固】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75 盆， 丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问恰好被 1 个人浇过的花最少有多少盆？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】100 盆花共被浇水 275 次，平均每盆被浇 2.75 次，为了让被浇 1 次的花多，我们也需要被浇 4 次的 花尽量多，为 30 盆，那么余下 70 盆共被浇 155 次，平均每盆被浇 2.21次，说明需要一些花被浇 3 次才可以．我们假设 70 盆都被浇 3 次，那么多出 55 次，每盆花少浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变 27 次，所以本题答案为 27 盆． 【答案】 27 7-7-5.容斥原理之最值问题.题库 教师版 page 5 of 5