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2020-2021年北京西城高一数学下学期期中试卷及答案.doc
2020-2021 年北京西城高一数学下学期期中试卷及答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）.
1．若 sinα＜0，且 cosα＞0，则角α是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．已知角α终边经过点 P（﹣4a，3a）（a＜0），则 2sinα+cosα的值为（
）
A．
B．
C．0
D． 或
3．若向量 ＝（1，2）， ＝（1，﹣1），则 2 + 与 ﹣ 的夹角等于（
）
A．﹣
B．
C．
D．
4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持（
）
A．平行
C．相交但不垂直
B．垂直
D．异面
5．tan（﹣40°），tan38°，tan56°的大小关系是（
）
A．tan（﹣40°）＞tan38°＞tan56°
B．tan38°＞tan（﹣40°）＞tan56°
C．tan56°＞tan38°＞tan（﹣40°）
D．tan56°＞tan（﹣40°）＞tan38°
6．使 sinx＞cosx 成立的 x 的一个变化区间是（
）
A．（﹣π，﹣
）B．（﹣
，0） C．（﹣ ， ） D．（ ，
）
7．已知α∈（0，π），且
，则α＝（
）
A．
8．函数
（
）
B．
C．
D．
（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则
A．
C．
B．
D．
9．在锐角△ABC 中，设 x＝sinA•sinB，y＝cosA•cosB．则 x，y 的大小关系为（
）
A．x≤y
B．x＞y
C．x＜y
D．x≥y
10．已知 sinα+sinβ＝1，则函数 y＝sinα﹣cos2β的值域是（
）
A．[﹣ ，0]
B．[﹣ ，2]
C．[0，2]
D．[﹣ ，+∞）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的横线上）
11．
＝
．
12．已知 sinα﹣cosα＝ ，则 sin2α＝
．
13．在△ABC 中，AC＝6，cosB＝ ，C＝ ，则 AB 的长是
．
14．已知向量 ， 的夹角为 60°，| |＝2，| |＝1，则| +2 |＝
．
15．对于函数 f（x）＝cosx+sinx，给出下列四个命题：
①函数 f（x）为奇函数；
②存在α∈（0， ），使 f（α）＝ ；
③存在α∈（0， ），使 f（x+α）＝f（x+3α）恒成立；
④存在θ∈R．使函数 f（x+θ）的图象关于 y 轴对称；
其中正确的命题序号是
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知α∈（ ，π），且 sinα＝ ．
（Ⅰ）求 tan（α﹣ ）的值；
（Ⅱ）求
的值．
17．已知函数 f（x）＝sin22x+
sin2x•cos2x．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若 x∈[ ， ]，求 f（x）的最大值与最小值．
18．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求 C；
（Ⅱ）若 c＝ ，△ABC 的面积为
，求△ABC 的周长．
19．如图所示，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是 BC、C1C、C1D1、A1A 的中点．求
证：
（1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面 BB1D1D；
（3）平面 BDF∥平面 B1D1H．
20．已知函数
，且满足_______．
（Ⅰ）求函数 f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于 x 的方程 f（x）＝1 在区间[0，m]上有两个不同解，求实数 m 的取值范围．
从①f（x）的最大值为 1，②f（x）的图象与直线 y＝﹣3 的两个相邻交点的距离等于π，
③f（x）的图象过点
这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
21．对于定义域分别是 Df，Dg 的函数 y＝f（x），y＝g（x），规定：函数
h（x）＝
．
（Ⅰ）若函数 f（x）＝
，g（x）＝sinx，x∈R，写出函数 h（x）的解析式并求
函数 h（x）值域；
（Ⅱ）若 g（x）＝f（x+α），其中 a 是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为 R
的函数 y＝f（x）及一个α的值，使得 h（x）＝cos4x，并予以证明．
参考答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）.
1．若 sinα＜0，且 cosα＞0，则角α是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
选：D．
2．已知角α终边经过点 P（﹣4a，3a）（a＜0），则 2sinα+cosα的值为（
）
A．
选：A．
B．
C．0
D． 或
3．若向量 ＝（1，2）， ＝（1，﹣1），则 2 + 与 ﹣ 的夹角等于（
）
A．﹣
选：C．
B．
C．
D．
4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持（
）
A．平行
C．相交但不垂直
选：B．
B．垂直
D．异面
5．tan（﹣40°），tan38°，tan56°的大小关系是（
）
A．tan（﹣40°）＞tan38°＞tan56°
B．tan38°＞tan（﹣40°）＞tan56°
C．tan56°＞tan38°＞tan（﹣40°）
D．tan56°＞tan（﹣40°）＞tan38°
选：C．
6．使 sinx＞cosx 成立的 x 的一个变化区间是（
）
A．（﹣π，﹣
）B．（﹣
，0） C．（﹣ ， ） D．（ ，
）
选：A．
7．已知α∈（0，π），且
，则α＝（
）
A．
选：D．
B．
C．
D．
8．函数
（
）
A．
C．
选：B．
（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则
B．
D．
9．在锐角△ABC 中，设 x＝sinA•sinB，y＝cosA•cosB．则 x，y 的大小关系为（
）
A．x≤y
选：B．
B．x＞y
C．x＜y
D．x≥y
10．已知 sinα+sinβ＝1，则函数 y＝sinα﹣cos2β的值域是（
）
A．[﹣ ，0]
B．[﹣ ，2]
C．[0，2]
D．[﹣ ，+∞）
选：A．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的横线上）
11．
＝
．
答案为：
12．已知 sinα﹣cosα＝ ，则 sin2α＝ ﹣1 ．
答案为：﹣1
13．在△ABC 中，AC＝6，cosB＝ ，C＝ ，则 AB 的长是 5
．
答案为：5 ．
14．已知向量 ， 的夹角为 60°，| |＝2，| |＝1，则| +2 |＝ 2
．
答案为：2 ．
15．对于函数 f（x）＝cosx+sinx，给出下列四个命题：
①函数 f（x）为奇函数；
②存在α∈（0， ），使 f（α）＝ ；
③存在α∈（0， ），使 f（x+α）＝f（x+3α）恒成立；
④存在θ∈R．使函数 f（x+θ）的图象关于 y 轴对称；
其中正确的命题序号是 ②④ ．
答案为：②④．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知α∈（ ，π），且 sinα＝ ．
（Ⅰ）求 tan（α﹣ ）的值；
（Ⅱ）求
的值．
解：（Ⅰ）∵α∈（ ，π），且 sinα＝ ．
∴cosα＝﹣
＝﹣ ，tanα＝
＝﹣ ，
∴tan（α﹣ ）＝
＝
＝﹣7．
（Ⅱ）
＝
＝
＝﹣ ．
17．已知函数 f（x）＝sin22x+
sin2x•cos2x．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若 x∈[ ， ]，求 f（x）的最大值与最小值．
解：（I）f（x）＝sin22x+
sin2x•cos2x＝ sin4x﹣ cos4x+ ＝sin（4x﹣ ）+ ；
所以 T＝ ，
令﹣
解得
≤4x﹣ ≤
，k∈Z，
≤x≤
，
故函数 f（x）的单调递增区间为[﹣
]，k∈Z；
（II）由 x∈[ ， ]得 4x﹣ ∈[
]，
所以 sin（4x﹣ ）∈[ ，1]，
所以 f（x）∈[1， ]即函数 f（x）的值域[1， ]．
18．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求 C；
（Ⅱ）若 c＝ ，△ABC 的面积为
，求△ABC 的周长．
解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，
即 2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC
2cosCsinC＝sinC
∴cosC＝ ，
∴C＝ ；
（Ⅱ）由余弦定理得 7＝a2+b2﹣2ab• ，
∴（a+b）2﹣3ab＝7，
∵S＝ absinC＝ ab＝
，
∴ab＝6，
∴（a+b）2﹣18＝7，
∴a+b＝5，
∴△ABC 的周长为 5+ ．
19．如图所示，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是 BC、C1C、C1D1、A1A 的中点．求
证：
（1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面 BB1D1D；
（3）平面 BDF∥平面 B1D1H．
证明：（1）取 BB1 的中点 M，连接 HM、MC1，四边则 HMC1D1 是平行四边形，
∴HD1∥MC1．
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．
（2）取 B1D1 的中点 O，连接 EO、D1O，则 OE∥DC，OE＝ DC．
又 D1G∥DC，D1G＝ DC，
∴OE∥D1G，OE＝D1G，
∴四边形 OEGD1 是平行四边形，∴GE∥D1O．
又 D1O⊂平面 BB1D1D，∴EG∥平面 BB1D1D．
（3）由（1）知 D1H∥BF，又 BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面 HB1D1，BF、BD⊂平面 BDF，且 B1D1
∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面 BDF∥平面 B1D1H．
20．已知函数
，且满足_______．
（Ⅰ）求函数 f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于 x 的方程 f（x）＝1 在区间[0，m]上有两个不同解，求实数 m 的取值范围．
从①f（x）的最大值为 1，②f（x）的图象与直线 y＝﹣3 的两个相邻交点的距离等于π，
③f（x）的图象过点
这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
解：（Ⅰ）函数 f（x）＝asin（2x﹣ ）﹣2cos2（x+ ）
＝asin（2x﹣ ）﹣cos（2x+ ）﹣1
＝asin（2x﹣ ）﹣sin（﹣2x+ ）﹣1
＝（a+1）sin（2x﹣ ）﹣1，
若满足①f（x）的最大值为 1，则 a+1＝2，解得 a＝1，
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