2021-2022 年上海市金山区高一数学上学期期末试卷及答案
一.填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1~6 题每题 4 外,第 7~12 题每题 5 分)
1. 函数
( )
f x
log (
2
x
的定义域是________.
3)
【答案】 (3,
)
2. 若等式
2
ax
bx
x
1
x
2
恒成立,则常数 a与 b的和为______.
2
【答案】2
2 2
x
1 0
,
B
x x
2 1 0
,则 A______B.(用符号“ ”“=”
A
3. 若集合
或“ ”连接)
x x
【答案】
4. 设集合
P ,
,5
Q m
,
,若 P Q
,则实数 m的取值范围是______.
【答案】
5m
5. 函数
y
2
x
【答案】 4
x
1
的零点为______.
1
x
6. 函数
y
x 的递增区间是______.
1
【答案】[1,+∞)
7. 若指数函数
y m
3 x
在 R 上是严格减函数,则实数 m的取值范围是______.
【答案】3
4m
log
x
y
8. 函数
1
2
2
,
x
2,6
的最大值为______.
【答案】-2
9. 若关于 x的不等式 2
x mx
9 0
的解集为 R,则实数 m的取值范围是______.
【答案】
6 6 ,
10. 满足条件:{ }a
M
,
,
a b c d
,
的集合 M的个数为______.
【答案】7
11. 若
log 2
9
a b
log
3
ab
,则 8a
b 的最小值为______.
【答案】 25
12. 设集合
M
1,2,3,
,2021
,对 M的任一非空子集 A,令
A 为集合 A中元素的最
大值与最小值之和,则所有这样的
A 的算术平均值为______.
【答案】2022
二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)
13. 下列函数中,既是奇函数,又在定义域内是严格增函数的是(
)
A.
y
1
x
【答案】D
B.
y
2x
C.
y
lg
x
D.
y
3
x
14. 若 A、B均为集合,则“A B”是“ A B A
”的(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
【答案】A
D. 既不充分也不必要条件
15. 用反证法证明命题:“对于三个实数 a、b、c,若 a
c ,则 a
b¹ 或b c ”时,提出的
假设正确的是(
)
A. a
b¹ 且b c
C. a b c
【答案】C
B. a b 或b c
D. a c
16. 方程3
x
x
5
11
x
x
19
x
1
的实数根的个数是(
)
A. 0
【答案】B
B. 1
C. 2
D. 3
三.解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)
17. 已知全集U R ,
【答案】
x x
1
A
x
1
,
x
3
B
x x
1
,求 A B .
18. 已知 1x 、 2x 是一元二次方程
2
x
m
6
x m
的两个不相等的实数根,且
0
lg
lg
x
1
x
x
1
lg
2
x
2
2
,求实数 m 的值.
【答案】
3m
19. 已知幂函数
y
f x
在其定义域上是严格增函数,且
f x
x
2
m
2
m
( m Z ).
(1)求 m的值;
(2)解不等式:
f
x
2
3
f x
.
【答案】(1)
1m
2,3
(2)
20. 某科技公司研究表明:该公司的市场占有率 y 与每年研发经费 x(单位:亿元)满足关
系式:
y
x
2
x mx
3
2
2
x
0
,其中 m 为实常数.
(1)若
0m 时,该公司市场占有率不低于 60% ,则每年研发经费至少需要多少亿元?
(2)若
m 时,求该公司市场占有率的最大值.
1
4
【答案】(1)至少需要 0.5 亿元;
(2)80% .
21. 设
y
f x
是定义在[m,n]( m n )上的函数,若存在
x
0
,
m n
,使得
y
f x
在区间
,m x 上是严格增函数,且在区间
0
0,x n 上是严格减函数,则称
y
f x
为“含峰
函数”, 0x 称为峰点,[m,n]称为含峰区间.
是否为[0,6]上的“含峰函数”?若是,指出峰点;若不是,请
x
2 6
x
(1)试判断
y
说明理由;
(2)若
y
2
ax
bx
( 0a ,a、b、 Rc )是定义在[m,3]上峰点为 2 的“含峰函
c
数”,且值域为[0,4],求 a的取值范围;
(3)若
y
3
x
tx t
R 是[1,2]上的“含峰函数”,求 t的取值范围.
【答案】(1)是[0,6]上的“含峰函数”,峰点为 3;
,3
,
x m
0)
(2)记函数
( )
f x
(
c a
bx
2
ax
,
2m
则 ( )
f x 在区间[m,2]上是严格增函数,在区间
2,3 上是严格减函数, 0
a
则有
b
2
a
4
a
2
2
b c
4
,解之得
4
a
b
4 4
c
a
则
( )
f x
2
ax
4
ax
4 4 (
a a
,
x m
0)
,3
f
(3) 9
a
12
a
4 4
a
;
a
4
(
f m am
)
2
4
am
4 4
a
令 4 0
a ,可得
a ,
则有
( )
f x
4
x
2
16
x
4
,
x m
12
,3
则 ( )
f x 在
,2m 上严格递增,在
2,3 上严格递减, (2)
f
, (3) 0
4
f
由 ( )
f x 在[m,3]上值域为
0,4 ,可知
m
1,2
时,符合题意.
令 2 4
am
am
4 4
a
,则
0
2m
2
a
或
2m
2
a
(舍去)
此时
( )
f x
2
ax
4
ax
4 4 (
a a
,
0)
x
2
2
a
,3
则 ( )
f x 在
2
2
a
,2
上严格递增,在
2,3 上严格递减, (2)
f
, (
f
4
2
)2
a
0
由 ( )
f x 在[m,3]上值域为
0,4 ,可知 (3)
f
综上,当
m
1,2
时,a的取值为 4 ;
a ,解之得 4
4 0
a
0
当
2m
2
a
时,a的取值范围是 4
0
.
a
(3)记
f
( )
x
3
x
t
x
t
R ,设任意
x x
1
,
2
则
(
f x
1
)
f
(
x
2
)
3
x
1
tx
1
3
x
2
tx
2
x
2
x
1
当 3t≤ 时,由
x x
1
,
2
1,2
x
,且 1
x
2
1,2
2
x
1
x
,且 1
x
2
x x
1 2
2
x
2
t
x
可知 2
则
x
2
0
, 2
x
x
1
1
2
x
1
x x
1 2
x
1
x
2
x x
1 2
2
1 1 1
t
t
0
2
x
2
t
(
f x
,即 1
0
)
(
f x
2
)
则 ( )
f x 为
1,2 上严格减函数,不符合题目要求;
当 12
t 时,由
x x
1
,
2
1,2
x
,且 1
x
2
x
可知 2
x
1
, 2
x
1
0
x x
1 2
2
x
2
4 4 4
t
t
0
则
x
2
x
1
2
x
1
x x
1 2
2
x
2
(
t
f x
,即 1
0
)
(
f x
2
)
则 ( )
f x 为
1,2 上严格增函数,不符合题目要求;
当3
t 时,
12
设任意 1
,
x x
2
1,
t
3
x
,且 1
x ,此时 2
x
1
2
x x
1 2
2
x
2
x
t
, 2
0
t
t
t
t
3 3 3
x
1
0
则
x
2
x
1
2
x
1
x x
1 2
2
x
2
(
t
f x
,即 1
0
)
(
f x
2
)
, ( )
f x 为 1,
t
3
上严格增函数;
设任意 1
,
x x
2
t
3
,2
x
,且 1
x ,此时 2
x
1
2
x x
1 2
2
x
2
则
x
2
x
1
2
x
1
x x
1 2
2
x
2
t
(
f x
,即 1
0
)
(
f x
2
)
故 ( )
f x 是[1,2]上峰点为
t 的“含峰函数”.
3
综上,t的取值范围为3
t
12
x
t
, 2
0
t
t
t
t
3 3 3
x
1
0
, ( )
f x 为 1,
t
3
上严格减函数;