2021-2022 年上海市闵行区高一数学上学期期末试卷及答案
一、填空题(第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分,满分 54 分)
1. 已知集合
A
2
|
x x
2
x
,
B
0
0,1,2
,则 A B
_____.
【答案】
2. 函数 y=ln(x-1)的定义域为__________.
【答案】
3. 若幂函数
x 的图像经过点
a
y
3, 3 ,则此幂函数的表达式为 y ___________.
【答案】
1
log 10 ___________.
2x ## x
p ,用 p 表示 3
3
4. 已知10
【答案】
1
p
1 3
2
x
1
x
【答案】 (1, 4)
5. 不等式
的解是___________.
6. 已知b 、c R ,关于 x 的不等式 2
x
bx
的解集为
c
0
2,3
,则bc ___________.
【答案】 6
7. 陈述句“ 1x 或 1y ”的否定形式是________.
【答案】 1x 且 1y .
8. 设
1
3
x ,则 3
2
5
x
1
x
___________.
【答案】4
9. 已知实数 a b、 满足 2
a
2
b
,则 ab 的最大值为___________.
2
【答案】1
10. 如图,函数
y
f x
的图象为折线 ABC ,则不等式
f x
2log
x
1
2
的解为
___________.
【答案】
x
| 2
x
4
##
2,4
x
k
11. 已知 0
k ,函数
y
【答案】 1
k ³
1,
x
0
2
x
有最大值,则实数 k 的取值范围是___________.
,
x
0
k
12. 已知 mR ,若存在定义域为 R 的函数
y
f x
满足:对任意 0x R ,
1
10
x
0
10
x
0
3
,则 m ___________.
f
x m
0
【答案】-2
二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)
13. 已知 a b、 为实数,若
:
ab
:
0,
a
2
b
,则是的(
0
)
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
14. 如果 x
A.
2
x
2
y
C. x
y
【答案】D
y ,则下列不等式恒成立的是(
)
B.
xy
2
y
D. x
y
15. 函数
y
5
x
1x
3
的大致图像是(
)
A.
C.
【答案】C
16. 已知关于 x 的不等式
B.
D.
x
2
2
a x
ax
的解集是 A ,不等式
4
log 4 2
2
log 4 2
2
x
2
2
a x
ax
的解集是 B ,有下列两个结论:①存在 a R ,使 A B ;
4
②对任意的 a R ,都有
4,0
;则(
A
)
A. ①②均正确
C. ①正确②错误
【答案】D
B. ①②均错误
D. ①错误②正确
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)
17. 已知全集为 R ,集合
A
x
| 3
x
4
2
.
(1)求 A ;
(2)已知集合
B
0
x
∣
x m
1
,且 A B
R ,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1)
A
x
2|
3
x
2
(2)
m m
|
1
x
2
x
y h x
.
1
是偶函数,且当 0x 时,
h x
18. 已知
f x
(1)若函数
达式;
f x
,当 0x 时,求
h x 的表
(2)证明:函数
y
f x
在区间
1 ,
2
上是严格增函数.
【答案】(1)当 0x 时, ( )
h x
(2) 1
,
x x
2
(
且 1
x
)
;
x
x
2
1
x ,则
2
,
1
2
x
1
x
1
2
(
f x
1
)
(
f x
2
)
1 2
x
2
x
2
1
x
x
2
1
1)(2
x
2
(2
x
1
,
1)
因
x
1
,则 12
x , 22
1 0
x , 1
x
1 0
x
2
x
2
(
f x
,即 1
0
)
(
f x
2
)
,有
0
1
2
)
(
f x
1
(
f x
2
)
,
所以函数
y
f x
在区间
1 ,
2
上是严格增函数.
19. 为了使读者有更好的阅读体验,某杂志采用如下排版方式:在矩形版面 ABCD 中设计
两个相同的矩形栏目,每个栏目的面积为
150cm ,在它们的上下各留有3cm 的空隙,左右
2
各留有 2cm 的空隙,中间留有1cm 的空隙,如图所示(图中单位:cm ),设矩形栏目的左
侧边长为 cmx ,整个矩形版面 ABCD 的面积为
2cmy
(1)试把 y 表示成 x 的函数;
(2)当
cmx
为何值时,整个矩形版面 ABCD 的面积最小.(结果精确到 0.1cm )
【答案】(1)
y
(
x
6)(
300
x
5)
(
x ;
0)
(2)19.0 cm.
20. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献,除特殊符号、概念名称的界定外,欧拉还基于初等
函数研究了抽象函数的性质,例如,欧拉引入倒函数的定义:对于函数
y
f x
,如果对
于其定义域 D 中任意给定的实数 x ,都有 x D
,并且
f x
f
x
1
,就称函数
y
f x
为倒函数.
(1)已知
f x
x
2 ,
g x
1
1
x
x
说明理由)
,判断
y
f x
和
y
=
( )
g x
是不是倒函数;(不需要
(2)若
y
f x
是 R 上的倒函数,当 0
x 时,
f x
1
2 x
2
x
,方程
f x
2022
是
否有正整数解?并说明理由;
(3)若
y
f x
是 R 上的倒函数,其函数值恒大于 0,且在 R 上是严格增函数.记
[
F x
1
x
2
x
,证明: 1
2
]
f x
f x
f x 是倒函数, 1
1
0x ,
g x
【答案】(1) 2x
(2)令 0
x ,则
是
0
F x
1
F x
2
的充要条件.
0
x
x
不是倒函数;
∴倒函数的定义,可得
( )
f x f
(
x
)
( )
f x
2x
x
2
,即
1
( )
f x
2x
2
,
x
∴
( )
f x
2
x
2
x
1
x
2
x
2
,
,
x
0
x
0
,要使
f x
2022
有正整数解,则
0
x
x
2
x
,
2
2
02
2
当 10
x 时,
10
2
2
10
1124
20 2
2
;当 11
x 时,
11
2
2
11
2169
2
20 2
;
∴
f x
2022
没有正整数解.
(3)由题设,
F x
( )
f x
1
( )
f x
,又
y
f x
是 R 上的倒函数,
∴
F x
( )
f x
f
(
,故
x
F x
1
)
F x
2
(
f x
1
)
f
(
x
1
)
(
f x
2
)
f
(
x
,
2
)
x
充分性:当 1
x
2
x
时, 1
0
x 且 2
x
2
x ,又 ( )
f x 在 R 上是严格增函数,
1
(
f x
∴ 1
)
f
(
x
(
) 0
f x
, 2
)
2
f
(
x
1
,故
) 0
F x
1
F x
2
成立;
0
必要性:当
F x
1
F x
2
时,有
0
(
f x
1
)
1
(
f x
1
)
(
f x
2
)
1
(
f x
2
)
[
(
f x
1
)
(
f x
2
)][
)
(
(
f x f x
1
2
(
(
f x f x
2
) 1
)
)
1
] 0
,又 ( )
f x 恒大于 0,
(
(
f x f x
∴ 1
)
) 1
2
(
)
f x f
1
(
(
f x
x
,即 2
1
)
)
f
(
x
, ( )
1
f x 在 R 上是严格增函数,
)
x
∴ 2
x ,即有 1
x
1
x
2
成立;
0
x
综上, 1
x
2
是
0
F x
1
F x
2
的充要条件.
0
21. 对于函数
y
f x
x D
及正实数 r ,若存在 a b R
、
,对任意的 x D ,
f x
ax b
恒成立,则称函数
r
y
f x
具有性质
L a b r .
,
,
(1)判断函数
y
log ,
x x
2
1
2
,4
是否具有性质
L
1,1,2
?并说明理由;
,求实数 m 的取值范围;
,
x
[
1
2
,2]
具有性质
L a b r ,求正
,
,
1
x
(2)已知函数
2,
y mx x
1,4
具有性质
L
1,1,3
(3)如果存在唯一的一对实数 a 与b ,使函数
y
实数 r 的取值情况.
【答案】(1)不具有,理由见解析;
(2)
(3)
1
8
1
4
m
;
1
2
.