2021-2022 年上海市浦东新区高一数学上学期期末试卷及答 案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）只要求直接填写结果，每个空格填对得 3 分， 否则一律得零分. 1. 已知全集 U    1,2,3 4 5 ，， ，集合 A  ，， ，则 A  _____________．   1 2 3 【答案】 4 5，  5,4 2. 函数 y  ln x 2   1 x 【答案】 1, 2 的定义域为_____________． 3. 已知幂函数 y   f x  的图象过点 2, 2 ，则  3f   ______. 【答案】 3 4. 当 0 a  时，求 a 6  6 a  3 2 3 a 的值___________． 【答案】0 log 2 5. 计算： 2 2  【答案】5 log 24 log 3  2 2  _______． 6. 用反证法证明“设 3 a 3 b  ，求证 2 a b  ”时，第一步的假设是______________． 2 【答案】 a b  2 7. 已知 、 是关于 x 的方程 2 x  2 mx m  2   4 0  ________. 【答案】4 8. 已知 x   ，则 3 x  1  x 3 的最小值为________． m R  的两个根，则     【答案】 1 9. 若函数  f x   3 x   在区间 x 1  1,1.5 内的一个零点的近似值用二分法．．．逐次计算列表如 

下：那么方程 3 x x   的一个近似解为 x  _________（精确到．．．0.1）． 1 0 f  1.5  0 f f  1.375   0  1.34375   0 f f f  1  0  1.25   0  1.3125   0 【答案】1.3 10. 若 y    f x 是奇函数，当 0 x  时  f x    log 2 2 【答案】 2  ，则  f  x  2  __________． 11. 已知问题：“ 3     恒成立，求实数 a 的取值范围”.两位同学对此问题展开 x a 5 x 讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式 解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数 a 的取值范围___________． 【答案】  , 8    2,    12. 已知函数   f x  0     x 2 2, 1, x  0 x  ，若  f a 2  2 a    f a   ，则实数 a 的取值范围是 1 _________． 【答案】    3  2 5 ,      二、选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选 项是正确的，选对得 3 分，否则一律得零分. 13. “ a  ”是“指数函数 1 2 A. 充分非必要条件 C. 充要条件 【答案】A y x a 在 R 上是严格减函数”的 （ ） B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 任意 x R ，下列式子中最小值为 2 的是（ ） A. x  1 x B. 2 x x 2 

C. 2 x  2 2 x 【答案】B log 9 15. 若 18 b 18 a， A. C. a b  2 a  a b  2 a 【答案】B  ，则 36 log 45 等于 5 D. 2 x   2 1 2 x  2 B. D. a b  2 a  a b  2 a 16. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般 好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常 用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数 ( ) f x  2 x  （ a R ）的图像不可能．．．是 a x （ ） A. C. 【答案】A B. D. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知 a，b都是正实数，求证： 3 a  3 b  【答案】证明见解析 2 a b ab  ，并指出等号成立的条件. 2 18. 设不等式 2 x   的解集为 P ，不等式 2 1 3 x 2  的解集为 Q . 8 （1）求集合 P 、 Q ； （2）已知全集 【答案】（1） P RU  ，求 P Q .  2 1    ，   x x Q   x 1   ； x  3 

（2） P Q    x x  或 1 2x  . 19. 已知函数  （1）求函数    f x  1 1x  f x 的值域； 2 （2）求证：函数 y    f x 在 R 上是严格减函数. 【答案】（1） 0,1 （2）设 1 x ,x x 是 R 上任意给定的两个实数，且 1 2 x ， 2 则  f x 1    f x 2   1  x 1 2  1 2 1  x 2 1   x 1 2 x 1 x 2 2 2    2 1   x 2   1   ，  12 x 2 x 1 2 x   ， 22 1 0 x   ， 1 0   f x 1    f x 2  x 2 x 1  函数 y  2   f x 在 R 上是严格减函数 20. 浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据 调查发现：该购物中心开业一个月内（以 30 天计），每天打卡人数  P x 与第 x 天近似地满 足函数  P x  8 k   （万人），k为正常数，且第 8 天的打卡人数为 9 万人. x （1）求 k的值； （2）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费  C x （元）与第 x 天近似地满足下表： x(天) 10 14 18 22 26 30  C x (元) 131 135 139 143 139 135 现给出以下三种函数模型：①  C x  ax b  ，②  C x   a x  22  ， b ③  C x   x a  .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡 b 市民（含观光）的人均消费  C x （元）与第 x 天的关系，并求出该函数的解析式； （3）请在问题（1），（2）的基础上，求出该购物中心日营业收入 ( ) f x （1 x  ，x为 30 正整数）的最小值（单位：万元）. （注：日营业收入=日打卡人数  P x  人均消费  C x ）. 

【答案】（1）8； （2）函数模型②满足要求，  C x     x 22  143 ； （3）1116 万元. 21. 已知函数 ( ) 2 f x  x 4  . （1）求方程 ( ) 3 f x  的解； （2）若关于 x 的方程 ( ) f x  log x   在  x 2,4 1 2 上有实数解，求实数的取值范围； （3）若  ix i  0,1,2,   ,2021 将区间 1,3 划分成 2021 个小区间，且满足 1  x 0  x 1  x 2    x 2021  ，使得和式 3  f x 1    f x 0    f x 2    f x 1    f x 3    f x 2      f x 2021    f x 2020   恒成 M 立，试求出实数 M 的最小值并说明理由. 【答案】（1） x  log 7 2 （2）   1,14  （3）6，理由见解析