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2022-2023学年江苏省无锡市高三上学期期末数学试题及答案.doc
2022-2023 学年江苏省无锡市高三上学期期末数学试题及答
案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
A
x x
∣
2
k
1,
k
Z
,
B
{ 0
x
∣
x
1 6}
，则 A B
（
）
B.
1,1,3
C.
1,1,3,5
D.
1. 设集合
A.
1,3
1,3,5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，集合 A为奇数集，求出集合 B，根据交集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合
A
x x
∣
2
k
1,
k
Z
,
B
{ 0
x
∣
x
所以
A B
1,1,3
，
故选：B.
1 6} {
x
∣
1
x
5}
，
2. “ 1a ”是“复数
i
2
a
1 i
a
R
为纯虚数”的（
）．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
【答案】A
【解析】
D. 既不充分也不必要条件
【分析】
i
2
a
1 i
1
a
2
2
1 i
a
2
2
， 1a 时
i
2
a
1 i
是纯虚数，
i
2
a
1 i
是纯虚数，则
a ，
1
得到答案．
【详解】
i
2
a
1 i
2
a
i 1 i
2
2
a
a
2
i
2
i 1
1
a
2
2
1 i
a
2
2
，
是纯虚数，充分；
i
2
a
1 i
是纯虚数，则
a ，不必要．
1
1a 时
i
2
a
1 i
故选：A
学科 网（北 京）股 份有限 公司
sin 2
，
π π,
2 2
，则 （
）．
B.
D.
π
2
π,
3
π π,
3 2
3. 若 tan
sin
A.
C.
π
2
π,
6
π π,
6 2
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 根 据 tan
sin
确 定 sin
0 得 到
π0,
2
， 根 据 sin
sin 2
得 到
cos
，得到答案.
1
2
【详解】 tan
sin
，即
sin
cos
sin
，
sin
cos
sin
，故
0
sin
1
cos
1
0
，
π π,
2 2
，故
1
cos
1
1 cos
cos
，故sin
0
0 ，故
π0,
2
，
sin
sin 2
故选：D
2sin cos
，
cos
，故
1
2
π
3
．
π
2
4. 函数
f x
x
2 ln
x
4
2
x
1
的部分图象大致为（
）．
B.
D.
A.
C.
【答案】A
【解析】
学科 网（北 京）股 份有限 公司
【分析】先求出定义域，由
f
x
f x
得到
f x 为偶函数，结合函数在
0,1 , 1, 上
函数值的正负，排除 BC，结合函数图象的走势，排除 D，得到正确答案.
【详解】
f x
x
2 ln
x
4
2
x
1
变形为
f x
2
ln
x
x
2
x
2
，定义域为
,0
U
0,
，
2
x
x
x
ln
2
x
2
2
ln
x
x
2
1x 时， 0
2
f
当 0
f x
x
，故
f x 为偶函数，关于 y轴对称．
f x ， 1x 时， 0
f x ，排除 BC，
又 x 时，
f x ，故排除 D，A 正确.
0
故选：A．
5. 已知 m，n为异面直线，m 平面，n 平面．若直线 l满足l m ，l
n ，l ，
l ．则下列说法正确的是（
）．
A. ∥ ，l ∥
B. ，l
C. 与相交，且交线平行于 l
D. 与相交，且交线垂直于 l
【答案】C
【解析】
【分析】利用异面直线、线面的位置关系即可求解.
【详解】由于 m，n为异面直线， m 平面， n 平面，则平面与平面必相交，
但未必垂直，且交线垂直于直线 m，n，故 AB 错误；
又直线l 满足 l m ，l
n ，l ，l ，则交线平行于l 故 C 正确，D 错误.
故选：C.
6. 在平行四边形 ABCD中，已知
AC BD
（
）．
DE
1
2
EC
BF
，
1
2
FC
，
AE
2
，
AF
2 3
，则
B.
6
C. 6
D. 9
A.
9
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的值.
学科 网（北 京）股 份有限 公司
【详解】由题意可得：
uuur uuur
uuur
uuur
AF AB BF AB
AE
∵
2
AD
uuur uuur
uuur
uuur
AE AD DE AD
uuur
1
AD
3
AB AD
uuur
uuur
BC AB
AB
1
3
4
，①
2
，
1
3
uuur
uuur
AC AD
uuur
AB
，
1
3
2
1
9
uuur
2
AD
2
3
uuur uuur
AB AD
uuur
AB
2
3
uuur
AD
uuur uuur uuur uuur
AB AD AD AB
1
9
8
9
8
2
2
8
9
12
，②
uuur
uuur
，即 2
2
AB
AD
uuur
uuur
2
AD AB
9
，
2
9
．
2
AF
uuur
2
AB
①－②得：
uuur uuur
AC BD
∴
故选：A．
7. 双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1
a
0,
b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 1F 的直线与双曲线左、
0
右两支分别交于点 P，Q，若
PQ
PF
1
4
，M为 PQ的中点，且
PQ MF
2
0
，则双曲线的
离心率为（
）．
A.
5
2
【答案】C
【解析】
B.
7
2
C.
14
2
D. 2
Rt F F M△
1
2
中
【分析】由 2
F P
F Q
2
得出 1
F M
a ，
3
MQ
a ， 2
F M
2
5
a
，在
利用勾股定理得出离心率.
【详解】解：M为PQ中点，
PQ MF
2
0
，∴ 2F PQ△
等腰三角形．
学科 网（北 京）股 份有限 公司
FQ
令 1F P m ，则 1
5
m ， 2
2
F P m a
， 2
F Q
5
2
m a
，
∴
2
m a
5
2
m a
，∴ m a ，
FQ
∴ 1F P a ， 1
F P
a ， 2
5
3
a F Q
2
PQ
a ， 1
F M
4
a ，
3
MQ
a ， 2
F M
2
，
5
a
，
∴
∴
Rt F F M△
1
2
中， 2
a
9
2
5
a
，
4
c
2
2
2
c
a
，∴
14
4
e
14
2
．
故选：C．
8. 设
a ， ln1.4
b
2
7
c
A. a
b
C. c b a
【答案】D
【解析】
，
c
0.4e
1.32
，则下列关系正确的是（
）．
B. c
a b
D. b
a
c
【分析】构造函数
f x
ln
x
1
1
x
，利用导数求出函数的单调区间，即可比较 ,a b ，
再构造函数
g x
,a c ，从而可得出答案.
e
x
1
1
x
0
x
1
，判断函数
g x 在
0,1 上的单调性，即可比较
【详解】令
f x
ln
x
1
1
x
，则
x
f
1
x
2
x
x
，
0
当 0
1x 时， 0
，当 1x 时， 0
x
x
，
f
f
所以函数
f x 在
0,1 上递减，在
1, 上递增，
所以
f
1,4
f
1
，即
0
ln1.4 1
1
1.4
，
2
7
所以 b a ，
令
g x
x
e
1
1
x
0
x
1
，则
g x
x
e
1
x
2
1
1
x
1
，
x
1
令
h x
1
2
x
x
e
1 0
学科 网（北 京）股 份有限 公司
x
1
2
e
x
2
0
x
1
，
则
h x
所以
x
h x 在
2 1 e
x
0 0
，
x
1
0,1 上递减，
所以
h x
h
0
，所以
g x
0
0 0
所以
g x 在
0,1 上递减，
，
x
1
所以
g x
g
0
0 0
，
x
1
即当
x
0,1
时，
x
e
1
，
x
1
2
0.2
1.32
2
1
1 0.2
1.32 0.2425
2
7
，
所以
c
e
0.4
1.32
e
即 c a ，
所以 b
．
a
c
故选：D.
【 点 睛 】 关 键 点 点 睛 ： 解 决 本 题 的 关 键 在 于 构 造 函 数
f x
ln
x
1
1
x
和
0
x
1
，即
ln
，当且仅当 1x 时，取等号，当
1x
x
1
x
0,1
时，
1
1
x
g x
x
e
x
e
1
1
x
.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 已知由样本数据
,
x y
i
i
i
1,2,3,
组成的一个样本，得到经验回归方程为
,10
ˆ
y
2
x
，且
0.4
x ，去除两个样本点
2
2,1 和(
2, 1- 后，得到新的经验回归方程为
)
ˆ
y
ˆ
x b
．在余下的 8 个样本数据和新的经验回归方程中（
3
）．
A. 相关变量 x，y具有正相关关系
B. 新的经验回归方程为 ˆ
y
3
x
3
C. 随着自变量 x值增加，因变量 y值增加速度变小
D. 样本
4,8.9 的残差为 0.1
【答案】ABD
【解析】
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【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断 ABC ，再由残差的概念判断 D.
【详解】
10
x
i
i
1
20
，x新平均数
1 20
8
，
2.5
y
2 2 0.4
．
3.6
y新平均数
1 10 3.6
8
，∴
4.5
ˆ
4.5 3 2.5 b
，∴ ˆ
b ．
3
新的线性回归方程
ˆ
y
ˆ
x b
，x，y具有正相关关系，A 对．
3
新的线性回归方程： ˆ
y
3
x
，B 对．
3
由线性回归方程知，随着自变量 x值增加，因变量 y值增加速度恒定，C 错；
x ， ˆ
4
y ，8.9 9
，D 对．
0.1
9
故选：ABD．
10. 已知 1F ， 2F 为曲线
C
:
2
x
4
2
y
m
1
的焦点，则下列说法正确的是（
）．
A. 若曲线 C的离心率
e ，则
1
2
3m
B. 若
m
12
，则曲线 C的两条渐近线夹角为
C. 若
3m ，曲线 C上存在四个不同点 P，使得 1
π
3
F PF
2
90
D. 若
0m ，曲线 C上存在四个不同点 P，使得 1
F PF
2
90
【答案】BD
【解析】
【分析】分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况讨论，即可判断 A；分别求出双曲线两渐
近线的夹角即可判断 B；当点 P 位于上下顶点时， 1
F PF
2
最大，求出此时 1
F PF
2
的值，即
可判断 C；若
0m ，则曲线是焦点在 x 上的双曲线，再根据以线段 1 2F F 为直径的圆与双曲
线交点的个数即可判断 D.
【详解】对于 A，若曲线 C的离心率
e ，则该曲线为椭圆，
1
2
当焦点在 x 轴上时， 0
4m
，
当焦点在 y 轴上时，
4m ，
1
1
m
4
，解得
1
2
3m ，
4
1
2m
，解得
m ，
16
3
学科 网（北 京）股 份有限 公司
综上，若曲线 C的离心率
对于 B，
m
12
时，曲线
3m 或
m ，故 A 错误；
16
3
，渐近线
1
y
3
x
，
e ，则
1
2
2
2
y
x
4
12
π 2π,
3 3
，
两渐近线的倾斜角分别为
所以两渐近线夹角为
π
3
，故 B 正确；
对于 C，
3m ，曲线
2
x
4
2
y
3
， 2
a ，
1
b ， 1c ，
3
当点 P 位于上下顶点时， 1
F PF
2
最大，
PF
点 P 位于上下顶点时， 1
PF
2
F F
1 2
，则 1
F PF
2
2
60
90
，
所以曲线上不存在点 P使得 1
F PF
2
90
，故 C 错误；
对于 D，若
0m ，则曲线是焦点在 x 上的双曲线，则 1 2
F F ，
4
所以以线段 1 2F F 为直径的圆与双曲线有 4 个交点，此 4 个交点即为点 P ，故 D 正确.
故选：BD．
11. 已知正三棱柱
ABC A B C
1 1 1
-
，底面边长为 2，D是 AC中点，若该正三棱柱恰有一内切
球，下列说法正确的是（
）．
A. 平面
BDC 平面
1
ACC A
1 1
B.
1B D 平面
BDC
1
C. 该正三棱柱体积为 2
D. 该正三棱柱外接球的表面积为
10π
3
【答案】AC
【解析】
【分析】利用线面、面面垂直的判定定理即可判断 A，根据空间垂直的坐标表示即可证明 B，
根据柱体的体积公式计算即可判断 C，根据球的表面积公式计算即可判断 D.
【详解】C：正三棱柱存在内切圆，则 ABC
内切圆的直径为球的直径，亦为三棱柱的高，
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