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2020-2021年黑龙江鹤岗高一数学上学期期中试卷及答案.doc
2020-2021 年黑龙江鹤岗高一数学上学期期中试卷及答案
一、选择题（共 12 小题）.
1．设集合 A＝{0，1，2，3}，集合 B＝{2，3，4}，则 A∩B＝（
A．{2，3}
B．{0，1}
C．{0，1，4}
）
D．{0，1，2，3，4}
2．函数 f（x）＝
+
的定义域为（
）
A．[0，2）
B．（2，+∞）
C．[ ，2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（
）
D．
C．y＝﹣x2+1
）
B．∀x∈R，x2+x+2≥0
D．∀x∈R，x2+x+2＞0
）
C． ＞
D．a2＞ab＞b2
）
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
，其中 x∈N，则 f（8）＝（
C．6
D．7
）
5．设 a，b，c 为实数，且 a＜b＜0，则下列不等式正确的是（
A．y＝x3
B．y＝|x|+1
4．命题“∃x0∈R，x02+x0+2＜0”的否定是（
A．∃x0∈R，x02+x0+2≥0
C．∀x∈R，x2+x+2＜0
6．设 a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．ac2＜bc2
A． ＜
7．已知函数 f（x）＝
A．2
B．4
8．已知集合 M＝{0，1}，则满足 M∪N＝{0，1，2}的集合 N 的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
9．函数 y＝
的值域是（
）
A．（﹣1， ]
B．（﹣1，1）
C．（﹣∞， ]
D．（﹣2，2）
10．函数 f（x）＝
的单调递增区间是（
）
A．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，0）∪（0，1）
B．（﹣∞，0），（0，1）
D．（1，+∞）
11．对∀x∈R，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0 恒成立，则 a 的取值范围是（
12．定义在（0，+∞）上的函数 f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞），且 x1≠x2，都有
）
C．a＜﹣2 或 a≥2 D．a≤﹣2 或 a≥2
A．﹣2＜a≤2
B．﹣2≤a≤2
＞0 成立，且 f（2）＝4，则不等式 f（x）＞2x 的解集为（
）
A．（4，+∞）
B．（0，4）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）.
13．已知 A＝{0，a，a2}，若 1∈A，则实数 a 的值是
14．若正实数{an}满足 a+2b＝1，则 + 的最小值为
．
．
C．（0，2）
D．（2，+∞）
15．已知函数 f（x）＝x3+ax+ +2，若 f（10）＝6，则 f（﹣10）＝
．
16．已知函数 y＝f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），考察下列四个结论：
①若 f（﹣1）＝f（1），则 f（x）是偶函数；
②若 f（﹣1）＜f（1），则 f（x）在区间[﹣2，2]上不是减函数；
③若|f（x）|＝|f（﹣x）|，x∈R，则 f（x）是奇函数或偶函数；
④若 f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则 f（x）是 R 上的增函数．
其中正确的结论序号是
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17
10
．
（
）
计
分
算
：
（
1
）
；
（2）已知
＝3，求
的值．
18．（12 分）已知 a∈R，若关于 x 的不等式 ax2﹣3x+2＜0 的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求 a 的值；
（2）若关于 x 的不等式 ax2+bx+2≥0 在[0，2]上恒成立，求实数 b 的取值范围．
19．（12 分）已知全集为 R．函数 f（x）＝
的定义域为集合 A，集合 B＝{x|x2﹣x﹣2
≥0}．
（1）求 A∩B；
20．（12 分）已知幂函数 f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•x 在（0，+∞）上单调递减．
（2）若 C＝{x|1﹣m＜x≤m}，C⊆（∁RB），求实数 m 的取值范围．
21．（12 分）已知函数 f（x）的定义域是[﹣1，1]，若对于任意 x，y∈[﹣1，1]，都有 f（x+y）
（1）求实数 m 的值．
（2）若实数 a 满足条件 f（1﹣a）＞f（3+2a），求 a 的取值范围．
＝f（x）+f（y）且 x＞0 时，有 f（x）＞0．
（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上为奇函数，且为单调递增函数；
（2）解不等式 f（x+1）+f（ x）＞0；
22．（12 分）已知二次函数 f（x）满足条件 f（0）＝0，f（x+2）﹣f（x）＝4x+8．
（t），求函数 H（t）；
（1）求函数 y＝f（x）的解析式；
（2）设 F（x）＝tf（x）﹣2x﹣3，其中 t≥0，函数 F（x）在 x∈[﹣3.2]时的最大值是 H
（3）若 g（x）＝f（x）+k（k 为实数），对于任意 x1∈[0，+∞），总存在 x2∈[0，+∞）
使得 g（x1）＝H（x2）成立，求实数 k 的取值范围．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 A＝{0，1，2，3}，集合 B＝{2，3，4}，则 A∩B＝（
参考答案
A．{2，3}
选：A．
B．{0，1}
C．{0，1，4}
2．函数 f（x）＝
+
的定义域为（
）
A．[0，2）
B．（2，+∞）
）
D．{0，1，2，3，4}
C．[ ，2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
选：C．
3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（
B．y＝|x|+1
C．y＝﹣x2+1
）
D．
A．y＝x3
选：B．
4．命题“∃x0∈R，x02+x0+2＜0”的否定是（
A．∃x0∈R，x02+x0+2≥0
C．∀x∈R，x2+x+2＜0
选：B．
）
B．∀x∈R，x2+x+2≥0
D．∀x∈R，x2+x+2＞0
5．设 a，b，c 为实数，且 a＜b＜0，则下列不等式正确的是（
）
A． ＜
B．ac2＜bc2
C． ＞
D．a2＞ab＞b2
选：D．
6．设 a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（
A．充分不必要条件
C．充要条件
选：A．
7．已知函数 f（x）＝
A．2
选：D．
B．4
）
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
，其中 x∈N，则 f（8）＝（
C．6
D．7
）
8．已知集合 M＝{0，1}，则满足 M∪N＝{0，1，2}的集合 N 的个数是（
）
A．2
选：C．
B．3
C．4
D．8
9．函数 y＝
的值域是（
）
A．（﹣1， ]
B．（﹣1，1）
C．（﹣∞， ]
D．（﹣2，2）
选：A．
10．函数 f（x）＝
的单调递增区间是（
）
B．（﹣∞，0），（0，1）
D．（1，+∞）
A．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，0）∪（0，1）
选：B．
11．对∀x∈R，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0 恒成立，则 a 的取值范围是（
12．定义在（0，+∞）上的函数 f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞），且 x1≠x2，都有
）
C．a＜﹣2 或 a≥2 D．a≤﹣2 或 a≥2
A．﹣2＜a≤2
选：A．
B．﹣2≤a≤2
＞0 成立，且 f（2）＝4，则不等式 f（x）＞2x 的解集为（
）
A．（4，+∞）
选：D．
B．（0，4）
C．（0，2）
D．（2，+∞）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）.
13．已知 A＝{0，a，a2}，若 1∈A，则实数 a 的值是 ﹣1 ．
解：∵1∈A，∴a＝1 或 a2＝1，
【分析】利用元素和集合的关系，以及集合的互异性可求解．
当 a＝1 时，a2＝1，则 A＝{0，1，1}不满足集合的互异性，舍去．
当 a2＝1 时，解得：a＝﹣1，a＝1（舍去），此时 A＝{0，﹣1，1}符合题意．
故答案为：﹣1．
14．若正实数{an}满足 a+2b＝1，则 + 的最小值为 9 ．
解： + ＝（a+2b）（ + ）＝1+4+
+ ≥5+2
＝5+4＝9，当且仅当 a＝
b＝ ，
故 + 的最小值为 9．
故答案为：9．
15．已知函数 f（x）＝x3+ax+ +2，若 f（10）＝6，则 f（﹣10）＝ ﹣2 ．
答案为：﹣2．
16．已知函数 y＝f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），考察下列四个结论：
①若 f（﹣1）＝f（1），则 f（x）是偶函数；
②若 f（﹣1）＜f（1），则 f（x）在区间[﹣2，2]上不是减函数；
③若|f（x）|＝|f（﹣x）|，x∈R，则 f（x）是奇函数或偶函数；
④若 f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则 f（x）是 R 上的增函数．
其中正确的结论序号是 ② ．
答案为：②．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17
10
．
（
）
计
分
算
：
（
1
）
；
（2）已知
＝3，求
的值．
解：（1）原式＝2×4×27+2﹣4× ﹣2+1＝216+2﹣7﹣2+1＝210；
（2）∵
＝3，∴x+x﹣1＝7，x2+x﹣2＝47，
∴
＝
＝ ．
18．（12 分）已知 a∈R，若关于 x 的不等式 ax2﹣3x+2＜0 的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求 a 的值；
（2）若关于 x 的不等式 ax2+bx+2≥0 在[0，2]上恒成立，求实数 b 的取值范围．
解：（1）关于 x 的不等式 ax2﹣3x+2＜0 的解集是{x|1＜x＜2}，
∴1，2 是方程 ax2﹣3x+2＝0 的两个根，
∴1+2＝ ，1×2＝ ，
解得 a＝1，
（2）当 a＝1 时，于 x 的不等式 x2+bx+2≥0 在[0，2]上恒成立，
当 x＝0 时，不等式恒成立，
当 x≠0 时，﹣b≤x+ ，
由于 x+ ≥2
＝2 ，当且仅当 x＝ ∈（0，2]，
∴﹣b≤2 ，
∴b≥﹣2 ，
故 b 的取值范围为[﹣2 ，+∞）．
19．（12 分）已知全集为 R．函数 f（x）＝
的定义域为集合 A，集合 B＝{x|x2﹣x﹣2
≥0}．
（1）求 A∩B；
（2）若 C＝{x|1﹣m＜x≤m}，C⊆（∁RB），求实数 m 的取值范围．
解：（1）∵函数 f（x）＝
的定义域为集合 A，
∴A＝{x|x＞1}，
∵集合 B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≤﹣1 或 x≥2}．
∴A∩B＝{x|x≥2}．
（2）∵全集为 R，集合 B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≤﹣1 或 x≥2}．
∴∁RB＝{x|﹣1＜x＜2}，
∵C＝{x|1﹣m＜x≤m}，C⊆（∁RB），
∴当 C＝∅时，1﹣m≥m，解得 m≤ ．
当 C≠∅时，
，解得
．
综上，实数 m 的取值范围是（﹣∞，2]．
20．（12 分）已知幂函数 f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•x 在（0，+∞）上单调递减．
（1）求实数 m 的值．
（2）若实数 a 满足条件 f（1﹣a）＞f（3+2a），求 a 的取值范围．
解：（1）∵f（x）是幂函数，∴m2﹣2m﹣2＝1，解得：m＝3 或 m＝﹣1，
m＝3 时，f（x）＝ 在（0，+∞）上单调递增，
m＝﹣1 时，f（x）＝ 在（0，+∞）递减，
故 m＝﹣1；
（2）若实数 a 满足条件 f（1﹣a）＞f（3+2a），
则
或
或
，
解得：a＜﹣ 或﹣ ＜a＜1，
故 a 的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，1）．
21．（12 分）已知函数 f（x）的定义域是[﹣1，1]，若对于任意 x，y∈[﹣1，1]，都有 f（x+y）
＝f（x）+f（y）且 x＞0 时，有 f（x）＞0．
（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上为奇函数，且为单调递增函数；
（2）解不等式 f（x+1）+f（ x）＞0；
解：令 x＝y＝0，可得 f（0）＝f（0）+f（0），即 f（0）＝0，
（1）令 y＝﹣x，得 f（0）＝f（x）+f（﹣x），
即，f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数；
令﹣1≤x1＜x2≤1，则 x2﹣x1＞0，且 f（x）为奇函数，
f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）＞0，
∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（2）由题意可知，f（x+1）＞f（﹣ x），
∴
，
∴
，
即不等式的解为：{x|﹣
}．
22．（12 分）已知二次函数 f（x）满足条件 f（0）＝0，f（x+2）﹣f（x）＝4x+8．
（t），求函数 H（t）；
（1）求函数 y＝f（x）的解析式；
（2）设 F（x）＝tf（x）﹣2x﹣3，其中 t≥0，函数 F（x）在 x∈[﹣3.2]时的最大值是 H
（3）若 g（x）＝f（x）+k（k 为实数），对于任意 x1∈[0，+∞），总存在 x2∈[0，+∞）
使得 g（x1）＝H（x2）成立，求实数 k 的取值范围．
解：（1）∵f（0）＝0，∴设 f（x）＝ax2+bx，
∵f（x+2）﹣f（x）＝4x+8，
∴f（2）＝8，f（﹣2）＝0，
故
，解得：a＝1，b＝2，
∴f（x）＝x2+2x；
（2）F（x）＝t（x2+2x）﹣x﹣3＝tx2+（2t﹣1）x﹣3，（t≥0），
分以下情况讨论 F（x），x∈[﹣3，2]的最大值 H（t）
①当 t＝0 时，F（x）＝﹣x﹣3 在 x∈[﹣3，2]上是减函数，H（t）＝F（x）max＝F（﹣3）
＝0；②当 t＞0 时，F（x）的图象关于直线 x＝﹣
＝﹣1+ 对称，
∵
＝﹣ ，故只需比较﹣1+ 与﹣ 的大小．
当﹣1+ ≤﹣ 即 t≥1 时，F（2）≥F（﹣3），F（x）max＝H（t）＝F（2）＝8t﹣5．
当﹣1+ ＞﹣ 即 0＜t＜1 时，F（2）＜F（﹣3），F（x）max＝H（t）＝F（﹣3）＝3t；
综上所得 H（t）＝
；
（3）∵H（t）＝H（t）＝
，函数 H（t）的值域为[0，+∞），
成立，
g（x）＝x2+2x+k 在区间[0，+∞）上单调递增，
故值域为[k，+∞），对任意 x1∈[0，+∞），总存在 x2∈[0，+∞）使得 g（x1）＝H（x2）
则[k，+∞）⊆[0，+∞），
∴k≥0．
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