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2021-2022年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案.doc
2021-2022 年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案
一．填空题
1. 已知集合
A
1,0,1
，
B
2
x x
2
x
0
，则 A B ______．
【答案】{ 1,0,1,2}
2. 不等式 2022
x 的解集为______．
1
【答案】 (
,0]
3. 已知 a、b是方程 23
x
4
x
1 0
的两个根，则
1
a
______．
1
b
【答案】4
4. 已知 0
x ，则
4x
4
x 的最大值为______．
【答案】4
5. 设：
m
1
x
2
m
4
m
的取值范围为______．
；：1
R
3x ．若是的充分条件，则实数 m
1
2
b
3
【答案】
6. 已知 2
a
【答案】1
m
0
，则
6
1
a
________.
1
b
7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300
2m 的内接矩形花园（阴影部
分），则其一边长 x（单位 m）的取值范围是___________.
【答案】[10，30]
8. 若存在实数 x满足
x
【答案】 1
1
2
x
2
a
，则实数 a的最小值为______．
a
5
9. 不等式 1
x
的解集为______．
3
6
x
【答案】
2,4
10. 若函数
f x
x
x
1
x
解集为______．
【答案】
8,
3
的反函数为
0
y
1
f
x
，则关于 x的不等式
1
x
f
的
3
a （ 0a 且 1a ）在
x
1,2 的最大值与最小值之差等于
，则实数 a 的
a
2
11. 已知函数
y
值为______．
【答案】
3
2
或
1
2
12. 若函数
f x
2 ,
x x a
,
x x a
有 2 个零点，则实数 a的取值范围是______．
x x
1
【答案】
2,0
1,2
13. 在实数运算中定义新运算“ ”：
a
b
,
a a b
2
,
b a b
，则函数
y
2 3
x
2
x
的零
点个数为______．
【答案】 2
二．选择题
14. 设 a、b都是实数，则“ 1a 且 2b ”是“
a b 且
3
ab ”的（
2
）条件
A. 充分非必要
C. 充要
【答案】A
15. 函数
y
x
x
2
2
x
的图象关于（
）对称
B. 必要非充分
D. 既非充分也非必要
B. y轴
C. 原点
D. 直线
A. x轴
y
x
【答案】B
16. 函数
y
2x
的零点所在的区间为（
1
x
）
A.
1,0
【答案】C
B.
10,
2
C.
1 ,1
2
D.
1,2
17. 已知 a、b R ，有以下 3 个命题：①若 0
，则 a
a
a b
1
b
b ；②若 0
，
a b
1
则 log
b
log
a
b
a
；③若
a
b ，则 b
a
1
a
b ．其中真命题的个数是（
）
A. 3 个
【答案】C
B. 2 个
C. 1 个
D. 0 个
18. 设关于 x的一元二次不等式 2
ax
与 ，则不等式
A.
2,3
B.
2,3
,2
3,
bx
与 2
dx
0
c
ex
的解集分别为
0
f
2
ax
bx
c dx
2
ex
f
的解集为（
0
）
C. R
D.
【答案】B
19. 已知函数
( )
f x
,
x x
0
log
a
1
3
1
3
，若关于 x 的方程 [
f
( )] 0
f x 有且只有一个实数根，
x
,
x
0
则实数 a 的取值范围是（
）
A. (
,0)
(0,1)
C. (
,0)
【答案】B
20. 已知函数
f x
值范围是（
）
A.
C.
3 3,
3 3,3
【答案】D
a
1
3
1
3
log ,
x x
1
3
1
3
x
,
x
B. (
,0)
(1,
)
D. (0,1)
(1,
)
，若函数
f x 在 R 上是严格减函数，则实数 a的取
B.
0,
D.
3 3,
a
x
2
a
．
3
三．解答题
21. 设全集为 R ，已知
A
x
x
x
3
1
0
，
B
x
2
（1）若 1a ，求 A B ；
（2）若 A B R ，求实数 a的取值范围．
【答案】（1）{ |1
x
x ；
3}
（2） 3a .
22. 设函数
y
f x
，且
f x
x
x
x
2 ,
x
1
；
,
x
1
1
（1）作出函数
y
f x
的大致图像，并指出它的单调区间；
（2）当实数 a变化时，讨论关于 x的方程
f x
a 的解的个数．
【答案】（1）函数
y
f x
的图像见解析，递减区间为 (
，(1,2) ，递增区间是 (0,1) ，
,0)
(2,
) ；
（2）关于 x的方程
f x
a 的解的个数见解析.
23. 设函数
y
f x
，且
f x
x
2 1 1
．
（1）作出函数
y
f x
的大致图像，并指出它的单调区间；
（2）当实数 a变化时，讨论关于 x的方程
f x
a 的解的个数．
【答案】（1）函数
y
f x
的图像见解析，递减区间为 (
(1,
) ；
（2）关于 x的方程
f x
a 的解的个数见解析.
，(0,1) ，递增区间是 ( 1,0)
, 1)
，
24. 某小微公司每年燃料费约 20 万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为
x x
0
（单位：平方米）可用 10 年的太阳能板，其工本费为
补工作，从此，公司每年的燃料费为
k
x
年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．
10
x
2
（单位：万元），并与燃料供热互
（ 0x ，k为常数）万元．记 y为该公司 10
40
（1）求 k的值，并写出函数
y
f x
的表达式；
（2）求 y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积 x．
【答案】（1） 800
k
，
y
800
4
x
x
2
(
0x )；
（2）38 万元，安装的太阳能板的面积为 36 平方米.
25. 已知函数
f x
log 1
2
x
log 1
2
，
x
g x
x
4
2
x
1
（1）判断函数
y
f x
的奇偶性与单调性，并说明理由；
m m
．
1
（2）若对满足
f p
f q
的实数 p、q，都有
g p
0
0
g q
，求实数 m的取值范
围．
【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析
（2）
m
25
12
26. 已知函数
f x
log 1
2
x
log 1
2
，
x
g x
x
4
2
x
1
（1）判断函数
y
f x
的奇偶性与单调性，并说明理由；
m m
．
1
（2）若
g x 对任意
0
x 都成立，求实数 m的取值范围．
0,
【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析
（2）
m
5 1
2
27. 已知函数
f x
1
2
2
x
x
．
（1）求函数
y
f x
的值域；
（2）若不等式
2
x f x
1
3
x
在
kx
x
1,2
时恒成立，求实数 k的最大值；
（3）设
g x
t
1
f x
（
x
1 1,
m n
，
m n ， 0
t ），若函数
0
y
g x
的值域
为
2 3 ,2 3
n
m
，求实数 t的取值范围．
【答案】（1） (
,1)
（2） 2
（3） (0,1)
28. 若函数
y
（1）判断函数
f x
f
满足
f x
f x
1
x
和
g x
1
x
（
q x
p x
=
x
1
，则称函数
y
f x
为“倒函数”．
是否为倒函数，并说明理由；
13x
（2）若
x
p x 恒为正数），其中
p x 是偶函数，
q x 是奇函数，求
证：
x 是倒函数；
（3）若
h x
2
x m nx n
单调性，并说明理由．
为倒函数，求实数 m、n的值；判定函数
0
y h x
的
【答案】（1）函数
f x 和
g x 都不是“倒函数”；
（2）因函数
p x 是偶函数，
q x 是奇函数，则它们的定义域必关于数 0 对称，
依题意，
x 的定义域是函数
p x 与
q x 定义域的交集，也必关于数 0 对称，
因此，
x
x
p x
q x
p
x
q
x
p x
q x
p x
q x
p x
0
1
，
所以
x 是倒函数.
（3）显然，函数
h x 的定义域关于数 0 对称，又
h x 是倒函数，
于是得
h x h
x
(
2
x m nx
) (
2
x m nx
)
(1
2
n x m
)
2
，则
1
0
2
1
n
1
m
，又 0
n ，解得
m
1,
n
，
1
所以实数 m、n的值分别为
m
1,
n
；
1
函数
h x
x
2 1
是 R 上的增函数，
x
,
x x
2
1
， 1
x
R
x ，
2
则
h x
1
h x
2
(
2
x
1
1
x
1
)
(
x
2
2
1
x
2
)
2
x
1
1
2
x
2
2
x
2
2
x
1
1
x
1
x
2
(
x
1
x
2
)(
x
1
1
x
2
2
x
2
2
x
1
1
1)
，
显然， 2
x
1
1
2
x
2
1
2
x
1
2
x
2
|
x
1
|
|
x
2
|
，即
x
2
x
1
x
1
1
x
2
2
x
2
2
x
1
1
1
，
x
而 1
x
x ，即 1
2
x
2
，于是有
0
(
x
1
x
2
)(
x
1
1
x
2
2
x
2
2
x
1
1
1) 0
，即
h x
1
h x
2
，
所以函数
h x
x
2 1
是 R 上的增函数.
x
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