2021-2022 年上海市长宁区高一数学上学期期末试卷及答案
一、填空题(每小题 3 分,共 36 分)
1. 已知集合
A
1,2,4,8
,集合 B { x x 是 6 的正因数},则 A B __________.
【答案】{1,2,3,4,6,8}
2. 如果 2
ac
2
bc ,那么 a
b ”是__________命题.(填“真”或“假”)
【答案】真
3. 函数
y
log
2
2
x
1
x
(1,
, 2)
)
x 在区间
y
a
的定义域是__________.
【答案】 (
4. 已知幂函数
0, 上是严格增函数,且图象关于原点成中心对称,写出一
个满足条件的 a __________.
【答案】1(答案不唯一)
5. 当 0x 时,化简
x
4
4 x
3
3
x
__________.
【答案】 x
6. 若要用反证法证明“对于三个实数 a ,b , c ,若 a
___________.
【答案】 a b 且b c
c ,则 a
b¹ 或b c ”,应假设
7. 已知 lg 2
a , lg3 b ,用 a ,b 表示 18
log 15 __________.
【答案】
1
a b
2
a
b
8. 已知等式 2
x
3
2
x
1
(
a x
2
1)
(
b x
恒成立,其中 a ,b , c 为常数,则
1)
c
__________.
a b c
【答案】1
9. 已知一元二次方程 2 2
mx
有两个正实根,则实数 m 的取值范围是
x m
3 0
___________.
【答案】
0
m
13 3
2
10. 已知函数
y
x
2 2
ax a
,
x
0,1
的最小值为 1,则实数 a 的值为__________.
【答案】1
对 x R 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________.
11. 若 2
x
2
3
a
x
x
【答案】 ( ,5]
12. 已知函数
( )
f x
1
x
2
x a
;若存在相异的实数
x x ,使得
1
,0
,
2
f x
1
f x
2
成立,则实数 a 的取值范围是__________.
【答案】 (
2)
,
二、选择题(每小题 3 分,共 12 分)
13. 如图,点 D , E 分别为 ABC
的边 AB , AC 上的两点,若:
AD DE
AB
BC
,:
∥DE
BC ,则是的(
)
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
【答案】C
14. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 y
的图象关系可能是(
)
D. 既非充分也非必要条件
与对数函数 loga
x a
y
x
( 0a 且 1a )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
15. 如图所示是某地池塘中的浮萍蔓延的面积 y (单位: 2m )与时间 t (单住:月)的关
系,以下结论错误的是(
)
A.
y
2t
B. 第 5 个月时,浮萍的面积会超过
30m
2
C. 浮萍的面积从 22m 到 26m 需要经过大约 1.6 个月
D. 浮萍每个月面积的增长率是50%
【答案】D
16. 下列命题中:
①当 0n 时,函数
y
n
x 的图象是一条直线;
②函数
y
2
x= 和
2
y
lne x
为同一函数;
③若函数
y
( )
f x
是奇函数,则 0
f
;
0
④函数
y
( )
f x
在区间
,a b 上的图象是一段连续曲线,如果
f a
0
f b
,则函数
f x 在
( )
,a b 上没有零点.
真命题的个数为(
)
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
A. 0 个
【答案】A
三、解答题(共 52 分)
17. 已知集合
A
,
x y y
4
x
1
,集合
B
,
x y y
2
x
2
,求集合 A B .
【答案】{(1,3),(3,11)}
18. 如图,在矩形地基的中心位置上建造一个面积为
350m 的一个矩形仓库,仓库四周铺
设人行道;要求南北两侧的人行道宽 4m ,东西两侧的人行道宽5m ,如何设计仓库的边长,
才能使人行道的占地面积最小(结果精确到 0.1m )?
2
【答案】仓库的长为 5 70
2
20.9
方米.
米,宽为 16.7 米时,人行道的占地面积最小为 414.7 平
19. 科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度,则
里氏震级度量 r 可定义为
r
2 lg
3
I
;
2
(1)若
I
1.2 10
,求相应的震级;(结果精确到 0.1 级)
6
(2)中国地震台网测定:2021 年 11 月 17 日 13 时 54 分在江苏省盐城市大丰区海域发生 5.0
地震,地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈,上海亦有震感;请问汶川 8.0 级地震的相对
能量 8.0I 是大丰区海域 5.0 级地震相对能量 5.0I 的多少倍?(结果精确到个位)
【答案】(1) 6.1
(2)31623
20. 已知函数
y
1
ax
2
x
( a 为常数).
y
(1)若 1a ,请研究函数
1
2
(2)是否存在 a ,使得该函数在区间
在,求出符合条件的 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
x
x
的定义域、值域、奇偶性、单调性,并做出大概图象;
1, 上是严格增函数,并且函数值不恒为正,若存
x
y
1
【答案】(1)
2 1
2
x
当 2 0
图象不关于原点,也不关于 y 轴对称, 函数既不是奇函数,也不是偶函数;
x ,即定义域为
x x ,值域为
|
|
y y ;
1
1
2
,
2
x
由图象易得函数在 (
,( 2,
, 2)
单调递增;
)
a
a
1 2
a
2
x
,
(2)
y
(
a x
1
ax
2
x
1 2
a
3
a
2) 1 2
2
x
0,
a
1 0,
0,
由题意得:
方程组无解,
不存在 a 的值满足题意.
21. 设函数
y
( )
f x
x
.
R
(1)若对任意实数 a ,b 有
f a b
f a
f b
①判断函数的增减性,并证明;
成立,且当 0
x 时, ( )
f x ;
0
②解不等式:
f
t
2 5
f
6
t
;
0
(2)证明:“
y
( )
f x
x
图象关于直线 x a 对称”的充要条件是“任意给定的 Rx ,
R
f
2
a x
( )
f x
”.
【答案】(1)①函数
y
( )
f x
为 R 上增函数,证明见解析;②{ | 5
t
t
1}
(2)证明:因为
y
( )
f x
图象关于直线 x a 对称,
所以 (
f a x
)
(
f a x
,令 a x
,
)
t
则 x
,
a t
a x
2
a t
,
所以 ( )
t
f
f
(2
,即 ( )
f x
a t
)
=
f
(2
a
- 成立;
x
)
若 ( )
f x
f
(2
a x
,令 x
)
,则 2a x a t
,
a t
即 (
f a t
)
(
f a t
,即 (
f a x
)
)
(
f a x
成立,
)
即
y
( )
f x
图象关于直线 x a 对称;
所以“
y
( )
f x
x
图象关于直线 x a 对称”的充要条件
R
是“任意给定的 Rx ,
f
2
a x
( )
f x
”.