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2021-2022年上海市长宁区高一数学上学期期末试卷及答案.doc
2021-2022 年上海市长宁区高一数学上学期期末试卷及答案
一、填空题（每小题 3 分，共 36 分）
1. 已知集合
A
1,2,4,8
，集合 B ｛ x x 是 6 的正因数｝，则 A B __________.
【答案】{1,2,3,4,6,8}
2. 如果 2
ac
2
bc ，那么 a
b ”是__________命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
3. 函数
y
log
2
2
x
1
x
(1,
, 2)
)
x 在区间
y
a
的定义域是__________.
【答案】 (
4. 已知幂函数
0, 上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称，写出一
个满足条件的 a __________.
【答案】1（答案不唯一）
5. 当 0x 时，化简
x
4
4 x
3
3
x
__________.
【答案】 x
6. 若要用反证法证明“对于三个实数 a ，b ， c ，若 a
___________.
【答案】 a b 且b c
c ，则 a
b¹ 或b c ”，应假设
7. 已知 lg 2
a ， lg3 b ，用 a ，b 表示 18
log 15 __________.
【答案】
1
a b
2
a
b
8. 已知等式 2
x
3
2
x
1
(
a x
2
1)
(
b x
恒成立，其中 a ，b ， c 为常数，则
1)
c
__________.
a b c
【答案】1
9. 已知一元二次方程 2 2
mx
有两个正实根，则实数 m 的取值范围是
x m
3 0
___________.
【答案】
0
m
13 3
2
10. 已知函数
y
x
2 2
ax a
，
x
0,1
的最小值为 1，则实数 a 的值为__________.
【答案】1
对 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是__________.
11. 若 2
x
2
3
a
x
x
【答案】 ( ，5]
12. 已知函数
( )
f x
1
x
2
x a
；若存在相异的实数
x x ，使得
1
,0
,
2
f x
1
f x
2
成立，则实数 a 的取值范围是__________.
【答案】 (
2)
,
二、选择题（每小题 3 分，共 12 分）
13. 如图，点 D ， E 分别为 ABC
的边 AB ， AC 上的两点，若：
AD DE
AB
BC
，：
∥DE
BC ，则是的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
【答案】C
14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y
的图象关系可能是（
）
D. 既非充分也非必要条件
与对数函数 loga
x a
y
x
（ 0a 且 1a ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
15. 如图所示是某地池塘中的浮萍蔓延的面积 y （单位： 2m ）与时间 t （单住：月）的关
系，以下结论错误的是（
）
A.
y
2t
B. 第 5 个月时，浮萍的面积会超过
30m
2
C. 浮萍的面积从 22m 到 26m 需要经过大约 1.6 个月
D. 浮萍每个月面积的增长率是50%
【答案】D
16. 下列命题中：
①当 0n 时，函数
y
n
x 的图象是一条直线；
②函数
y
2
x= 和
2
y
lne x
为同一函数；
③若函数
y
( )
f x
是奇函数，则 0
f
；
0
④函数
y
( )
f x
在区间
,a b 上的图象是一段连续曲线，如果
f a
0
f b
，则函数
f x 在
( )
,a b 上没有零点.
真命题的个数为（
）
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
A. 0 个
【答案】A
三、解答题（共 52 分）
17. 已知集合
A
,
x y y
4
x
1
，集合
B
,
x y y
2
x
2
，求集合 A B .
【答案】{(1,3),(3,11)}
18. 如图，在矩形地基的中心位置上建造一个面积为
350m 的一个矩形仓库，仓库四周铺
设人行道；要求南北两侧的人行道宽 4m ，东西两侧的人行道宽5m ，如何设计仓库的边长，
才能使人行道的占地面积最小（结果精确到 0.1m ）？
2
【答案】仓库的长为 5 70
2
20.9
方米．
米，宽为 16.7 米时，人行道的占地面积最小为 414.7 平
19. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则
里氏震级度量 r 可定义为
r
2 lg
3
I
；
2
（1）若
I
1.2 10
，求相应的震级；（结果精确到 0.1 级）
6
（2）中国地震台网测定：2021 年 11 月 17 日 13 时 54 分在江苏省盐城市大丰区海域发生 5.0
地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川 8.0 级地震的相对
能量 8.0I 是大丰区海域 5.0 级地震相对能量 5.0I 的多少倍？（结果精确到个位）
【答案】（1） 6.1
（2）31623
20. 已知函数
y
1
ax
2
x
（ a 为常数）.
y
（1）若 1a ，请研究函数
1
2
（2）是否存在 a ，使得该函数在区间
在，求出符合条件的 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
x
x
的定义域、值域、奇偶性、单调性，并做出大概图象；
1, 上是严格增函数，并且函数值不恒为正，若存
x
y
1
【答案】（1）
2 1
2
x
当 2 0
图象不关于原点，也不关于 y 轴对称， 函数既不是奇函数，也不是偶函数；
x ，即定义域为
x x ，值域为
|
|
y y ；
1
1
2
，
2
x
由图象易得函数在 (
，( 2,
, 2)
单调递增；
)
a
a
1 2
a
2
x
，
（2）
y
(
a x
1
ax
2
x
1 2
a
3
a
2) 1 2
2
x
0,
a
1 0,
0,
由题意得：
方程组无解，
不存在 a 的值满足题意.
21. 设函数
y
( )
f x
x
.
R
（1）若对任意实数 a ，b 有
f a b
f a
f b
①判断函数的增减性，并证明；
成立，且当 0
x 时， ( )
f x ；
0
②解不等式：
f
t
2 5
f
6
t
；
0
（2）证明：“
y
( )
f x
x
图象关于直线 x a 对称”的充要条件是“任意给定的 Rx ，
R
f
2
a x
( )
f x
”.
【答案】（1）①函数
y
( )
f x
为 R 上增函数，证明见解析；②{ | 5
t
t
1}
（2）证明：因为
y
( )
f x
图象关于直线 x a 对称，
所以 (
f a x
)
(
f a x
，令 a x
，
)
t
则 x
，
a t
a x
2
a t
，
所以 ( )
t
f
f
(2
，即 ( )
f x
a t
)
=
f
(2
a
- 成立；
x
)
若 ( )
f x
f
(2
a x
，令 x
)
，则 2a x a t
，
a t
即 (
f a t
)
(
f a t
，即 (
f a x
)
)
(
f a x
成立，
)
即
y
( )
f x
图象关于直线 x a 对称；
所以“
y
( )
f x
x
图象关于直线 x a 对称”的充要条件
R
是“任意给定的 Rx ，
f
2
a x
( )
f x
”.
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