2022-2023 年上海市金山区高一数学上学期期末试卷及答案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分，每题 3 分）考生应在答题纸的相应位直接填 写结果． 1. 已知集合 A   2,2 a   1 ，且1 A ，则实数 a的值为__________． 【答案】1 2. 已知角的终边经过点  P  ，则sin __________． 1, 2   【答案】 2 5 5 ln 3. 函数  y  x  1  的定义域为__________． 【答案】 (1, ) 4. 将 5 a a 3 化为有理数指数幂的形式为__________． 【答案】 8 5a 5. 已知角是第四象限角，且 cos  5 5 ，则sin  + cos  的值为__________． 【答案】 5 5  6. 已知函数 y  2 x  ax __________． 【答案】 2  ，  b 1 x ,2 （ ,a b  R 且 2b  ）是偶函数，则 a b 的值为 7. 已知3 m  ，用 m表示 3 6 log 54 为__________． 【答案】 2m  ## 2 m 8. 设 a 、b 为正数，且 a b  ，则 1 a 1  的最小值为_____________. 1 b 【答案】4 9. 已知常数 0a  且 1a  ，无论 a取何值，函数 y   log 3 a x  5   的图像恒过一个定点， 4 

则此定点为__________． 【答案】 (2, 4) A 1 8  = { | ( x a - 2 1) x + 3 x - 2 = 有且仅有两个子集，则实数 a __________. } 0 10. 已知集合 【答案】1 或 11. 设   f x  2 ax   a   1 x 1  ， x     1 1, 2 2    ，若函数 y    f x 在定义域上满足：①是 非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数 a的取值范围是 __________． 【答案】  , 1    1,      1 2    12. 已知t R ，集合 A   , t t  1     t 4, t  ，0 A ，若存在正数，对任意 a A ， 9  都有  a  ，则 t 的所有可能的取值组成的集合为________． A 【答案】 1, 3 ##  3,1 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分，每题 3 分）每题有且只有一个正确选项．考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若非零实数 a，b满足 a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） B. -a>-b C. 3 a 3 b D. A. 2 a 2 b a b 【答案】C 14. 设 xR ，则“ 1 x   ”是“ 1    ”的（ 5x 2 ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 C. 充要条件 【答案】A 15. 设集合 , ,A B C 均为非空集合.（ ） A. 若 A B B C B. 若 A B B C    ，则 A C    ，则 A C 

C. 若 A B B C D. 若 A B B C  ，则C B     ，则C B 【答案】C 16. 已知   f x  2  ，若关于 x的方程  1x f x    a  f x  的整数解，则实数 a的取值范围是（ ）．    有且仅有两个不同 1 1 a A.    1 2 1,    4  【答案】A B.    1 ,0 2    C.  0,1 D.  0 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置出必要 的步骤． 17. 已知集合 A   x a （1）求集合 B；     ， a x 2  2 B  x    x x   1 2  0    ． （2）若 A B ，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） B  （2）     4,  , 3  x x 2 或 x   1   18. 已知   f x  2 x  ax a  ． （1）若函数 y    f x 有零点，求实数 a的取值范围； （2）若方程  f x  有两个实根 1  0 ,x x ，求 2 x 1 2 x 的最小值． 2 2 【答案】（1）  ,0  U  4,   （2）0 19. 某城市 2023 年 1 月 1 日的空气质量指数（简称 AQI））与时间 x（单位：小时）的关系 y    f x 满足下图连续曲线，并测得当天 AQI的最大值为 103．当  x  0,14  时，曲线是 二次函数图像的部分；当  x  14,24  时，曲线是函数 y  102 log   x 2 13  图像的一部  分．根据规定，空气质量指数 AQI的值大于或等于 100 时，空气就属于污染状态． 

（1）求当  x  0,14  时，函数 y    f x 的表达式； （2）该城市 2023 年 1 月 1 日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由． 【答案】（1）  f x    1 4  x  12 2   103, x   0,14  （2） 12 2 3,17    20. 已知  f x   4   ，理由见详解 1  ． 2 x （1）判断并证明函数 y    f x 的奇偶性； （2）判断并证明函数 y    f x 在区间 2,  上的单调性；  （3）根据函数 y    f x 的性质，画出函数 y    f x 的大致图像． 【答案】（1）偶函数； （2）单调递增； （3）由（2）同理可得   f x 在区间[0,2) 上单调递增， 由（1）知  f x 是偶函数，则  f x 在     和 ( 2,0] , 2   上单调递减， 所以其图象如图所示： 

21. 已知函数 y    f x 的定义域为 D，区间 M D ，若存在非零实数 t使得任意 x M 都 有 x t D  ，且  f x t     f x  ，则称 y    f x 为 M上的t  增长函数． （1）已知   f x x ，判断函数 y    f x 是否为区间 1,0 上的 3 2  增长函数，并说明理 由； （2）已知 0 n  ，设   g x 2 x ，且函数 y    g x 是区间   上的 n  增长函数，求 4, 2  实数 n的取值范围； （3）如果函数   y h x  是定义域为 R 的奇函数，当 0 x  时，  h x    x a 2   y h x  数 为 R 上的 4  增长函数，求实数 a的取值范围． 【答案】（1）是，理由见详解 （2） 8,   （3） 1,1 2  ，且函 a