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2022-2023年上海市浦东新区高一数学上学期期末试卷及答案.doc
2022-2023 年上海市浦东新区高一数学上学期期末试卷及答
案
一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对
得 3 分，否则一律得零分.
____________ R .（用符号“ ”或“”填空）
π
1.
【答案】
A
2. 已知集合
【答案】 1 或 2
22,
a
3
a
3
，且1 A ，则实数 a的值为____________.
3. 函数
y
log
的定义域是__________.
2
2
x
1
x
(1,
, 2)
【答案】 (
)
4.
: x 是 2 的倍数， : x 是 6 的倍数，则是的____________条件（填“充分非必要”
“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.
【答案】必要非充分
5. 用有理数指数幂的形式表示 3
4a
a
3
（其中 0a ）____________.
【答案】
15
4a
6. 设 0
1a ，则关于 x的不等式 2 2
x
a
x
3
的解集是____________.
6
a
【答案】 ( 1,3)
7. 已知一元二次方程 2
x
x
3
a
0(
a
x
的两个实根为 1
0)
x、 ，则
2
1
a
____________.
2
x x
1
2
2
x x
2 1
【答案】3
8. 请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.
①上海市 2022 年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点 (0 0)， 的距离等于 1 的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式 3
的所有正整数解.
x
10
0
【答案】①②④
9. 设 a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是____________.
①如果 a
②如果 a
b ，且 c d ，那么 a c
d ，那么 ac
b¹ ，且 c
③如果
a b
，那么
0
0
1
a
；
b d
bd ；
1
b
；
④如果
(
a b
)
2
(
b c
)
2
，那么 a b c
.
0
【答案】①③④
10. 已知对数函数 loga
0,4x
y
，则实数 0x 的值是____________.
x
（ 0a 且 1a ）的图象经过点 (3,2) ，且该函数图象经过点
【答案】9
11. 已知正数 a和 b满足
a
2
3 ,
b
1
a
【答案】
2
a
1
b
，用 a及 b表示 18
log 12 ____________.
1
2
b
12. 某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式
x
1
x ，当且仅当 0x 时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意 0
“ e
ln
x
bx
【答案】
恒成立，则 b的取值范围____________.
0,e
x ，
二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个
结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分.
13. 下列函数与函数 y
x 相同的是（
）
D.
D.
A.
y
(
2
x
)
B.
y
ln ex
C.
y
4
x
4
y
lne x
【答案】B
14. 下列函数中，值域是 (0,
) 的是（
）
B.
y
1
x
C.
y
2x
A.
y
2
x=
y
lg(
x
1)(
x
0)
【答案】D
15. 关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（
A. 幂函数的图象一定经过 (0,0) 和 (1,1)
）
B. 幂函数的图象一定关于 y轴或原点对称
C. 幂函数的图象一定不经过第四象限
D. 两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点
【答案】C
16. 已知定义域为 R 的函数
成立；②若 x
y
( )
y 则 ( )
f y
f x
在 R 上是严格增函数
1
10
( 3)
f
C. 若 (6) 100
，则
f
A.
y
( )
f x
( )
f x
满足：①对任意 ,
x y ， (
f x
R
y
)
( )
f x
( )
f y
恒
.以下选项表述不正确．．．的是（
f
B. 若 (3) 10
）
，则 (6) 100
f
D. 函数 ( )
F x
=
( )
f x
+
f
(
x
- 的最小
)
值为 2
【答案】A
三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
1| 1
17. 解不等式| 2
x .
【答案】
1,
,0
18. 已知集合 {( ,
x y
A
)
y
∣
4
x
1}
，集合
B
( ,
x y
)
y
∣
2
x
2
，用列举法表示集合
A B .
【答案】{(1,3),(3,11)}
19. 要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如
图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为 30m ，那么当宽 x（单位：m）为多少时，才能
使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）
【答案】居室的宽为 5m 时，居室的最大总面积是
2
75m .
20. 小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已
知 ,a b 为正数，求证：
a b
1
a
构造函数
f x
a b x
2
4
x
1
b
1
a
1
b
，
4
.”得到以下解法：
因为
f x
a b x
2
4
x
1
a
1
b
ax
1
a
bx
2
1
b
0
，当且仅当
x
时取等号；
1
a
1
b
所以对于函数
f x
a b x
2
4
x
1
a
1
b
可得
2
4
4
a b
1
a
1
b
0
，当且
仅当
时 Δ 0 ，
1
a
1
b
即
a b
1
a
1
b
4
，当且仅当 a
b 时可取等号.
阅读上述材料，解决下列两个问题：
（1）若实数 ,
a b c d x 不全相等，请判断代数式
,
,
,
“
24
x
a b c d x
2
a
2
b
2
c
2
d
4
”的取值是正还是负；（直接写出答案，无需
理由）
（2）求证：
4 a
2
2
b
2
c
2
d
【答案】（1）正
a b c d
，并指出等号成立的条件.
2
（2）
4 a
2
2
b
2
c
2
d
a b c d
2
由（1）知：
24
x
a b c d x
2
a
b
2
x
2
a
2
x
2
b
2
x
c
2
4
2
2
c
2
d
x
2
d
2
0
（当且仅当 2x
时取等
a
b
d
c
号），
2
即
4 a
a b c d
2
2
a
2
b
2
c
2
d
，
0
2
b
2
c
21. 已知
y
f x
2
2
d
a b c d
（当且仅当 a b c d
时取等号）.
是定义在 D 上的函数，对于 D 上任意给定的两个自变量的值 1
,x x ，当
2
4
1
x
x
1
x 时，如果总有
f x
1
2
f x
2
，就称函数
y
f x
为“可逆函数”.
（1）判断函数
x
f
1
是否为“可逆函数”，并说明理由；
x
（2）已知函数
y
f
2
x
在区间
0, 上是增函数，证明：
F x
x
f
2
1 ,
x
x
是“可逆函数”；
0,
（3）证明：函数
f
3
x
x
x a
1
x
a
R 是“可逆函数”的充要条件为“ 0
a ”.
【答案】
（1）
则
1f x 与
f
1
x
则 1
f
1
x
y
x
1
x
a a
x ，
f
1
1
x
x
1
x
1
x
0
2
x
x
（2）任取 2
，则
2
f
1
不是“可逆函数”.
在
0,1 上单调递减，在
1, 上单调递增，
x
f
1
min
1
f
1
，
2
恒有两个不同的交点，记为 1
,x x ，
2
x
2
，不符合“可逆函数”定义，
a
F x
2
F x
1
f
2
x
2
f
2
x
1
1
x
2
1
x
1
f
2
x
2
f
2
x
1
x
1
x
2
x x
1 2
；
0, 上是增函数，
x x ，
F x
2
2
f
F x
1
x
2
x
2f
在区间
0
x
x
又 2
1
F x
， 1 2
在区间
0
f
2
x
1
，
0
0
，
x 时，
F x
1
0, 上是增函数，则当 1
x
1 ,
x
0,
x
是“可逆函数”.
2
F x
f
2
x
F x
2
恒成立，
（3）先证明充分性：当 0
a 时，
f
3
x
11
，则
x
3f
x 的定义域为
,0
U
0,
；
任取
x x
1
,
2
,0
0,
x
且 1
x ，
2
则
f
3
x
2
f
3
x
1
1
1
x
2
1
1
x
1
x
2
x
1
x x
1 2
，即
0
f
3
x
1
f
3
x
2
，
x
3f
为“可逆函数”，充分性成立；
再证明必要性：假设当
x
f
3
x
x a
1
x
是“可逆函数”时， 0a ，
构造关于 x 的方程：
x
x a
1
x
2
，化简可得：
2
x
2
a
1
x a
，
0
显然 0x 与 x a 均不是方程的根，又
2
a
2
1
4
a
2
4
a
1 0
，
解方程可得：
x
1
2
a
1
2
4
a
1
，
x
2
2
a
1
2
4
a
1
2
x
，且 1
x ，
2
2
1
x
2
2
x
则 1
1
x
1
x
2
a
x
1
a
假设不成立，即 0
x
2
a ，必要性成立；
，即
f
3
x
1
f
3
x
2
，与
2
3f
x 是“可逆函数”矛盾，
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