2021-2022年北京市通州区高一数学下学期期中试卷及答案.doc

发布时间：2024-04-16 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.91M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2021-2022 年北京市通州区高一数学下学期期中试卷及答案一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目第一部分（选择题共 40 分）要求的一项。（1）已知复数 z m  1 (   m  （ mR ）是纯虚数，则 1)i （A） m   1 （B） 1m  （C） m   1 （D） 1m  （2）在复数范围内解方程 2 x 2 x   ，则该方程的根为 3 0 （A） x   2 （B） x   2 i （C） x    1 2 （D） 1 x    2 i （3）在某中学高一年级的 480 名学生中，男生有 200 名，女生有 280 名. 学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中用分层随机抽样的方法选取 60 人，那么应选取的女生人数为（A） 25 （B） 35 （C） 40 （D） 45 （4）甲、乙两名射击运动员分别连续 6 次射击的环数如下：第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次第 6 次甲乙 8 9 9 10 9 10 10 7 8 7 9 10 根据以上数据，下面说法正确的是（A）甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差相等（B）甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数大（C）甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大（D）甲射击的环数比乙射击的环数稳定（5）如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， AB    a ， AD  b ，则下列运算正确的是  （A） BD    OD  （C）  （B） AC   b a 1 （）（D） 2 b a   CO  a b 1 （） 2 a b  （6）向量 1e ， 2e ，a 在正方形网格中的位置如图所示，若 a  （A） 4 （C） 2 （B） 2 （D） 4     e 1 1 2 e 2 2  1 ( , R) ，则 1 2   （7）已知向量 (2,1) a ， ( 3,4)   b ，则 (  a a b  )  （A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 5

（8）在等边 ABC△   则 BD BE  （A） 2 中， AB  ，D 是 AC 的中点，E 是平面内一点，且 2  BE   BC  5 3 2 3  BA ，（B） 7 3 （C） 3 （D） 10 3 （9）一条河两岸平行，河的宽度为 200m ，一艘船从河岸边的 A 地出发，向河对岸航行. 已知船的速度 1v 的大小为 1 行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为 (min) ，水流速度 2v 的大小为 2 10km/ h v  v  t 6km/ h . 设这艘船，若船的航程最短，则（A）（C）  2  2   ， 1.5  t    ， 2  t  2  3 2  3 （10）在菱形 ABCD 中， DAB  60 （B）（D） 2  3 2  3   ， 1.5  t    ， 2  t  3  4 3  4 是边 AB ，BC ，CD ，DA 上的点，若  ，对角线 AC ， BD 交于点 O ， P ， Q ， M ， N 分别  ，则 PM   QN BC  CM  CD  AB  AP ，， 0    1 3 1 3  与 QN 的夹角的余弦值是（A） 39 13  （B） 13 13  （C） 39 26  （D） 13 26  二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。第二部分（非选择题共 110 分）（11）计算：  ． 1 2i  i a （12）已知向量 (1, 2)   ， ( 2, )y   b ，且 // ba ，则 y  ．（13）某校高一年级 500 名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取 50 名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50) ，[50,60) ， [60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100] 进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，得到体育成绩的折线图，如图所示. 估计该校高一年级中体育成绩低于 60 分的学生人数是；由图判断从分数段开始连续三个分数段的学生人数方差最大. （14）如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D . 现测得 BCD   ， 

 BDC   ， CD s ，在点 C 测得塔顶 A 的仰角为. 若 75  ， 60  ， s  100m ， 30  ，则塔高 AB 为．（精确到 0.1m ）（参考数值： 2 1.41  ， 3 1.73  ）（15）已知五边形 ABCDE 的五个顶点的坐标分别是 (0,0) A ， (2,0) B ， (3,1) C ， (2,3) D ，   ( 1,1) E  ，则 AB AD ．的取值范围是    ；若 P 是五边形 ABCDE 内（或边上）一点，则 AE AP 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）已知复数 1 i z   （i 是虚数单位）. （Ⅰ）求 z 2 z ； z （Ⅱ）如图，复数 1z ， 2z 在复平面上的对应点分别是 A ，B ，求 1 z 2 .  z （17）（本小题 13 分）已知向量 a 的模为 2 ，向量 b 是单位向量．（Ⅰ）若 a 与 b 的夹角为 60 ，求 a b ；（Ⅱ）若 a b 与 2a b 互相垂直，求证： a b . （18）（本小题 13 分）在 ABC△ B  （Ⅰ）当 60 （Ⅱ）当 cos 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 3b  ， 2 c  .  时，求 sin C ； 1 4 A  时，求 a 及 cos B .

（19）（本小题 15 分）某校为了解学生对 2022 年北京冬奥会观看的情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照 [30,40) ，[40,50) ，[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100] 分组，画出频率分布直方图，如下：（Ⅰ）随机抽取的学生测试分数不低于 80 分的学生有 27 人，求此次测试分数在[50,60) 的学生人数；（Ⅱ）估计随机抽取的学生测试分数的 95 %分位数；（Ⅲ）观察频率分布直方图，判断随机抽取的学生测试分数的平均数 m 和中位数 n 的大小关系.（直接写出结论）（20）（本小题 15 分） O ，向量  OA   已知点 (0,0)  OB  （Ⅰ）若 A ， B ，C 三点共线，求实数 k 的值；  （Ⅱ）求与 AB 垂直的单位向量的坐标； ( 2,0) ， (2,2) ，  OC k ( , 1)  . （Ⅲ）若点 P 在线段 AB 的延长线上，且  AP   PB 5 2 ，求点 P 的坐标. （21）（本小题 16 分）在四边形 ABCD 中，对角线（Ⅰ）求 BAC 的大小； AC  ， sin BC 4  ABC AC  cos  BAC . （Ⅱ）若 ACD△ 是锐角三角形， BAD  ， π 2 （Ⅲ）当  AD  时，是否存在实数，使得 AC 2 值；若不存在，请说明理由. CD  10  AD ，求 ACD△ 的面积；的最小值为 2 3 ，若存在，求的

参考答案一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）第一部分（选择题共 40 分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案 A D B D C A B C B C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）第二部分（非选择题共 110 分）（11） 2 i （12） 4 （13）110 ；[50,60) （14） 70.5m （15） 4 ；[ 2,2]  三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（本题 13 分）解：（Ⅰ）因为复数 1 i z   ，所以 z  2 1   ( 1) 2  ， 2  2 1 i z   2 2i   . 所以 z 2 z  2 2i  . （Ⅱ）如图， 1 2 i z   ，  2 3i  1 i  2i z  ， 2  2i 2 i   1 i  5 i 2 1 2 .  z 所以 1 z 2  z  5i 1  2     2 3i 1 i     1 i 1 i       2 2i 3i 3i    1 i  2 ……………………4 分 ……………………5 分 ……………………9 分 2 …………………… 13 分 ……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分 ……………………8 分 ……………………11 分（17）（本题 13 分）解：（Ⅰ）因为向量 a 的模为 2 ，向量 b 是单位向量， 2 1 b  . a  ，所以因为 a 与 b 的夹角为 60 ， cos 60  a b a b   所以   .  1 2 2 1    2 2 （Ⅱ）因为 a b 与 2a b 互相垂直， 0 所以 (  . a b  2 ) b ) (   a 所以 2 a    a b 22 b  a 2    a b 2 b 2 所以 0 a b  . 2 0      . a b 2

b . 所以 a （18）（本题 13 分）解：（Ⅰ）在 ABC△ 中， 3b  ， 2 c  ， 60 B   ，由正弦定理得所以 sin C  c  c sin C ，． B B b sin sin  b 所以 sin C  3 2  2  3 ． 3 3 （Ⅱ）在 ABC△ 中， 3b  ， 2 c  ， cos A  ， 1 4 ……………………13 分 ……………………2 分 ……………………5 分由余弦定理得 2 a  2 b  2 c 2 bc cos A ， ……………………7 分所以 2 a        ． 9 4 2 3 2 10  1 4 所以 a  10 ．由余弦定理得 cos B  2 a 2 b 2 c   2 ac  10 4 9   10 2 2    10 8 . ……………………10 分 ……………………13 分（19）（本题 15 分）解：（Ⅰ）由图知，学生测试分数不低于 80 分的频率 (0.030 0.015) 10 0.45    ．所以抽取的学生人数为 27 0.45  （人）. 60 所以测试分数在[50,60) 的学生人数为 60 (0.010 10)   ……………………3 分  （人）. 6 ……………………5 分（Ⅱ）由图可知，测试分数在 90 分以内的学生所占比例为 (0.005 2 0.010 0.015 0.020 0.030) 10 100 % 85 %.        所以 95 %分位数一定位于[90,100] 内. 所以 90 10    0.95 0.85 1 0.85   96.67 . 所以估计随机抽取的学生测试分数的 95 %分位数约为 96.67. （Ⅲ） m n . （20）（本题 15 分）解：（Ⅰ）因为向量所以 ( 2,0) A  ， B  ( 2,0)  OA   (2,2) ， C k ，  OB  ( , 1)  . (2,2) ， k ( , 1)   OC ……………………7 分 ……………………8 分 ……………………11 分 ……………………15 分， ……………………1 分

  2, 1) . ……………………2 分  AC  AB  ，所以  (4,2) ( k 因为 A ， B ，C 三点共线，  所以 //AB AC 2) 所以 2( 4 k   . . 4   . k  所以  （Ⅱ）设与 AB 2 1, y  2 0. y    所以 x 4 x    2 ……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分 ……………………9 分 ……………………10 分 ……………………11 分 ……………………13 分 ……………………14 分 ……………………15 分垂直的单位向量的坐标 ( , x y  e ) . 所以  5 , x  5  2 5    y  5 或  x     y   5 , 5 2 5 . 5 所以 e  ( 5 5 ,  2 5 5 ) ，或 ( e   5 2 5 5 5 , ) . （Ⅲ）设点 P 的坐标为 1 (  AP 所以  ( x 1  2, y 1 ) ， 1 , ) x y .  BP  ( x 1  因为点 P 在线段 AB 的延长线上，且 2, y  1  AP . 2) 5 2   PB ，  AP  所以  BP . 5 2 x 所以 1 (  2, y 1 )  5 2 ( x 1  2, y 1  2) . ( x 1  2),  2). 所以所以 5 2 y 1    2 x  1  5 (   y  1 2 14 ,   x 1 3  10.   y  1 3 所以点 P 的坐标为 14 10 ( 3 3 , ) . （21）（本题 16 分）解：（Ⅰ）在 ABC△ 中，由正弦定理得 BC  BAC  AC  ABC sin sin ，即 BC AC  sin sin   BAC ABC .

sin   ABC AC   cos  BAC ，且 sin ABC  ， 0 . BAC  ABC  BAC  所以因为所以 BC BC AC sin sin 所以 sin 所以 tan 因为 0    BAC ABC cos sin cos 1  . π  ，      cos sin BAC ABC BAC BAC BAC π 4    所以 BAC . . . ……………………1 分 ……………………2 分 ……………………3 分 ……………………4 分（Ⅱ）因为 BAD  ，所以 CAD  π 4 . 在 ACD△ 中， AC  ， CD  10 ， π 2 4 由余弦定理得 2 CD  AC 2  2 AD  所以 10 16   AD 2 2 4    AD  cos 2 π 4 AC AD  cos  CAD . . 所以 2 AD  4 2 AD   . 解得 6 0 AD  ，或 2 AD  3 2 . ……………………5 分当 2 AD  时，由余弦定理得 2 AC 2 2 2 所以 cos  ADC  CD AC AD   2 CD AD   CD 2  2 AD  2 CD AD  cos  ADC .  10 2  2 16   10 2   0 . 所以此时 ACD△ 是钝角三角形，不合题意，舍去. 所以 AD  3 2 . 所以 AD 边上的高 h   4 sin π 4  2 2 . ……………………7 分 ……………………8 分所以 ACD△ 的面积为 1 2  AD h    1 3 2 2 2 2  （Ⅲ）因为所以  AC   4 AC  ，   AC AD  2 2 AD  ，  AD 2   2 2   AC AD  2    AC 2  2   AD 2    AC AD  2  16 4    16 cos CAD   2   6  . ……………………9 分 ……………………10 分   4( 2cos  ) CAD 2  16 16cos  2  CAD 所以当 2cos   即   2cos CAD  2 ≥  16 16cos CAD  CAD 0  ，  时， AC  AD 取得最小值是 16 16cos  2  CAD . . ……………………13 分

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