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2022-2023学年上海市普陀区高三上学期期中数学试题及答案.doc

发布时间：2023-11-19 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：2.82M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2022-2023 学年上海市普陀区高三上学期期中数学试题及答 一、填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，满分 54 分） 案 1. 设全集U  R ，若集合 {  【答案】 0,1 A ‖ ∣ ，则 U A  x 1 1}   2 x ð ____________． 【解析】 【分析】解出绝对值不等式，求出集合 A，再求 U Að . 1 1      x x x  或 0 1x  ，因此，  U A x ð = 0 x     1 = 0,1 . 2 【详解】 A  故答案为： x  0,1 . 2. 已知 i 为虚数单位，复数 2 i 【答案】5 z   ，则 z z  ____________． 【解析】 【分析】利用共轭复数概念与复数的乘法运算即可得解. 【详解】因为 2 i  2 i 2 i  z   ，所以  2 4 i z z  故      . 5 z   ， 2 i 故答案为：5 . 3. 在 (1 2 )x 6 【答案】 160 【解析】 的二项展开式中， 3x 项的系数为____________． 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】 (1 2 )x 6 的二项展开式的通项为 rT   1 C r 6   2 x r   C r 6   2 r  r x  ， 当 3 r  时， 3x 系数为  3 C 6 2  3   16 0 . 故答案为： 160 4. 已知 x 5.4  3, y  log 3 0.6 ，则 1 x  1 y  ____________． 【答案】2
    【解析】 【分析】解出 x的值，应用换底公式后根据对数运算即可得到结果. 【详解】由已知得， x  log 3 5.4 ，则 1 x  1 log 3 5.4  log 5.4 3 ， 1 y  1 log 3 0.6  log 0.6 3 log 5.4 log 0.6 log   3 3 5.4 0.6 3  log 9 3  . 2 所以， 1 x  1 y  故答案为：2. 5. 若 sin       4    3 5 ，则sin2 _____； 7 25 【答案】 【解析】 【分析】 逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案. 【详解】 sin 2    cos 2        2    cos 2           4     1 2sin   2         4   7 25 故答案为： 7 25 6. 若 1x  ，则 3 x  4  x  的最小值是____________． 1 【答案】 4 3 3 ##3 4 3 【解析】 【分析】根据 4 x  【详解】解：因为 1x  ，所以 1 0 1 x   ，  1   4  3 x 3  1  x  x  3 结合基本不等式即可得解. 3 x  4  1 x  3  x  1   4  1 x   3 2 3  x  1   4  1 x   3 4 3 3  ， 当且仅当  3 x   1  4  1 x ，即 x  2 3 1 3  时，取等号， 所以 3 x  4  1 x 的最小值是 4 3 3 . 故答案 为： 4 3 3 .
    7. 2022 年 4 月 16 日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图， 在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到 1200 平方米，若主降落伞完全展开后可以近似 看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为____________米（精确到整数） 【答案】28 【解析】 【分析】根据球体的表面积公式，结合题意，直接求解即可. 【详解】设主降落伞展开后所在球体的半径为 R ，由题可得 2 R  2 1200 ，解得 14 R  ， 故完全展开后伞口的直径约为 28 米. 故答案为： 28 . 8. 某医院需要从 4 名男医生和 3 名女医生中选出 3 名医生去担任“上海进博会”三个不同 区域的核酸检测服务工作，则选出的 3 名医生中，至少有 1 名女医生的概率是____________ （用数字作答） 31 35 【答案】 【解析】 【分析】先求出从 4 名男医生和 3 名女医生中选出 3 名医生的所有组合，再求出选出的 3 名医生中，全是男医生的组合，然后用对立事件的概率能得到至少有 1 名女医生的概率. 【详解】从 4 名男医生和 3 名女医生中选出 3 名医生的所有组合有 3 7C 种，再求出选出的 3 名医生中，全是男医生的组合有 3 4C 种， 所以至少有 1 名女医生的概率 P  － ＝ . 1 C C 3 4 3 7 31 35 故答案为： 31 35 9. 已知双曲线 心率为 5 3 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b F  满足条件：（1）焦点为 1 0) ( 5,0)  、 F 2 (5,0) ；（2）离 ，求得双曲线的方程为 ( f x y  ．若去掉条件（2），另加一个条件求得的双曲 0 ) ,
    ( f x y  ．则下列四个条件中，符合添加的条件可以为____________（填 0 ) , 线的方程仍然为 序号） PF ①双曲线上的任意一点 P都满足： 1 | PF 2 |  ； 6 ②双曲线的虚轴长为 4； ③双曲线的一个顶点与抛物线 2 y x 的焦点重合； 6 ④双曲线的渐近线的方程为： 4 x 3 y  ． 0 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及性质求解． 【详解】对于①，∵ 1 PF PF 2 ﹣ 2 a  6 ∴ a  3 5 0 F （﹣，）， （ ，） ∴ 又∵ 焦点为 1 5 3 e  ，故①符合条件； ∴ 离心率 5 0 F 2 c  5 对于②，双曲线的虚轴长为 4， ∴ 2,  b a  25 4   21 ， ∴离心率 e  5 21 ，故②不符合条件； 对于③，双曲线的一个顶点与抛物线 2 y x 的焦点重合， 6 ∴ e  a  ， 3 2  10 3 5 3 2 ，故③不符合条件； 对于④，∵ 近线方程为 4 x 3 y  0 b a c 4 3 5 ，   ∴ 又∵ ∴离心率 e  ，故④符合条件．  2 a    2 ， b a 3 2 c 5 3 故答案为：①④． 10. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD  平面 ABCD，底面 ABCD为正方形， PD AD  ， 6
    M、 N 分 别 为 线 段 AC 上 的 点 ， 若 MBN   ， 则 三 棱 锥 P BMN 60  体 积 的 最 小 值 为 ____________． 【答案】12 3 【解析】 【分析】根据 V P BMN  1   3 S  BMN  PD  2 S  ，则要求体积的最小值，只要求出 BMN BMN  面 积的最小值即可，在 ABC 中，作 BH AC 交 AC 于 H ，设  π  MBH     12   π 4    ， 分别求出 ,BM BN ，再根据三角形的面积公式结合三角函数求出 BMN S 的最小值，即可得 解. 【详解】解：在 ABC 中，作 BH AC 交 AC 于 H ，则  CBH   ABH  45  ， 因为 PD AD  ，则 6 BH  3 2 ， 因为 MBN   ，所以点 H 在线段 MN 上， 60 设  π  MBH     12   π 4    ，则  NBH  π 3   ， BM  则 3 2 , cos  BN  3 2 π     3   ， cos S  BMN   9 3 2  1 2 1 2 BM BN  sin   MBN  9 3 2  1 cos  cos ， π     3    9 3 2  sin cos   1 3 2 2 cos   1   3 4 sin 2    1 1 cos 2 2 2
     9 3 π   6    sin 2   ，  1 2 因为      π π 12 4    , ，所以 2       π 6 π 2π , 3 3    ， 则当 2  π 6  ，即 π 2  时， π 6  sin 2   π   6  取得最大值1， min  6 3 ， 此时 S V P BMN   BMN 1   3 S  BMN  PD  2 S  BMN  12 3 ， 所以三棱锥 P BMN  体积的最小值为12 3 . 故答案为：12 3 . 11. 若圆 O的半径为 2，圆 O的一条弦 AB 长为 2，P是圆 O上任意一点，点 P满足 的最大值为_________.   则 AB AQ 【答案】10 【解析】 【分析】法一、以 AB 中点 C为原点建系，求出圆 O的参数方程，从而设  BP  1 2  PQ ，  (2cos , 3 2sin ) P     AB AQ 12cos   2   即可求解； ，  ,Q x y ，根据  0 0  BP   PQ 1 2 ，求出 Q 点坐标，从而得 法二、由已知根据向量的线性运算求出    AB AQ AB OP OA   (3 3      AB )  2   3   AQ AP   AB OP 3    3    2 AB  3 3 OP OA     AB AB OA 2 |  2 |   AB  2 ，从而得 ，利用投影的定义 即可求解. 【详解】解：法一、如图以 AB 中点 C为原点建系，则 ( 1,0) A  ， (1,0) B ， (0, 3) O ， 所以圆 O方程为 2 x ( y  2 3)  ，所以设 (2cos , 3 2sin )   P  4 ，  ,Q x y 0  0
     (2cos    2sin )  ， 1, 3   ，  0 3 2sin   BP ，  PQ 1 2 2cos , y  6cos 6sin     2 ， 3   x 0  BP  x  0  y  0   AB AQ    因为  PQ 所以 所以  12cos   2 ， 因为 cos   ， [ 1,1]   所以 AB AQ 的最大值为 10. 法二、连接 OA，OB过点 O作 OC AB ，垂足为 C，则 AC  ∴ cos OAB 1 2  BP 因为   AC OA  PQ 1  ， 2  AP ，所以  AQ   1 3 2 3  AB ， 1 2 AB  ， 1 所以     3 AP   2 AB     AQ 3 3 OP OA      AB AQ AB OP OA AB     AB OP    AB OP | cos 3| (3 3 2    || ) ,   ，  2 AB   AB OP  3     AB OA   3  2 |  AB 2 | 3 2 2 cos     OAB 2 2   2
    2  10 ，当且仅当 / /OP AB  且同向时取等号， 3 2 2       所以 AB AP 3 2 2 2 2      1 2 的最大值为 10， 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：法一、建立恰当直角坐标系，求出圆 O的参数方程，从而设 (2cos , 3 2sin )   ,Q x y ，根据  0 P   法二、将 AQ  用OP ，   ，OA 0  ， AB   线性表示，根据数量积的运算律求出 AB AQ ，再利用投  BP   PQ ，求出 Q 点坐标； 1 2 影的定义即可求解. 12. 已知数列{ na }的前 n项和为 nS ，若 n 2 S n 1 2   a n  对任意 n *Nn  恒成立，则 ，根据 ,n a S 的关系得 1 n   a n a n  ，再应用分组求 1 ，故 1  n S  ( n  1) a n 1   1) ， ( n n  2  a n 2022  i 1      2i 1 a i 1   a i  ____． 【答案】1011 【解析】 【分析】由题设有 S n  na n  和求目标式的值. 【详解】由题设， S n  na n  1) ( n n  2 1) ( n n  2 所以 1  n a  ( n  1) a  ( n a n n 1  1)  ，即 1 n   a a n  ，故 1 2 a  n 1  a 1  ， n 1  2022  所以  i 1  i   1  2 a i 1   a i    ( a 2 1)   ( a 3 1)   ( a 4 ... 1)    ( a 2022 1)   ( a 2023  1)  ( a 3  a 2 )  ( a 5  a 4 ) ...   ( a 2023  a 2022 ) 1011 1 1011    . 故答案为：1011 二、选择题〔本大题共 4 题，满分 20 分） 13. 对于常数 m 、 n ，“ mn  ”是“方程 2 mx 0 2 ny  的曲线是椭圆”的（ 1 ） A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】B 【解析】 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
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