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2022-2023学年上海市宝山区高三上学期期末数学试题及答案.doc
2022-2023 学年上海市宝山区高三上学期期末数学试题及答
案
一．填空题（共 12 小题，满分 54 分）
A
x
x
∣
x
1
2
0 ,
B
{
}
x x a
∣
1. 已知集合
的取值范围是__________．
【答案】
1,2
【解析】
，若 A B ，且 A B B
，则实数 a
【分析】先解分式不等式，即可得出集合 A ，再由 A B ，且 A B B
实数 a 的取值范围.
，即可求出
2
0
，解得： 1
，
2x
【详解】由
x
x
1
2
0
可得：
x
+1
x
2
x
所以
=
A x
1
x
<2
，
因为 A B ，且 A B B
所以
a
1,2
，
.
故答案为：
2. 函数
y
【答案】
2
x
2
x
的定义域为_____．
3
.
1,2
log
2
x
1
x
3
【解析】
【分析】根据对数的定义，结合一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由题意得： 2
x
2
x
，即
3 0
x
3
x
1
，
0
即 1
，
3x
所以函数
y
故答案为：
log
2
2
x
x
1
x
的定义域为
3
x
x
1
x
3
.
2
3
.
3. 设复数
z
4
1 i
，i 为虚数单位，则 z ________.
【答案】 2 2
【解析】
【分析】根据复数模的运算性质直接计算即可.
【详解】
z
z
4
|1
i
|
,
4
1 i
4
2
2 2
,
故答案为： 2 2
【点睛】本题主要考查了复数模的运算性质，属于容易题.
4. 已知 0
1a ， 0
1b ，不等式 2
ax
对于 Rx 恒成立，且方程
x b
0
2
bx
有实根，则
x a
0
1
1
1a
2
b
的最小值为______.
【答案】 4 2
3
4
【解析】
【 分 析 】 根 据 题 意 结 合 一 元 二 次 不 等 式 在 R 上 恒 成 立 可 得 1 4
ab
， 消 b整 理 得
0
2
b
1
a
4
4 4
a
2
a
4
1
1
1
值.
【详解】由题意可得：
2
，注意到
4 4
a
4
a
1
，结合基本不等式求最
3
x b
不等式 2
ax
有实根，则 1 4
对于 Rx 恒成立，则 1 4
0
方程 2
bx
x a
ab
0
0
ab
0
，即
0
b
，则
1
4
a
2
a
1
1
4
a
1
，
3
∴1 4
1
1
a
ab
2
1
1
1
b
∵
4 4
a
4
a
则
1
1
a
8
a
a
4
1
4
4 4
a
2
a
4
1
2
3
4
4 4
a
2
a
4
1
4 4
a
4
a
1
4
4 4
a
2
a
4
1
4 4
1
a
4 4
a
2 4 4
a
1
4
a
6 2
4 4
1
a
4 4
a
2 4 4
当且仅当
4 4
1
a
4 4
a
2 4 4
a
1
4
a
时等号成立
∴ 4
4 4
a
2
a
4
1
4 2
3
2
，则 1
1
a
2
b
1
4
4 2
3
故答案为： 4 2
3
4
.
5. 已知实数 30.8，30.7，则它们的大小关系是_____．
【答案】30.8＞30.7
【解析】
【分析】由指数函数的单调性判断即可.
【详解】因为 y＝3x为增函数，所以 30.8＞30.7，
故答案为：30.8＞30.7
6. 已知某台纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次纱线断头的概率分别是 0.8 ，0.12 ，0.05 ，
则这台纺纱机在 1 小时内纱线断头不超过 2 次的概率和纱线断头超过 2 次的概率分别为
_____、______.
【答案】
①. 0.97
②. 0.03
【解析】
【分析】
纱线断头不超过 2 次的概率等于发生 0 次、1 次、2 次纱线断头的概率之和，纱线断头超过
2 次与线断头不超过 2 次是对立，从而得到答案.
【详解】因为纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次纱线断头的概率分别是 0.8 ，0.12 ，0.05 ，
所以纱线断头不超过 2 次的概率 1
P
0.8 0.12 0.05 0.97
，
P
所以纱线断头超过 2 次的概率 2
1
P
1
1 0.97
0.03
.
故答案为：0.97、0.03
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概率，属于简单题.
7. 如图有一个帐篷，它下部的形状是高为 2 （单位：米）的正六棱柱，上部的形状是侧棱
长为 6 （单位：米）的正六棱锥．则帐篷的体积最大值为_____立方米．
【答案】128 3
【解析】
【分析】设出顶点O 到底面中心 1O 的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，
利用导数求出高为何时体积取得最大值．
【详解】解：设 1OO 为 xm ， (2
x ．
8)
则由题设可得正六棱锥底面边长为： 2
6
(
x
2
2)
32 4
x
2
)
x m
(
．
于是底面正六边形的面积为
6
3
4
(32 4
x
x
2
)
3 3
2
(32 4
x
2
x m
)(
2
)
，
帐篷的体积为
V x
V
棱柱
V
棱锥
S
底面
h
棱柱
1
3
h
棱锥 ．
可得：
( )
V x
3 3
2
(32 4
x
x
2
)
[2
1
3
(
x
2)]
3
2
(128 48
x
求导数，得
( )
V x
24 3
3 3
2
2
x
．
V x
令 ( )
，解得
0
x （舍去）， 4
x ．
4
当 2
V x
x 时， ( )
4
， (x)V 为增函数；
0
当 4
x<
< 时， ( ) 0
V x
， (x)V 为减函数．
8
3
．
x
)
当 4
x 时， (x)V 有最大值为
128 3(
3
)m ．
故答案为：128 3 ．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识
解决实际问题的能力，属于中档题．
8.
PP P
1 2 3
是边长为 1 的正三角形，则 1 2
( ,
PP PP i
j
i
j
1,2,3,
i
j
)
取值集合为__________．
【答案】
1,
1 1
2 2
,
,1
【解析】
【分析】根据数量积的定义，分别求
2PP P P
1
3
2
2PP P P
2
1
3
，即可得 1 2
、
( ,
PP PP i
j
i
j
1,2,3,
i
j
)
取值集合.
2PP PP
2
1
1
2PP P P
1
2
1
PP PP
1 3
、 1 2
2PP P P
1
1
3
、
、
、
【详解】如图：
由向量数量积的定义得：
PP PP
1 2
1
2
PP P P
1 2
2 1
PP PP
1 2
1 3
PP PP
1 2
1
PP P P
1 2
PP PP
1 2
1 3
2 cos0
1 1 1 1
；
2 1 cos180
1 1
1
1
；
cos60
1 1
1
2
1
2
1
2
；
1
2
1
2
；
；
PP P P
1 2
3 1
PP P P
1 2
3 1
cos120
1 1
PP P P
1 2
2 3
PP P P
1 2
2 3
cos120
1 1
PP P P
1 2
3 2
PP P P
1 2
3 2
cos60
1 1
1
2
1
2
1
2
.
故构成的集合为：
1,
1 1
2 2
,
,1
【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.
9. 某班 5 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上
述要求的不同方案共有____种.
【答案】150
【解析】
【分析】先将 5 名同学分成 3 组，在将三组全排列即可．
【详解】将 5 名同学分成 3 组，根据每组人数不同有两种情况：{113}、{122}，
则分组的方法有
C
3
5
2
2
2
1
C C C
4
5
2
A
2
10 15 25
种，
分组后将三组同学分派到三个不同社团有 3
3A 6 种方法，
故满足要求的不同方案共有 25×6=150 种．
故答案为：150．
10. 已知 1F ， 2F 分别是双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的左､右焦点，过 2F 且垂直于 x 轴的
0)
直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若
1ABF
是正三角形，则这条双曲线 C的渐近线方程
是___________.
【答案】
y
2
x
【解析】
【分析】[解法 1]先根据题意求得 ,A B 两点的坐标，进而得到 AB 、 1AF ，再由
1ABF
是
正三角形得到 ,
,a b c 的关系式，进而求得 ,a b 的比值，从而可求得双曲线 C的渐近线方程.
[解法 2]根据双曲线的定义，结合正三角形的性质，直接得到 ,a c 的关系，进而取值，并利
用 ,
,a b c 的平方关系得到 ,a b 的关系，进而得到渐近线的方程.
【详解】[解法 1]根据题意，易知
F c ，双曲线 C的渐近线方程为
2
,0
y
，
x
b
a
因为过 2F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的右支交于 A， B 两点，
所以不妨设
,
A c y B c y
,
,
1
y
1
2
，将
0
y
2
,A c y 代入双曲线方程得
1
2
2
c
a
2
y
1
2
b
，
1
解得
2
y
1
2
b
2
2
c
a
1
2
b
2
c
2
a
2
a
4
2
b
a
，即
y
1
，同理：
2
b
a
y
2
，
2
b
a
所以
AB
y
1
y
2
2
2b
a
，
AF
2
y
1
，
2
b
a
由双曲线的定义可知
2
a
AF
1
AF
2
AF
1
，即
2
b
a
AF
1
2
a
，
2
b
a
因为
1ABF
是正三角形，所以
AB
AF
1
，即
2
2
b
a
2
2
ba
，得 2
2a
a
2
b ，即
b
a
，
2
所以双曲线 C的渐近线方程为
y
2
x
.
故答案为：
y
2
x
.
[解法 2]
由题意
AF F
2 1
为直角三角形，且
AF F
1 2
30
,
AF
故可设 2
m ，则 1
AF
2
4 ,
m F F
1 2
2
c
2 3
m
,如图所示：
由双曲线的定义得
2
a
AF
2
AF
1
4
m m
2
2
m
,
3
m
,∴
b
m
2
,
∴ 1 ,
a m c
b
a
∴
2
,
∴双曲线的渐近线方程为
y
2
x
，
故答案为：
y
2
x
11. 一艘轮船向正北航行，航速为 40 千米 / 时，在 A 处看灯塔 P 在船北偏东30 的方向上，
半小时后，船航行到 B 处，在 B 处看灯塔在船的北偏东 75 的方向上，则此时船与灯塔之间
的距离是_______千米．
【答案】10 2
【解析】
【分析】画出图形，结合正弦定理即可求解
【详解】如图：
由题意可知：
PBA
105
，
30
，
由正弦定理可得
sin
AB
BPA
BAP
BP
BAP
sin
BPA
20
sin 45
45
，
BP
sin 30
AB ，
20
，
，即
解得
BP
10 2
（千米）
故答案为：10 2
12. 已知函数
f x
log 4
2
1x
，数列 na 是公差为 4 的等差数列，若
x
a f a
1
1
a f a
2
2
a f a
3
3
a f a
4
4
，则数列 na 的前 n项和 nS _____．
0
【答案】 22
n
8
n
【解析】
【分析】设
g x
xf x
，根据
f x 的奇偶性和单调性可得
g x 的奇偶性和单调性，然
a
后结合等差数列的性质可得 1
a
4
，再利用等差数列的通项公式及求和公式即得.
0
【详解】因为
f x
log 4
2
x
1
x
log
2
1
4
x
x
2
log
2
x
2
1
x
2
， xR ，
则
f
x
log
2
1
x
2
x
2
f
x
，
所以
f x 为 R 上的偶函数，
当 0
x 时，
f
x
x
x
4
4
0
，
1
1
所以函数
f x 在
0, 上单调递增，且
f x
f
≥
0
1
，
设
g x
xf x
，则
g x 为奇函数，且在
0, 上单调递增，
因此
g x 在 R 上单调递增，
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