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2022-2023学年上海市青浦区高三上学期9月月考数学试题及答案.doc
2022-2023 学年上海市青浦区高三上学期 9 月月考数学试题
及答案
一､填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1. 已知等比数列 na 的首项
a
1
1,
a
4
1
64
，则公比 q __________
1
4
【答案】
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得
3
q
，然后运算即可得解.
a
4
a
1
【详解】解：由等比数列的性质可得 3
q
a
4
a
1
，
1
64
解得：
q ，
1
4
1
4
故答案为：
.
【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
2. 抛物线 2
y
x 的焦点坐标是______．
4
【答案】 (1,0)
【解析】
【详解】抛物线 2
y
x 的焦点在 x 轴上，且
4
p ，所以抛物线 2
y
2,
1
p
2
x 的焦点坐
4
标为
1,0 ，故答案为
1,0 .
3. 函数
( )
f x
2
x 在区间[2,3] 上的平均变化率等于___________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案.
y
f
3
f
2
9 4 5,
x
3 2 1
，
【详解】解：因为在区间
5
5
.
1
所以其平均变化率
Δ
y
Δ
x
2,3 上，
故答案为：5.
4. 世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有______种不同的组合.
【答案】6
【解析】
【分析】直接根据组合数求解即可．
【详解】解：从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 2
C 种不同的组合，
4
6
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查组合的应用，属于基础题．
的展开式中常数项是___________.
5.
(
x
101
)
x
【答案】252
【解析】
【分析】写出
(
x
101
)
x
的展开式的通项公式
kT
1
10 2
k
C x
10
k
，令10 2
k
，求得 k值，
0
代入通项公式，即可得答案.
【详解】
(
x
101
)
x
的展开式的通项公式为
kT
1
10
k
C x
10
k
1 k
x
10 2
k
C x
10
k
，
令10 2
k
，解得 k=5，
0
所以常数项为
5
T C x
6
10
0
252
.
故答案为：252
6. 已知空间直角坐标系中，某二面角 l 的大小为，0
一个法向量分别为
n
1
1,3,0
n
2
，
0,2,4
【答案】
arccos
3 2
10
【解析】
，半平面和的
2
，则 ______（结果用反三角函数值表示）.
【分析】根据向量数量积求向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】因为
cos
ur uur
,
n n
1
2
|
n
1
n
2
，
0,2,4
，所以
1,3,0
ur uur
n n
2
1
uur
ur
|
|
n
n
1
2
|
0 6 0
10 20
3 2
10
，
因为 0
，所以
2
cos
3 2
10
，
arccos
3 2
10
故答案为：
arccos
3 2
10
【点睛】本题考查求二面角、根据向量数量积求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础
题.
7. 边长为 2 的正方形 ABCD 绕 BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为___________.
【答案】16π
【解析】
【分析】圆柱的底面半径 2
【详解】该圆柱的底面半径 2
r ，母线长 2l ，
r ，母线长 2l ，代入公式求值即可.
所以该圆柱体的表面积为
S
2
2π
r
2π
rl
2π 2
2
故答案为：16π .
2π 2 2 16π
.
8. 已知 P 为双曲线 2
x
2
y
右支上的一个动点，若点 P 到直线
1
y
x 的距离大于 m
2
恒成立，则实数 m 的取值范围是______.
【答案】
, 2
【解析】
【分析】
把所求问题转化为求点 P 到直线
y
x 的最小距离，结合平行线间的距离公式可求.
2
【详解】双曲线 2
x
2
y
的渐近线方程为 y
1
x ，而直线
y
x 与 y
2
x 平行，
平行线间的距离
d
2 0
2
2
.
由题意可知点 P 到直线
y
x 的距离大于 2 ；
2
所以
m
2
故答案为：
.
, 2
.
【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直
线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.
9. 已知等差数列{ }na 的公差为 d，若 1
a a a a a 的方差为 8, 则 d的值为________．
,
,
,
,
2
3
4
5
【答案】 2
【解析】
【详解】
【分析】试题分析：由公差性质 1
1
5
a
3
a
3
a
3
a
1
a
a
2
2
2
4
,
,
,
,
9
7
5
3
a a a a a 的平均数为 3a ，所以方差
a
5
a
3
4
d
d
d
d
2
2
2
2
2
2
1 4
5
2
2
d
d
8
2
考点：等差数列性质及方差
10. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的
实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为
3
4
、
2
3
、
1
2
，对实验甲、乙、丙
各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示）
23
24
【答案】
【解析】
【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式计算．
【详解】记至少有一次成功的概率为事件 A ，实验甲、乙、丙成功分别为事件 ,
,D E F
由题意
(
P D ，
(
P E ，
)
3
4
) 1
(
P A
)
2
3
(
P DEF
(
P F ，
)
1
2
) 1
(
(
P D P E P F
)
(
)
) 1 (1
3
4
)
(1
2
3
)
(1
1
2
)
23
24
(
P A
) 1
．
故答案为：
23
24
．
11. 在 R 上可导的函数
y
f x
的图象如图所示，则关于 x的不等式
x f
0
x
的解集
为______．
【答案】{ |
x x 或 1
1
x
0}
【解析】
【分析】根据原函数的图象可得导数的符号，从而可求不等式
x f
0
x
的解.
【详解】由
y
f x
的图象可得 ( ) 0
x¢
f
> 的解为
x 或 1x ，
1
f
x¢
( ) 0
< 的解为 1
1x
.
而
x f
0
x
x
即为
f
0x
，
故 1x 或 1
0
x
0
x
或
f
0
x
，
0
故答案为：{ |
x x 或 1
1
x
0}
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 ( , )
P a b 到两直线 1 :l
y
x 和 2 :
l
y
x 的距离之
2
和为 2 ，则 2
a
2
b 的最大值为___________.
【答案】
8
【解析】
l
【分析】由已知可知两直线 1
l ，取 P 在 1
2,l
2
l 的右侧时，分别过 P 作两直线的垂线，结
合几何性质确定 P 点轨迹，即可求得 2
a
2
b 的最大值,其他位置同理可得．
【详解】若动点
,P a b 到两直线 1 :l
y
x 和 2 :
l
y
x 的距离之和为 2 ，
2
l 交点为
T
2,l
1
1
1,1 ,
l
,
l 的斜率分别为 1,1 ，则 1
l
2
l ，
2
P 在 1
2,l
l 的右侧时，过 P 分别向 1
2,l
l 引垂线，
垂足分别为Q R､ ，那么
PQ PR
，
2
过 P 作 y 轴的平行线，与 1
2,l
l 交点为C B､ 如图，
则
PQ TR PR
,
RB
，所以
TR
RB
，
2
其它位置同理，那么点 P 轨迹为正方形 ABCD ，
当 P 在
C
时， PO 取得最大值 2 2 ，即 2
a
2,2
2
b
|
PO
2
|
取得最大值 8.
故答案为：8．
二､选择题（本大题共有 4 小题，满分 20 分，每题 5 分）
13. 在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
【答案】B
【解析】
D. 既非充分又非必要条件
【分析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论.
【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交.
∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计
算能力，属于基础题.
14. 下列求导数运算正确的是(
)
A.
3
(x
)
22
x
C.
3
(
x
5)
2
3
x
5
【答案】D
【解析】
B.
(lg )x
1
x
D. (sin cos )
x
x
cos2
x
【分析】根据基本初等函数求导公式和导数四则运算法则即可逐项计算并判断．
【详解】
3
x
2
3 ,(lg )
x
x
(sin cos )
x
x
cos
2
x
sin
2
x
,
1
ln10
x
cos2
x
2
，
3
x
3
x
5
，
故 ABC求导错误，D求导正确．
故选：D．
15. 用数学归纳法证明某命题时，若当 n k 时，设
f k
1
1
1
2
k
1
3
k
1
2
k
k N
，那么当
k
）
n k 时，
1
f k 可表示为
1
f k
f k
1
k
1
k
2
2
2
1 2
1
k
2
B.
D.
f k
f k
1
k
1
k
2
2
1
k
1
k
1 2
1 2
2
2
（
A.
C.
【答案】C
【解析】
【分析】根据
1
f k 和
f k 的表达式之间的关系进行求解即可.
1
1 2
1
k
1
k
1
4
2
k
2
，
1
【详解】因为
f k
1
k
1
3
f k 可以表示为
f k
1
1
1
所以
f k
2
2
k
k
k
1
3
1
2
k
1
k
k
2
，
1 2
1
k
2
1
1
k
f k
1
k
2
1 2
1
k
2
，
故选：C
16. 方程(x+y-1)
2
x
2
y
=0 所表示的曲线是
4
B.
C.
D.
A.
【答案】D
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 由 题 意 得 方 程
x
y
1
2
x
2
y
， 得
4
0
x
y 或
1 0
，且
，所以方程
x
y
1
2
x
2
y
考点：曲线与方程．
三､解答题（本大题共 5 题，满分 76 分）
所表示的曲线为选项 D，故选 D．
4
0
17. 已知
f x
1
3
3
x
1
2
2
x
y ．
0
2
x
， a R ，函数
ax
y
f x
的图像在原点处的切线方程为
（1）求实数 a 的值；
f x
（2）求函数
y
在
2,4
上的值域．
【答案】（1）
2
a
（2） 10 16,3
3
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可得参数 a 的值；
（2）根据导数判断单调性，进而可得函数值域.
【小问 1 详解】
由
f x
得
f
x
1
3
x
x
2
3
2
x
ax
，
1
2
， 0f
x a
，
a
所以函数
y
f x
的图像在原点处的切线斜率为 a ，
又切线方程为 2
x
y ，
0
所以
a ；
2
【小问 2 详解】
，
x
2
x
f
2
x
，
2
x
由（1）得
f x
2
3
x
1
3
x ， 2 2x ，
，得 1
1
2
0
1
x
令
x
f
故
x
2, 1
1
)1,2-
(
2
2,4
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