5-4-4 完全平方数及应用（一）.教师版.doc

发布时间：2023-11-21 发布人：admin 分类：养殖资料大小：1.37M 资料格式：doc 举报版权申诉

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5-4-4.完全平方数及应用（一）教学目标 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。知识点拨一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2a ，则 p 能被 a 整除。 2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数  自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 1 | N ，则数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 2 np 2 |np N ．性质4：完全平方数的个位是6  它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 2 a  2 b  例题精讲模块一、完全平方数计算及判断 ( a b a b  )(  ) 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 1 of 8

【例 1】已知：1234567654321×49 是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断【难度】2 星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝ 211 ；【解析】，所以， 1111 …… ，于是，我们归纳为 1234…n…4321= 12321 ＝ 2111 ； 1234321 ＝ 2 2 (111 1) n个1 1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为 7777777 的平方．【答案】7777777              是【例 2】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 【考点】完全平方数计算及判断【难度】2 星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】【解析】， 2 1234567654321 1111111 原式 (1111111 7)     2 7777777 ． 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 7              ， 2 2 的平方．【答案】7777777 【例 3】已知自然数 n 满足：12! 除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级，第 9 题【解析】（法 1）先将12 ！分解质因数： 10 12! 2 7 11 5 3 5   2 。这个完全平方数是 12! 的约数，那么最大可以为 10 2 10 12! 2 （法 2）12! 除以 n 得到一个完全平方数，12! 的质因数分解式中 3 、 7 、11的幂次是奇数，所以 n 的最小值是 3 7 11 231 3 7 11  。  。      231   ，由于12! 除以 n 得到一个完全平方数，那么  ，所以 n 最小为 4 3 5 3 5      4 2 2 【答案】 231 【例 4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数．【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】解答【解析】平方数的末尾只能是 0，1，4，5，6，9，因为 111，444，555，666，999 都不是完全平方数，所以【解析】  ，所以满足条件的最小正整数所求的数最小是 4 位数．考察 1111，1444……可以知道1444 38 38 是1444 ．  【答案】1444 【例 5】 A 是由 2002 个“4”组成的多位数，即如果不是，请说明理由． 444 4 2002 个 4 ，A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B；【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】 A  【答案】．如果 A 是某个自然数的平方，则 2   2 4 444   2002 4 个 111 1   2002 个1 111 1 2002 个1 也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，而不是 4 的倍数，矛盾，所以 A 不是某个自然数的平方．   111 1 1 111 10    2001 2002 个1 个1 【巩固】 A 是由 2008 个“4”组成的多位数，即 44 【巩固】 4 2008个4 ， A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B ；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断【难度】3 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】不是．  A  假设 A 是某个自然数的平方，则11 1 44 4   2008个4 2 2 11 1   2008个1 2008个1 也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，而 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 2 of 8

 11 1 1 11 10    2008个1 2007个1 不是 4 的倍数，与假设矛盾．所以 A 不是某个自然数的平方．－ 222 2 【例 6】计算111 1 【考点】完全平方数计算及判断【难度】4 星【题型】解答，从而找出突破口. 【解析】此题的显著特征是式子都含有111 1 【解析】 =A×A，求 A． 1002个2 2004个1 n个1 000 0 1002个0 －111 1 1002个1 =111 1 -1） 1002个1 2004个1 1002个1 1002个0 1002个2 － 222 111 1 =111 1 =111 1 =111 1 所以，A＝ 333 2 ×（1000 0 9 ） ×（111 1 3 ×（ 999 1002个9 1002个1 1002个1 1002个1 . 1002个3 ×3×3）= 2A 【答案】 333 3 1002个3 【例 7】 ① 89 A 444    2004 8 4888  4 2003 个个 2 ，求 A 为多少? ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005？【考点】完全平方数计算及判断【难度】4 星【题型】解答【解析】① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：【解析】注意到有 89 444    2004 8 4888  4 2003 个个可以看成 4888 444 89    8  4 n-1个 n个，其中 n＝2004； 2 寻找规律：当 n=1 时，有当 n=2 时，有当 n=3 时，有 4888  4 2003 49 7 ； 2 4489 67 ； 444889 667  89 444 666 67    2004 8 2003 于是，类推有 = 个个个 2 6 …… 2 方法二：下面给出严格计算： 4000 = 个 89 444 4888     4 2004 2003 8 444 0 4000     4 2004个0 2004个个则 2004个  4 444 0    888 8 2004 2004个0 个8 + + 888 8 2004 个8 +1； +1＝111 1 ×（4× 2004个1 1000 0 2004个 +8）+1 ＝111 1 2004个1 ＝111 1 2004个1 ×［4×（ ×［4×（ 0 999 9 2004个 9 999 9 2004个 9 +1）+8］+1 ）+12］+1 ＝＝＝ 2 2 (111 1) 2004个1 (111 1) 2004个1 ×36+12×111 1 2004个1 +1 ×36+2×（6×111 1 2004个1 ）+1 (666   66 1)  2004个6 2  2 (666 67)   2003个6 ＝ 666 67 2 n-1个6 ，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令 12n+1=2005 ② 由①知 444 89    4888  4 n个 n-1个8 解得 n=167，所以【答案】（1） 666 67 2003 个 6 2 ,（2） 666 67 2 166个6 。所以存在这样的数，是 444 89    4888  4 166个8 167个 = 167个 444 89    4888  4 444 89    4888  4 166个8 166个8 167个 = 666 67 2 166个6 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 3 of 8

模块二、平方数特征（1）平方数的尾数特征【例 8】下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6                     ，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3 星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是 0，1，4，【解析】 5，6，9，而 2，3，7，8 不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为 3，中间二项之和的个位数为 0，后面二项中每项都有因子 2 和 5，个位数一定是 0，因此，这个 0 算式得数的个位数是 3，不可能是某个数的平方．【答案】不是【例 9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位数共有________个．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4 星【题型】填空【关键词】学而思杯，5 年级，第 10 题【解析】 49 1 4 9 25 【答案】 24     ，1,2,3,5 全排列共有 24 个。【例 10】用 1～9 这 9 个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5 星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试，11 题【解析】四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是 362＝1296．当四位完全平方数是 1296 时，另两个【解析】平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位只能是 2，但数字 2 在 1296 中已经使用．当四位完全平方数是 372＝1369 时，另两个平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位一样只能是 2，还剩下 7,8，而 784 恰好为 282．所以，其中的四位完全平方数最小是 1369．【答案】1369 【例 11】称能表示成 1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数 N，它既是三角数，又是完全平方数，N= 。【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5 星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 14 题【解析】N=k×(1+k)/2=m^2，4 位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n 与 2n+1 【解析】互质，所以要均为平方数。平方数末尾 149650。满足要求的是 4950。 23<=n<=70 发现没有：k=2n-1， n×(2n-1)=N 同上，满足要求是 1650 找到 25 所以 k=49， N=1225， m=35。【答案】1225 （2）奇数个约数——指数是偶数【例 12】在 2 2   ，3 3 9   ，4 4 16 4 叫做完全平方数。那么，不超过 2007 的最大的完全平方数是_________。   ，5 5 25   ，6 6 36   ，……等这些算是中，4，9，16，25，36，…… 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 4 题，5 分【解析】45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是 1936. 【答案】1936 【例 13】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】解答【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积. 【解析】如:1400 严格分解质因数后为 23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括 1 和它自身) 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 4 of 8

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加 1 后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除 0 外) 有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为 360～630 之间有多少个完全平方数? 18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676, 所以在 360 ～ 630 之间的完全平方数为 192,202,212,222,232,242,252．即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,625．【答案】361,400,441,484,529,576,625 【例 14】1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是________．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】填空【解析】先将 1016 分解质因数：【解析】  ． a 最小为 2 127 1016 254 2   3  ，由于1016 a 是一个完全平方数，所以至少为 4 127 2 127 2 ，故【答案】254 【巩固】已知 3528a 恰是自然数 b 的平方数，a 的最小值是【巩固】【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2 星【题型】填空【解析】【解析】  3 2 2 。  7 3  ，要使 3528a 是某个自然数的平方，必须使 3528a 各个不同质因数的个数为偶数， 3528 2 由于其中质因子 3 和 7 各有 2 个，质因子 2 有 3 个，所以 a 为 2 可以使 3528a 是完全平方数，故 a 至少为 2．【答案】2 【例 15】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3 星【题型】解答【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．【解析】 2 3 72 2   而由于 2 31 31 1922 2008 2 32 32   所求的满足条件的数共有 31 个．    ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍， 2 6 6   ，所以 2 2 1 、 2 2 、……、 3   2048   2 【答案】31 2 31 都满足题意，即 2 。【例 16】已知自然数 n 满足：12! 除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级【解析】（法 1）先将12 ！分解质因数：【解析】 10 12! 2 7 11 5 3 5    2 4  这个完全平方数是 12! 的约数，那么最大可以为 10 2 10 12! 2 （法 2）12! 除以 n 得到一个完全平方数，12! 的质因数分解式中 3 、 7 、11的幂次是奇数，所以 n 的最小值是 3 7 11 231 3 7 11  。  。      231 5 3 5   2   ，由于12! 除以 n 得到一个完全平方数，那么  ，所以 n 最小为 4 3  2 【答案】231 【例 17】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】填空【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：【解析】一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是 x,则它们的和为 5x , 中间三数的和为 3x ． 5x 是平方数，设 3 至少是 1125，那么这五个数中最小数的最小值为 1123． a ，    是立方数，所以 2a 至少含有 3 和 5 的质因数各 2 个, 即 2a 至少是 225,中间的数 5x 3 5 25 ,则 15 5    a a a x x 2 2 2 2 【答案】1123 【例 18】求一个最小的自然数，它乘以 2 后是完全平方数，乘以 3 后是完全立方数，乘以 5 后是 5 次方数．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】解答【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除 2、3、5 之外的质因子．设这个数分解质因数之后为 2 【解析】 page 5 of 8 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库  ，教师版 b 3 5  a c

5 b  、 c 是 3 的倍数， a 、 b 、 ( c  是 5 的倍数．由于它乘以 2 以后是完全平方数，即 12 a 同理可知 a 、 ( 所以， a 是 3 和 5 的倍数，且除以 2 余 1； b 是 2 和 5 的倍数，且除以 3 余 2； c 是 2 和 3 的倍数，且除以 5 余 4．可以求得 a 、b 、c 的最小值分别为 15、20、24，所以这样的自然数最小为 15 2  ．【答案】 15 2 a  、 b 、 c 都是 2 的倍数；  是完全平方数，则 (   20 3 20 3 b 3 1) 1) 1) 5 5    24 24 c 【例 19】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于 2008 的美妙数的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】 60 3 4 5 【解析】    是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于 60．任何三个连续正整数，必有一个能为 3 整除，所以，任何美妙数必有因子 3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为 4 整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子 4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是 0，1，4，5，6，9，若其个位是 0 和 5，则中间的数能被 5 整除；若其个位是 1 和 6，则第一个数能被 5 整除；若其个位是 4 和 9，则第三个数能被 5 整除．所以，任何美妙数必有因子 5．由于 3，4，5 的最小公倍数是 60，所以任何美妙数必有因子 60，故所有美妙数的最大公约数至少是 60．综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于 60，又至少是 60，所以，只能是 60．【答案】60 【例 20】考虑下列 32 个数：1! ， 2! ， 3!，……， 32! ，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】填空【解析】设这 32 个数的乘积为 A．【解析】 2 (1!)  (2 4   1! 2! 3! A     (1! 3!      所以，只要划去16! 这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．另外，由于16! 16 15! 【答案】16! 或15! ，答案不唯一  ，而 16 也是完全平方数，所以划去15! 也满足题意． 4     (1! 3!    2 (3!)   32  16 2 2  (31!) 31!)       2 31!) 32!  16! 32) ，   2 2 a 2 na 2 【例 21】一个数的完全平方有 39 个约数，求该数的约数个数是多少？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】解答 2 a a p p    【解析】设该数为 1 【解析】 2 2 1  因此    1 2 1 a a     1 2 由于 39 1 39 3 13   ，   a   ，可得 1 1 a   ， 22 ⑴所以， 12 1 3  故该数的约数个数为 14 1 1  个；   ⑵或者， 12 1 39 所以这个数的约数个数为 14 个或者 20 个． 1 13   6 1  a  ，那么该数的约数个数为19 1 20 a   ，可得 1 19 2 a p ，那么它的平方就是 1 1  2 a  ， 2 a  ； p n    39 p 2 ． 6 1     a  n 2 na p n ，   个．【答案】14 个或者 20 个【例 22】有一个不等于 0 的自然数，它的 1 2 是一个立方数，它的 1 3 是一个平方数，则这个数最小是．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4 星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第 9 题，5 分【解析】设为 2 3a b c （ c 为不含质因子 2，3 的整数），则它的 1 【解析】 2 是 3 的倍数，另外它的 1 3 的最小值为 4， b 的最小值为 3 ，这个数最小为 432．即 1 是 12 3a c 是立方数，所以 1a  是 3 的倍数， b 2 3a b c 是一个平方数，所以 a 是偶数，b 是奇数，符合以上两个条件的 a 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 6 of 8

【答案】432 （3）平方数的整除特性【例 23】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于 2008 的“美妙数”的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2 星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第 11 题，10 分【解析】①任何三个连续正整数，必有一个能为 3 整除．所以，任何“美妙数”必有因子 3． ②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为 4 整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子 4． ③完全平方数的个位只能是 1、4、5、6、9 和 0，若其个位是 5 和 0，则中间的数必能被 5 整除，若其个位是 1 和 6，则第一个数必能被 5 整除，若其个位是 4 和 9，则第三个数必能被 5 整除．所以，任何“美妙数”必有因子 5． ④上述说明“美妙数”都有因子 3、4、和 5，也就有因子 60，即所有的美妙数的最大公约数至少是 60．60=3×4×5 是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是 60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于 60，又至少是 60，只能是 60。【答案】 60 【例 24】证明：形如 11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以 4 余 1，偶数的平方能被 4 整除．现在这些数都是奇数，它们除以 4 的余数都是 3，所以不可能为完全平方数．【例 25】记 (1 2 3     S   n )  (4 k  3) ，这里 3n  ．当 k 在 1 至 100 之间取正整数值时，有个不同的 k，使得 S 是一个正整数的平方．【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】3 星【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】一个平方数除以 4 的余数是 0 或 1．当 4 【解析】 n  时，S 除以 4 余 3，所以 S 不是平方数；当 3 n  时， 9 4 k  ，当 k 在 1 至 100 之间时，S 在 13 至 409 之间，其中只有 8 个平方数是奇数： 25 ， 27 ， 29 ， S 211 ， 213 ， 215 ， 217 ， 219 ，其中每 1 个平方数对应 1 个 k，所以答案为 8．【答案】8 【例 26】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与 2002 的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】4 星【题型】解答【解析】略【解析】【答案】因为偶数的平方能被 4 整除，奇数的平方被 4 除余 1，因此任一正整数的平方 2n 被 4 除余 0 或 1．、、、，使得 jn n i  2002  2 ( m i i ，，，，， 1 2 3 4  j  j ) ．又 2002 被 4 除余 2， n 3 n 3 n 2 n 4 n 4 n 2 n 假设存在四个正整数 1 jn n 被 4 除余 2 或 3．故 i n n 、、、中有两个偶数，如 1 若 1 所以不可能是完全平方数； n 因此 1 n、、被 4 除余 1 或 3，所以 1 n n n 1 2 为 1 或 3，那么 1 2n n 被 4 除余 1，所以 1 2 综上， n n  2002 n 4 2002 jn n  i 3 n、是偶数，那么 1 2n n 是 4 的倍数， 2 jn n  i 2002 被 4 除余 2，， n 、、、中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设 1 n 2 n 3 3 n、、中至少有两个数余数相同．如 1 n n 2 3 n 2 n、、为奇数， 4n 为偶数，那么 n、被 4 除余数相同，同 2 被 4 除余 3，不是完全平方数；不可能全是完全平方数．【例 27】 1 3 5    【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5 星【题型】解答【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1 3 5    【解析】的末三位数是多少？ 1991  991  的平方再乘以 993 995 997 999  的   5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 7 of 8

末三位．而 993 995 997 999 993 999 995 997         995000 995 3      993000 993   k 2      993000 993 995000 2985   ；然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为  其末三位为 7 15 105    25 25 5 k   的倍数，设   2 25 1     25 25 200 m k  【答案】625   ，而奇数的平方除以 8 余 1，所以 2 1 1 200   105 21000 (k 为奇数)，由于 k  是 200 2 ，所以它与 105 的乘积 25 25 ，所以不论 m 的值是多少，所求的末三位都是 625． k  是 8 的倍数，则  25 25 200 ，则  m  5 k  2625   ， 25k m  105 25   m 1 1          2 k  2 k  k 2 2  【例 28】求所有的质数 P，使得 24 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5 星【题型】解答【解析】如果 5 【解析】 p   ， 26 p  也是质数． p  ，则 24 p  与 26 1 151 1 1 1 101 p   都是质数，所以 5 符合题意．如果 P 不等于 5，那么 P 除以 5 的余数为 1、2、3 或者 4， 2p 除以 5 的余数即等于 21 、 22 、 23 或者 24 除以 5 的余数，即 1、4、 p  除以 5 的余 9 或者 16 除以 5 的余数，只有 1 和 4 两种情况．如果 2p 除以 5 的余数为 1，那么 24    除以 5 的余数，为 0，即此时 24 数等于 4 1 1 5 1 不是质数；如果 2p 除以 5 的余数为 4，同理可知 26 1 至少有一个不是质数，所以只有 5 p  满足条件． p  被 5 整除，而 24 p  不是质数，所以 P 不等于 5， 24 p  大于 5，所以此时 24 p  与 26 p  p  1 1 1 1 1 【答案】5 【例 29】古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊 10 文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人____ 文钱。【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5 星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 15 题【解析】根据题意，设每头牛的价钱为 10a+b（a、b 不同为 0，a、b 为自然数），因为题目中明显给出“每头牛卖的钱数正好等于牛的头数”可知买牛人所得到钱数为：  ，由题意得这个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平分这些羊，并且一个人得到一只大羊，第二个人得的十位必为偶数，所以只要看 2b 的值，尝试得到只有 16 和 36 满足到了那只小羊”，而条件，所以小羊的价格应该为 6，那么第一个人应该补给第二个人： 10a+b 10 6 ab b （文） 2=2 100 100 20 20 ab 2      a a  2 2 2 【答案】 2 文钱 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 8 of 8

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