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2022-2023学年湖南省常德市高三上学期期末数学试题及答案.doc
2022-2023 学年湖南省常德市高三上学期期末数学试题及答
案
注意事项：
1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答．
2．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合
A
{ |
x x
2
3
x
2 0}
， { | 2
，则 A B
2}
B
x
x
（
）
B. [1 ]2，
C. [ 2 2]
，
D.
A. [0 2]，
【答案】B
【解析】
【分析】先求 A ,再应用交集运算,得出 A B 即可.
1,2
【详解】因为
2 0}
{ |
x x
,所以
A
A
3
2
x
所以
A B
1,2
故选: B .
2. 已知复数 3 i
z ，则复数
z
z
2i
在复平面内对应的点所在的象限为（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】A
【解析】
【分析】由题知
z
z
2i
1
3
2 i
3
，再根据复数的几何意义求解即可.
【详解】解：因为 3 i
所以
z
z
2i
3 i
3 3i
z ，
3 i 3 3i
3 3i 3 3i
6 12i
18
1
3
2 i
3
，
所以，复数
z
z
2i
故选：A
在复平面内对应的点的坐标为
1 2,
3 3
，在第一象限.
3. 已知向量 ,a b
满足
a b
2
，且
b
3, 4
，则向量 a
B. (
6 8
,
5 5
)
C.
A.
(
6
5
,
8
5
)
6
25
,
8
25
【答案】D
【解析】
上的投影向量为（
）
在向量 b
6
8,
25 25
D.
【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.
【详解】解：因为 ,a b
满足
a b
2
，且
b
3, 4
，
5
，向量 a
在向量 b
上的投影向量为
b a b
b
b
2
25
b
6
25
,
8
25
b
所以
故选：D
4. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如
图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏
下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 80
分钟．设经过 t分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假
定沙堆的底面是水平的），则 t的值为（
）
B. 20
C. 60
D. 70
A. 10
【答案】D
【解析】
【分析】上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个
沙漏的高的一半，进而计算下方沙漏沙子的体积，计算即可.
【详解】解：因为沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等
所以上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏
的高的一半，
所以可以单独研究上方圆锥，其高度为一个圆锥的一半，沙子形成的圆面的半径为圆锥底面
圆半径的一半，
设圆锥的高为 h ，底面半径为 r ，
则上方沙子的体积为
V
1
3
π
1
2
r
2
h
1 1
8 3
π
2
r h
，
1
2
1
8
所以，上方此时剩的沙子占总沙子的
7
8
因为一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 80 分钟，
，下方圆锥中的沙子占总沙子的
所以，当
7
8
的沙子从一个沙漏中漏到另一个沙漏中，需要
7 80 70
8
分钟，
所以，经过 70 分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等
故选：D
5. 在平面直角坐标系中，已知点 (3,4)
P
为角终边上的点，则cos2
cos
（
）
B.
13
25
C.
22
25
D.
27
25
A.
8
25
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数定义得
cos
，再根据二倍角公式计算即可.
3
5
【详解】解：因为点 (3,4)
P
为角终边上的点，
所以，由三角函数的定义知
cos
3
5
,sin
所以
cos2
cos
2cos
2
1 cos
，
4
5
2
9
25
1
3
5
8
25
故选：A
6. 在平面直角坐标系中，已知直线 4
x
3
y
与圆
9 0
C x
：
2
2
x
2
y
a
0
相交的弦长
为 4 2 ，则 a （
）
B.
2
C. 2
D. 8
A.
8
【答案】A
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，的圆心坐标及半径，由弦长，圆心到直线的距离，半径
的关系建立方程，解出 a.
【详解】圆 C： 2
x
2
x
2
y
，即
a
0
x
2
1
2
y
，圆心为
1
a
1,0 ，半径
r
1
，
a
圆心到直线 4
x
3
y
的距离为
9 0
d
4 9
2
2
3
4
1
，
直线与圆相交的弦长为
2
2
r
2
d
2 1
1 4 2
a
，得
8
a .
2
ln 2
，
b
3
ln 3
，
c ，则（
2e
2
）
B. b c a
D. a
c
b
故选：A.
7. 已知
a
A. a b c
C. b a c
【答案】C
【解析】
【分析】先比较 ,a b 的大小关系，然后构造函数
f x
x
ln
单调性，由此求得 ,a c 的大小关系，进而求得正确答案.
x
x
1
，利用导数判断
f x 的
a
2
ln 2
【详解】
1
2
2
6
3
2
8
，
所以 a
b .
1
2
1
33
1
ln 2
1
1
2
ln 2
,
b
3
ln 3
1
ln 3
1
1
ln 3
3
1
3
，
6
2
3
9
，所以
1
2
2
1
3 ,0 ln 2
3
1
2
1
3
，
ln 3
构造函数
f x
x
，
1
x
f
ln
1
x
2
ln
x
，
x
ln
x
1,2 ，
f
所以在区间
x
0,
f x
递减，
所以
f
e
f
2
，即 e
ln e
2
ln 2
，
2 e
4 e
2
16
2
e
，
e
2
16
2
e
e
ln e
2
ln 2
，
a
e
1
2
3
e
e
ln e
c
2
e
2
即b a c
.
故选：C
8. 已知双曲线
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的左右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 的直线与曲线C
0)
的左右两支分别交于点 M N、 ，且 1
|
F M F N MN
| 1: 2 : 3
|:|
|:|
2
，则曲线 C的离心率为（
）
B.
33
3
C.
22
3
D.
11
3
A. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设 1F M x ，进而结合双曲线的定义得 x a ， 1F M a ， 2
F N
2 ,
a MN
，
3
a
F M
2
a ，进而在
3
2MNF
，
1 2NF F△
结合余弦定理求得
cos
F NF
1
2
,cos
MNF
2
，进而
得 11
a
3
c
，再求离心率即可.
【详解】解：如图，设 1F M x ，因为 1
|
F M F N MN
| 1: 2 : 3
|:|
|:|
,
2
所以 2
F N
2 ,
x MN
，
3
x
由双曲线的定义得： 1
F N
F N MN MF
2
1
F N
2
4
x
2
x
，
a
2
F M F M
2
1
2
a
所以， x a ， 1F M a ， 2
F N
2 ,
a MN
， 2
3
a
F M
a ，
3
所以，在
2MNF
中，
cos
MNF
2
NM
2
2
NF
2
2
NF NM
2
2
MF
2
9
a
2
a
2
4
a
2 3
a
2
9
2
a
1
3
，
在
1 2NF F△
中，
cos
F NF
1
2
NF
1
2
2
因为
cos
F NF
1
2
cos
MNF
2
，
2
NF
2
NF NF
1
2
2
F F
1 2
16
a
2
4
c
2
4
a
2 4
a
2
2
a
2
c
5
2
a
4
2
a
2
c ， 11
a
3
3
c
所以
2
c
5
2
a
4
2
a
，即 2
11
a
1
3
所以
e
c
a
11
3
33
3
故选：B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 已知抛物线
C y
:
2
x ，O 为坐标原点，点 P为直线
4
x 上一点，过点 P作抛物线 C
2
的两条切线，切点分别为 A，B，则（
）
A. 抛物线的焦点坐标为（0，1）
B. 抛物线的准线方程为 = 1
x
C. 直线 AB一定过抛物线的焦点
D. OP AB
【答案】BD
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可.
【详解】由抛物线
C y
:
2
确，选项 B 正确；
x 可知，焦点坐标为 (1,0) ，准线方程为 = 1
x ，故选项 A 不正
4
设 ( 2,
m
P
)
，显然直线 PA 存在斜率且不为零，设为 1k ，方程为
1(
y m k x
，
2)
与抛物线方程联立，得
2
4
y
x
(
y m k x
1
2
k y
1
4
y
8
k
1
4
m
0
，
2)
因为 PA 是该抛物线的切线，
所以
4
2
4 (8
k
k
1
1
4 ) 0
m
2
2
k
1
k m
1
1 0
，
且 A 的纵坐标为：
4
2k
1
1
，代入抛物线方程中可得 A 的横坐标为： 2
k ，
1
2
k
1
设直线 PA 存在斜率且不为零，设为 2k ，
同理可得： 2
k
2
2
k m
2
1 0
，且 B 的纵坐标为：
4
2k
2
1
，横坐标为 2
k ，
2
2
k
2
显然 1k 、 2k 是方程 22
k
km
k
1 0
的两个不等实根，所以 1
k
2
m
2
,
k k
1 2
1
2
因为
k
AB
k
OP
2
k
2
1
2
k
1
2
k
1
1
2
k
1
m
2
2
k k
1 2
k
k
1
2
m
2
1 2
2
m
2
m
2
1
，
所以OP AB ，因此选项 D 正确；
由上可知： AB 的斜率为
直线 AB 的方程为：
y
，
2
m
2
2
k m
1
(
x
)
1
2
k
1
mk y mk
1
2
2
1
2
2
k x
1
，
2
2
2
k
1
k m
1
1 0
，
2
k
1
k m
1
2 1 2
1 2
2
k
1
所以有
(
k
1
3
2 )
k
1
y
2
2
k x
1
2
(1 2 )
k
1
2
y
2 (
k x
1
，
2)
所以直线 AB一定过 (2,0) ，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项 C 不正确，
故选：BD
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程的根与系数关系、判别式是解题的关键.
为奇函数，则
)
7
4
10. 已知定义在 R 上的函数 ( )
f x 满足
(
f x
7
2
)
( )
f x
，且
0
y
(
f x
A. 函数 ( )
下列说法一定正确的是（
7
2
f x 的图象关于
f x 的周期为
B. 函数 ( )
7(
4
）
,0)
对称
C. 函数 ( )
f x 为偶函数
D. 函数 ( )
f x 的图象关于
x 对称
7
4
【答案】BC
【解析】
【分析】由
(
f x
7
2
)
( )
f x
得函数 ( )
0
f x 的一个周期，由
y
(
f x
是奇函数得函数
)
7
4
的对称中心，两条件结合得函数 ( )
【详解】由
(
f x
7
2
)
( )
f x
f x 的奇偶性.
7
2
(
f x
)
，得
0
f x
，
将
x 代入，
7
2
(
f x
7
2
7
2
)
f
x
7
2
f x
，即
(
f x
7)
f x
，
所以函数 ( )
f x 的一个周期为 7，A 项错误；
是奇函数得
f
(
x
)
(
f x
，
)
f x
和
f
x
，
由
y
(
f x
因为
(
f x
)
7
4
)
7
2
7
4
(
7
4
7
2
)
(
f x
7
4
7
)
4
(
f
7
4
7
)
4
f
(
f x
7
4
)
所以
(
f x
)
x
(
x
，
)
7
2
7
4
7 ,0
4
即
(
f x
7
4
)
f
(
x
，所以 ( )
)
f x 的图象关于
7
4
中心对称，B 项正确，D 项错误；
(
f x
，
(
f x
，
)
)
(
f x
f x
7
2
7
4
7
4
7
4
f x 为偶函数，C 项正确.
(
f x
(
f x
7
2
)
)
7
4
，即函数 ( )
，将
)
x 代入，
7
4
)
7
4
7
4
( )
f x
)
因为
f
(
x
所以
f
(
x
得 (
f
x
)
故选：BC.
11. 下列说法正确的是（
）
A. 数据 6，5，3，4，2，7，8，9 的上四分位数为 7
B. 若
N ，且函数 ( )
f x
~ ( ,
)
2
C. 若随机事件 A，B满足：
P A B
2)
(
P x
P A
x
为偶函数，则 1
1
，则 A，B相互独立
D. 已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据
ix i
1,2,
的平
n
,
的平均数为 y ，方差为 2
1,2,
ys ，若
n
,
均数为 x ，方差为 2
xs ；第二部分样本数据
iy i
总的样本方差为
2
s
s
2
x
s
2
y
2
，则 x
y
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据偶函数的定义及正态曲线的对称性即可判断 B,根据百分位数的概念即可判断
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