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2022-2023学年广东省深圳市罗湖区高三上学期期末数学试题及答案.doc
2022-2023 学年广东省深圳市罗湖区高三上学期期末数学试
注意事项：
题及答案
1.本试卷共 4 页，共 22 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
3.作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
4.非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.
5.考试结束后，考生上交答题卡.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
,
x y x
A
1. 已知集合
y
0
，
B
,
x y x
y
1 0
，则 A B 的子集个数为
（
）
A. 0
个
【答案】C
【解析】
【分析】由题知
A B
【详解】解：因为集合
A
B. 1
C. 2
D. 无穷多
1
2
1,
2
，再求子集个数即可.
,
x y x
，
y
0
B
,
x y x
，
1 0
y
由
0
x
1 0
x
y
y
可得
x
y
1
2
1
2
，
所以
A B
1
2
1,
2
，只有一个元素，
所以， A B 的子集个数为 2.
故选：C
2. 已知复数
1
2
3 i
2
，则 2 （
）
A.
C.
1
【答案】A
【解析】
B.
D.
1
【分析】根据复数的运算可得答案.
【详解】因为
1
2
3 i
2
，所以 2
1
4
3
2
i
3
4
1
2
故选：A
3. 已知向量
a
2,
k
b
，
2,4
，若 a
b
，则
a b （
3
2
i
，
）
B. 5
C. 4
D. 3
A. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先根据条件求出 k，再用坐标公式法计算模.
a b
【详解】
0,4 4
a b
a
0,
k
b
,
，
1
k
4,3 ,
a b
2
4
2
3
5
；
故选：B.
4. 某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的
固 定 成 本 是 25 万 元 ， 每 生 产 x 万 件 该 产 品 ， 需 另 投 入 成 本 x 万 元 . 其 中
x
71
x
945,
x
40
，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为
x
2 10 ,0
x
40
x
10000
x
70 元，则该企业每年利润的最大值为（
）
A. 720 万元
C. 875 万元
【答案】C
【解析】
B. 800 万元
D. 900 万元
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每
年利润的最大值.
【详解】该企业每年利润为
f x
70
x
70
x
2
x
10
71
x
25 ,0
x
10000
x
40
945 25 ,
x
x
40
x
当 0
x 时，
x
40
f
x
2 60
25
(
x
30)
2
875
在 30
x 时，
f x 取得最大值875 ；
当 40
x 时，
f x
920
x
10000
x
920 2
x
10000
x
720
（当且仅当 100
x
时等号成立），即在 100
x
时，
f x 取得最大值720 ；
由875 720
，可得该企业每年利润的最大值为875 .
故选：C
5. 圆
2
1 :
O x
2
y
4
y
与圆
6 0
2 :
O
2
x
2
y
6
x
8
y
公共弦长为（
0
）
A.
5
C. 2 5
【答案】C
【解析】
B.
10
D. 3 5
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆 1O 的圆心到公共弦的距
离，再由
公共弦长公式
d
2
2
r
2
d 求出答案即可.
1
【详解】联立两个圆的方程
2
x
x
2
2
2
y
y
4
6
y
x
6 0
8
0
y
，
两式相减可得公共弦方程 2
y
x
1 0
，
圆
2
1 :
O x
y
2
2
的圆心坐标为
1 0,2
O
10
，半径为
r
10
，
圆心
1 0,2
O
d
到公共弦的距离为 1
0
4 1
1
4
5
，
公共弦长为
d
2
2
r
2
d
1
2 10 5
2 5
.
故选: C .
6. 已知
f x 为偶函数，当 0
x 时，
f x
线方程是（
）
A. 2
x
y
2 0
C. 2
x
y
2 0
【答案】C
【解析】
3
x
，则曲线
x
y
f x
在点
1,0 处的切
B. 4
x
y
4
0
D. 4
x
y
4
0
【分析】先求得曲线
y
f x
在 0
x 时的解析式，再利用导数几何意义即可求得曲线
y
f x
在点
1,0 处的切线方程.
【详解】设 0
x ，则
0x ，由
f x 为偶函数，且当 0
x 时，
f x
3
x
，
x
可得
f x
f
x
(
x
)
3
则 1
f
1 3
，
2
，则
(
x
x
x
)
f
3
x
，
1 3
x
2
则曲线
y
f x
在点
1,0 处的切线方程是
y
2(
x
1)
，即 2
x
y
2 0
故选：C
7. 某批产品来自 A ， B 两条生产线， A 生产线占 60% ，次品率为 4%； B 生产线占 40% ，
次品率为5% ，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自 A 生产线的概率是
）
（
A.
1
2
【答案】B
【解析】
B.
6
11
C.
3
5
D.
5
9
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.
【详解】因为抽到的次品可能来自于 A ， B 两条生产线，设 A “抽到的产品来自 A 生产
线”，
B “抽到的产品来自 B 生产线”，C “抽到的一件产品是次品”，
则 (
)
P A
0.6,
(
P B
)
0.4,
(
)
P C A
|
0.04,
(
P C B
|
)
0.05
，
由
全
概
率
公
P C
P A P C A
P B P C B
0.6 0.04 0.4 0.05 0.044
得
式
，
所以它来自 A 生产线的概率是
P A C
P AC
P C
P A P C A
P C
0.6 0.04
0.044
6
11
.
故选：B
8. 正四面体 S ABC
所成的角为，直线 MB 与平面 ABC 所成的角为，二面角 M BC A
中，M 是侧棱 SA上（端点除外）的一点，若异面直线 MB 与直线 AC
的平面角为 ，
则（
）
A.
B.
C.
【答案】C
【解析】
D.
【分析】先在正四面体 S ABC
中，作出 、 、 对应的角，再比较三者间的的大小关系
即可解决.
中，取 BC 中点 D ，连接 AD ， MD ， SD
【详解】正四面体 S ABC
过 M 作 MH AD
过 M 作 AC 的平行线交 SC 于 N ，则 BMN
由 SD BC
， AD BC ， SD AD D
于 H ，连接 HB ， MB ，
，
， SD 平面 SAD ， AD 平面 SAD
可得 BC 平面 SAD ，则 MD BC ，则 MDH
由 BC 平面 SAD ，可得平面 ABC 平面 SAD ，
又平面 ABC平面
SAD AD ， MH 平面 SAD ， MH AD
=
，
则 MH 平面 ABC ，则 MBH
，
因为sin
MH MH
MB MD
sin
，且
，
π0,
2
，所以 .
设正四面体边长为 1，
AM
，有
0
1
SM MN
1
.
cos
1
MN
2
2
BM BM
， cos
HD HD
MD BM
因为
HD
3
2
3
3
3
2
3
2
3
2
1
1
2
MN
2
所以 cos
cos
，又
，
π0,
2
，则
综上：
故选：C
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，
再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的
平面角．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 等比数列 na 的公比为q，前 n 项和为 nS ，且
A. 2
q ，以下结论正确的是（
na 是等比数列
1
）
a
B. 数列 11
a ， 12
a
12
a ， 13
a
13
a 成等比数列
14
C. 若 1
q ，则 na 是递增数列
D. 若 0
q ，则 nS 是递增数列
【答案】AB
【解析】
【分析】先将 na 的通项公式写出，再按照有关定义逐项分析.
【详解】由题意，
na
1
n
a q
1
，
S
n
a
1
1
n
q
1
q
；
对于 A，
2
na
2
a q
1
2
n
1
对于 B，因为
q ，
1
，所以 2
na 是首项为 2
1a ，公比为 2q 的等比数列，正确；
a
11
a
12
10
a q
1
11
a q
1
10
a q
1
1
,
q a
12
a
13
11
a q
1
1
,
q a
13
a
14
12
a q
1
1
a
12
a
13
2
2
a q
1
22
1
2
q
,
a
11
a
12
a
13
a
14
2
a q
1
22
1
2
q
，
，
q
a
12
a
13
2
a
11
a
12
a
13
a
14
a
， 12
a
11
0
a
13
a
12
a
13
a
12
a
14
a
13
,它们成等比数列，正确；
对于 C，若 1
a ， q＞1 ，则
0
a
n
1
a
n
n
a q
1
a q
1
n
1
n
1
a q
1
q
＜ ， na 为递
1
0
减数列，错误；
S
对于 D，
1
n
S
n
a
1
q
1
1
n
1
q
1
q
n
n
a q
1
S
， nS 是递减数列，错误.
S
n
1n
，若 1
a ，q＞0 ，则 1
n
0
S
＜ ，
S
0
n
故选：AB.
10. 已知随机变量
2
X N
,
，函数
f x
2
x
22
e
1
2π
x
R ，则
A. 当 x 时，
f x 取得最大值
1
2π
B. 曲线
y
f x
关于直线 x 对称
C. x 轴是曲线
y
f x
的渐近线
D. 曲线
y
f x
与 x 轴之间的面积小于 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】由正态分布曲线的性质逐一判断即可.
【详解】解：因 为随机变量
2
X N
,
，函数
f x
1
2π
2
x
22
e
x
R ，
所以
f x 的对称轴为 x ，且当 x 时，
f x 取最大值为
1
2π
0
e
1
2π
，
故 A，B 正确；
根据正态分布的曲线可得， x 轴是渐近线，且曲线
y
f x
与 x 轴之间的面积等于 1，
故 C 正确，D 错误.
故选：ABC.
11. 已知 A ，B 为椭圆
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1
a
左、右顶点，
b
0
F c 为C 的右焦点，M
,0
2
,0aN
c
， MN 的垂直平分线交C 于 D ， E ，若 D ， E ， F 三点共线，
是C 的上顶点，
则（
）
A. FN a
B. C 的离心率为 5 1
2
C. 点 N 到直线 MF 的距离为
2b
c
D. 直线 DA ， DB 的斜率之积为
2
2
b
a
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意得 DE 的方程为
y
b
2
2
a
bc
x
a
2
2
c
，进而得 4
c
2 2
3
a c
4
a
，再整
0
理得
ac b ，进而求 FN ，离心率判断 AB；求出直线 MF 的方程并结合点线距公式求解
2
判断 C；设
,D x y ，则
0
0
y
2
0
2
b
2
1 x
0
2
a
2
2
b
a
2
a
2
x
0
，进而求解 AD
k
k 即可判断 D.
BD
【详解】解：由题知
A a
,0 ,
B a
,0
，
0,M b ，
2
,0aN
c
，
F c ，
,0
k
MN
所以，
bc
2
a
b
2
a
c
， MN 的中点为
2
a
2
c
,
b
2
，
所以， MN 的垂直平分线 DE 的方程为
y
b
2
2
a
bc
x
a
2
2
c
，
因为 D ， E ， F 三点共线，
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