2020-2021 年上海市杨浦区高一数学上学期期末试卷及答案 一、填空题（每小题 3 分，共 36 分） 1 2  1. 函数  f x 【答案】 x 的定义域为_______．  0,  2. 设函数 y x a 【答案】2  ，（ 0, a a 4  ），若其零点 为2，则 a=__________． 1 3. 函数 ( ) f x   x 1 x ( x  的值域为__________． 0) 【答案】 4. 全集 U 【答案】   2,   1,0 x x 1   3,  ， {1,2,3} x Z A   ，则 A  __________． 5. 已知函数   f x  2 ( a   a )1 a x  2 为幂函数，且为奇函数，则实数 a的值__________． 【答案】1 6. 函数   f x 【答案】4     的最小值等于__________． x 3 x 7 7. 函数 y  log a  x  3   (4 a  ，且 1a  ）图象恒过定点 P，点 P的坐标为__________． 0 【答案】 2, 4    8. 已知 y  ( ) f x 是定义在 R 上的偶函数，且它在[0, ) 上单调递增，那么使得 f ( 2)   ( ) f a 成立的实数 a 的取值范围是_________ 【答案】 (   , 2]  [2,  ) 9. 若函数 y    f x 是定义在 R上的奇函数，当 0x  时， ( ) f x  x    1 2     1 ，则函数 y    f x 在 R上的解析式为  f x =__________．  

【答案】 x  1     2    0, x     x 2   0 1, 1, x  0 x  0 10. 若  f x 是定义在 R上的奇函数，当 0x  时，   f x    log 2 2 f   0 f   6  __________．  ，则 x  【答案】 3 11. 已知函数   f x __________． 【答案】[2, ) . x  a 1 2   a  0 ， a  1 ，的图象不经过第四象限，则 a的取值范围为 12. 定义：区间 ,x x 1 2    x 1  的长度 2 x x 2  x ，已知函数 1 y | log  1 2 x | 的定义域为 ,a b ， 值域为 0,2 ，则区间 ,a b 的长度的最大值与最小值的差为__________． 【答案】3 二、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 13. “ m   1,2 ”是“ ln 1m  ”成立的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 【答案】A D. 既非充分也非必要条件 14. 关于函数 y 3 2 x ，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数且在区间 0, 上是严格增函数  B. 是偶函数且在区间 0, 上是严格增函数．  C. 是非奇非偶函数且在区间 0, 上是严格增函数．  D. 是非奇非偶函数且在区间 0, 上是严格减函数．  【答案】C 

15. 函数 ( ) f x  1 log 2 x 的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 16. 定义在 ,t  上的函数  f x 、     g x 是严格增函数， ( ) t f  ( ) g t M  ﹐若对任意 k M ，存在 1 x x ，使得  1 f x 2  2( g x )  成立，则称   k g x 是  f x 在  ,t  上的“追  逐函数”，已知   f x 2 x ，下列四个函数： 

①  g x  x ；②  g x   ln x  ；③   2 g x  1 1x  ；④ ( ) g x   2 1 x 其中是  f x 在   1,  上的“追逐函数”的是（ ） A. ①②④ 【答案】D B. ①②③ C. ①④ D. ①② 三、解答题：（5 大题，共 52 分） 的定义域为集合 A ，集合 B   , a a  1  ，且 B A .   1ln 1 17. 已知函数  f x x  x  （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证：函数   f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】（1）[ 1,0]  ;（2）见解析. 18. 科学家发现某种特别物质的温度 y （单位：摄氏度）随时间 x （时间：分钟）的变化规 律满足关系式： y m   x 2  x 1 2  （0 4x  ， 0m  ）. 2m  ，求经过多少分钟，该物质的温度为5 摄氏度； （1）若 （2）如果该物质温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围. 【答案】（1）经过1分钟，该物质的温度为5 摄氏度；（2）   1 , 2    . 19. 设函数   x mf  l g o 2  x m m R   ． ( )  f （1）解不等式 2    1 x     1 ； f （2）关于 x的方程 10 ( ) x  ( x )  在区间  2,6 1 2 上有实数解，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）    1,   2    ；（2） 311,   8     . 20. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 ( ) f x 的全体：在定义域内存在 0x ，使得 ( f x 0  1)  ( f x 0 )  f (1) 成立． （1）函数 ( ) f x  是否属于集合 M ？说明理由； （2）设函数 ( ) f x lg a 2  x 1  M , 求 a 的取值范围； 1 x  

（3）设函数 2x y  图像与函数 y x  的图像有交点且横坐标为 a ，证明：函数 ( ) f x  2x   ，并求出对应的 0x （结果用 a 表示出来）． 2 x M   ，答案见解析；（2） M 1 x a 3     5,3  5   ；（3）证明见解析； 【答案】（1） ( ) f x x 0 a  ． 1 21. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染 指数  f x 与时刻 x （时）的关系为  f x    x  1 2 x   a 2 a  3 4 ，  x  0,24  ，其中 a 是 与气象有关的参数，且 a     10 ， ．若用每天  2    f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记  作  M a ． （1）令 t  x 2 1  x ，  x  0,24  ，求t 的取值范围； （2）求  M a 的表达式，并规定当   M a  时为综合污染指数不超标，求当 a 在什么范 2 围内时，该市市中心的综合污染指数不超标． 【答案】（1） 10, 2       ；（2） 50, 12      