2020-2021 年上海市徐汇区高一数学上学期期末试卷及答案 一、填空题(本大题满分 36 分，每小题 3 分) 1. 设全集U  R ，已知集合 【答案】 ,1 A   x 4   x 2 x  1  ，则 A  _________. 2. 已知函数 ( ) f x  1 2  x 的定义域为 M ， ( ) g x  x 3  的值域为 N ，则 2 M N  【答案】 __________ 2,2 x    2 x 3. 设 ( ) f x  ， ( ) g x  ## x x 1  2  2 1 x  x ，则 ( ) ( ) f x g x   __________﹒ 【答案】x，x＞1 4. 设集合 M x x   2  1  ， N   b ，若 M N M   ，则实数b 的取值范围为 ___________. 【答案】 1,1 5. 已知 0 a  ，化简 3 2 a  5 2 5 6  a    1 a    = __________ 【答案】 1a ## 1 a 6. 幂函数   f x   2 m m   2  1 m m x   3 在 0,  上是减函数，则实数 m 的值为______.  【答案】-1 7. 若 lg 2  a ,lg3 【答案】 2 a b + 1 a -  ，则用 a 和b 表示 5 log 12  ________ b 8. 已知 , a b  ，且 3 b R a   ，则 6 0 a 2 b 的最小值为_____________. 1 8 【答案】 1 4 9. 习近平在庆祝改革开放 40 周年大会上的讲话中说“我们始终坚持以经济建设为中心，不 断解放和发展社会生产力，我们国内生产总值由 1978 年初的 3679 亿元增长到 2017 的年末 

的 82.7 万亿元”，现请你计算出年平均增长率 __________（结果精确到 0.1%） 【答案】14.5% 10. 已知函数 ( ) f x  3 , a x  1     (1 2 ) a x  1 x 1 2 , x … 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是 __________. 【答案】 10, 2      11. 下列四个命题中正确的是________ x ①已知定义在 R 上的偶函数 (1  y f  ，则 (1 ) f  x )  f (1  ； x ) ②若函数 y  与函数 x 1( ) y f ( ) f x ， y AÎ 是两个不同的函数； ，x D ，值域为 A（ A D ），且存在反函数，则函数 y  ( ) f x ，x D ③已知函数 ( ) f x  ④函数 ( ) f x  x | | (2  【答案】①② x 1) 1 3.5  | 5(2  2 ， x N ，既无最大值，也无最小值； * x | 1) 6   的所有零点构成的集合共有 4 个子集； 12. 若关于 x 的方程 (4 x  5 x )  | 5 x  4 x  在(0, | m ) 内恰有三个实数根，则实数 m 的取值 范围是________ 【答案】 41 5 10 (6, ) 二、选择题（本大题满分 16 分，每小题 4 分） 13. 已知 a R ，则“ 1a  ”是“ 1 1  ”的（ a ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充 分也非必要条件 【答案】B 14. 下列函数中，在 R 上既是奇函数又是减函数的是（ ） B. y  1ln 1   x x C. y   | x x | D. A. y  1 x y 3 x  【答案】C 15. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m m 1 – 2  5 2 lg E 1 E 2 ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7， 

天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10.1 10 【答案】A 16. 若函数  f x 的图象上存在关于直线 y  x 对称的不同两点，则称  f x 具有性质 P .  已知 ,a b 为常数，函数  g x   2 x  ，   x  h a x bx 2 1  x ，对于命题：①存在 a R ，使得 g x 具有性质 P ；②存在b R ，使得    A. ①和②均为真命题  h x 具有性质 P ，下列判断正确的是 B. ①和②均是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】B 三．解答题（满分 48 分） 17. 设函数  ( ) f x x x f x 在 (3, 0 1 2 （ 3x  ）.   ) 上的单调性，并证明你的结论； ) 上有解，求 a 的取值范围. a  在(3, （1）指出 ( ) （2）若 ( ) f x 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2） 4 a  18. 已知集合 A  { | ( x 2 x x   6 1 2 ) （1）求实数 a 的取值范围；  ， { || x x a    ，若 A B   2 | 2} B  1}  . 2 a  16 3  的值域. a y  ( ) 2 3 f a   （2）求 【答案】（1） 1,2 ；  （2） 32,18  . 19. 已知函数  f x   x   x  21     x  0   （1）求函数  （2）若 2x  时，不等式 f x 的反函数   1x  f  1 x  ； 1   f 【答案】（1）  1  f x   1 x  1  x   1    a a x ＞ ；（2） x 恒成立，求实数 a 的范围．  1, 2 1   20. 研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数 y 与听课时间 x（单位：分钟） 之间的变化曲线如图所示，当 [0,16] 时，曲线是二次函数图像的一部分；当 [16,40] x  ) x a  图像的一部分，当学生的注意力指数不高于 68 时，称学生 曲线是函数 y  80 log ( 0.8  x  时， 

处于“欠佳听课状态”. （1）求函数 y  ( ) f x 的解析式； （2）在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到 1 分钟） 【答案】（1） ( ) f x x 1 (    4  log (  0.8  12) 2  84, x  (0,16] x  15) 80,  x  (16,40] ；（2）14 分钟. 21. 已知常数 a R ，函数 ( ) f x  log ( 2 1 x  a ) . （1）若 3 a  ，求不等式 ( ) f x  的解集； 0 （2）若函数 y  ( ) f x  log [( 2 a  4) x  2 a  至少有一个零点在 5] (  1 1 2 2 , ) 内，求实数 a 的取 值范围； （3）若 0 a  ，且存在 t  求实数 a 的取值范围. 1[ 2 ,1] ，使函数在区间[ , t t  上的最大值与最小值之差不超过 1， 1] 【答案】（1） ( ,   1 2 )  (0,  ) ； （2） 6 a  ； （3） 0 a  .