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2021-2022年湖北省常德市高一数学上学期期中试卷及答案.doc
2021-2022 年湖北省常德市高一数学上学期期中试卷及答案
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，本题共 8 小题，每小
，集合
题 5 分，共 40 分．）
0,1,2,3,4
U
C．
B．
2,3,4
1,2,3
B
1．已知全集
A．
D．
0,2,3,4
1,2,4
f x 在[0,1] 上单调递增”是“函数 ( )
f x 的定义域为[0,1] ，则“函数 ( )
2．设函数 ( )
上的最大值为 (1)
A
0,2,4
f ”的（ ）
U A
Bð
，则
2,4
，
（
）
f x 在[0,1]
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
x
C．1
3
x
，则 1f 等于（
1
D．-1
）
f x 是奇函数，
g x 是偶函数，则下列结论正
f
2
B．0
f x ，
f x 对于任意实数 x恒有
f x
C．充分必要条件
3．若
A．2
g x 的定义域都为 R，且
4．设
）
确的是（
A．
g x 是偶函数 B．
f x
f x
D．
f x g x 是奇函数
0,
b
a
则一定有（
5．若
c
0,
）
d
g x 是奇函数 C ．
f x
g x 是 奇 函 数
）
D．
C．
B．
A．
b
c
a
c
a
c
b
d
a
d
a
d
2
ax
b
c
bx c
，若 0x 满足关于 x的方程 2
b
d
6．已知 0a ，函数
f x
项的命题中为假命题的是（
A． x R ，
0
f x
f x
0
C． x R ，
f x
f x
7．已知 x， y R ，且
x
2
3
y
x
A．
B．
8．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 10g 黄金，售货员先
将 5 g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 5 g 的砝
B． x R ，
f x
D． x R ，
f x
y
3
x
C．
，则下列各式中正确的是（
y
ax b ，则下列选
0
f x
0
f x
y
y
D．
）
0
2
0
y
0
0
x
0
x
x
码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交
给顾客。问：顾客实际得到的黄金（ ）
A．小于 10 g
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
B．大于 10 g
C．等于 10 g
D．不能确定
题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9．已知实数 a，b满足等式 2
b ，下列五个关系式：
3
a
；②
① 0 b a
其中有可能成立的关系式有（
0
）
a b ；③ 0 a b
；④
b a ；⑤
0
a b
0
，则下列说法正确的是（
A．①
10．已知函数
A．若
)(
xh
B．若
C．若
D．若
)(
xh
)(
xh
)(
xh
D．④
B．②⑤
)(
xf
C．②③
)(
x
xg
4
)(
xf
x
，
1
，则函数 )(xh 的最小值为 2；
)(
xf
，则函数 )(xh 的单调递增区间是
)(
)(
xgxf
)(
)(
xg
xf
)(
)(
xg
xf
，则方程
恒成立．
，则
0
）
；
，2
有且仅有一个实根；
)(
xh
)(
4
xh
,
baa
,
ab
b
，设
,
ba
11．定义一种运算
min
且
A．-2
3,3x
，则使函数 )(xf 最大值为 4 的t 值可以是（
B．6
D．-4
C．4
）
)(
xf
24min
x
2
x
,
tx
（ t 为常数），
12．高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函
数”为设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则
x 称为高斯函数，例如：
y
2.3
，
3
15.31
15 ．已知函数
( )
f x
x
2
1 2
x
1
2
，
G x
f x
，则下列说法
正确的有（
）
A． G x 是偶函数
B． G x 的值域是
1,0
C．
f x 是奇函数
D．
f x 在 R 上是增函数
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
3,
m
2
A
2,3,4
．若 B
13．已知集合
，集合
A ，则实数 m ______．
B
4
的图象一定经过定点
上是减函数，且
f m
4
2
xa
y
f x 在定义域
10,10
．
(
mx
m
14．当 0a 且 1a 时，函数
15．已知奇函数
数 m的取值范围为
16．已知当
1,0x
则正实数 m 的取值范围是
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解
的图像有且只有一个交点，
1
，则实
的图像与 y
f m
1
时，函数
x m
2)1
．
2
0
y
x
答写在答题卡上的指定区域内）
4
x
4
2
1
x
；
2
17．（10 分）设函数
f x
（1）证明：
1
f x
（2）计算：
2016
2016
1
f
f
f
，
f
3
2016
f
2014
2016
f
2015
2016
2
(1
18．（12 分）函数
（1）若
（2）若
3(1
)
a x
( )
f x
2
)
a x
6
f x 的定义域为 R，求实数 a的取值范围；
f x 的定义域为
2,1 ，求实数 a的值．
在区间
3
2
x
f x 在区间
( )
f x
ax
（1）当 2a 时，求函数 ( )
19．（12 分）函数
2
2
-1,1 上的最小值记为 ( )g a ．
-1,2 上的值域；
（3）求 ( )g a 的最大值．
（2）求 ( )g a 的函数解析式；
20．（12 分）已知函数
f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x 时，
f x
．
ax
x
2
（1）若
a ，求函数
f x 的解析式；
2
（2）若函数
f x 为 R 上的单调减函数，
2
f m
1
f m t
恒成立，求实数 t的取值范围．
①求 a的取值范围；
②若对任意实数 m，
21．（12 分）甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/
时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定成本组成：可变部分与速
度 v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ,固定成本为 a 元．
（1）把全程的运输成本 y （元）表示为速度 v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义
0
域；
（2）为了使全程的运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
22．（12 分）定义：若对于定义域内任意 x ，都有 (
数 )(xf 为“ a 距”增函数．
,0
f x a
（1）若
)(
xf
2
x
x
)
,
,试判断 )(xf 是否为“1 距”增函数，并说明理由；
( )
f x
（ a 为正常数），则称函
x
， x R 是“ a 距”增函数，求 a 的取值范围；
4
，
,1
x
，其中 Rk ，且 )(xf 为“2 距”增函数，求 )(xf 的
参考答案
x
1
4
k x
（2）若
( )
f x
3
x
（3）若
( )
f x
2x
2
最小值．
1-4．C A A C
5-8．D C D B
9．AB
10．BCD
11．AC
12．BCD
15．．
13．2
14． ）（ 5,2
9
2,
2
3
，3
1,0
16．
17．（1）证明：
f x
f
1
x
x
4
x
4
2
x
1
4
1
x
4
x
4
x
4
2
4
4 2 4
x
x
4
x
4
2
4
4 2 4
x
2
x
4
x
4
2
（2）令
S
2
2 4
f
1
x
1
2016
S
f
2015
2016
f
f
2014
2016
2
2016
f
f
2013
2016
3
2016
f
2014
2016
f
2015
2016
则
f
2
2016
f
2016
1
两式相加，由（1）得， 2
S
2015
，
S
18．（1）因为对于 xR ，
1
所以①当 1a 时，原不等式变为 6 0 ，此时 xR ．
，此时定义域不为 R．
a 时，
f x
a x
②当
1
6
6
a
x
x
2
2
恒成立，
6 0
2015
．
2
3 1
解得
5
11
，
a
1
③若
a 时，则
1
0,
2
1
a
0,
2
2
a
4 1
a
0,
2
6 0,
1
a
所以
9 1
所以实数 a的取值范围为 5 ,1
11
f x 的定义域为
2,1 ，
3 1
（2）因为
所以不等式
1
1
a x
a x
3 1
．
a
a
x
x
2
2
2
2
的两根，
6 0
的解集为
6 0
2,1 ，所以
x ， 1x 是方程
2
所以
2
a
1
2 1
2 1
0,
3 1
1
6
a
2
1
a
2
a
,
解得 2a ．
19．（1）
( )
f x
1,9
（2）
( )
g a
3
5 2 ,
a a
2
a
2
5 2 ,
a a
2
2
, 2
a
2
（3）
( )
g a
max
g
(0) 3
0x ，
20．（1）当 0x 时
又因为
所以当 0x 时，
f x
f x 为奇函数，且
f
2
x
a ，
x
2 2
，
x
2
所以
f x
x
x
2
2 ,
x x
2 ,
x x
0,
0.
（2）①当 0a 时，对称轴
x
所以
f x
在
ax
x
2
0, 上单调递减，
，
0
a
2
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
f x 在
所以
又在
上 0
所以当 0a 时，
,0 上单调递减，
f x ，在
f x 为 R 上的单调减函数．
0, 上 0
f x ，
,0
当 0a 时，
f x 在 0,
a
2
a
上单调递增，在 ,
2
上单调递减，不合题意．
f x 为单调减函数时，a的取值范围为 0a ．
，
0
2
f m t
f m t
，
2
f m
f m
1
所以函数
②因为
所以
1
又因为
因为
1m
所以
f x 为 R 上的减函数，
恒成立，
t m
2
f x 是奇函数，所以
f m
1
f
t m
2
，
所以
t
2
m m
1
m
2
1
2
5
4
对任意实数 m恒成立，
所以
t ．
5
4
即 t的取值范围为 5 ,
4
21．（1）
y
2
(
bv
a
)
（1）①当
c 0
ab
b
s
v
（
bv
a
v
)
s
0,
c
v
时， (
y
bv
)a
v
在
s
c,0 上单调递减，此时
v
c 时，
y
min
(
bc
)a
c
s
②当
c
ab
b
时， (
y
bv
)a
v
在 0, ab
s
b
上递减，在
ab , 递增，此时
b
c
v
ab
b
时，
y
min
2
sab
答：当 0
c
最小．
ab
b
时， c
v 时，运输成本最小；当
c
ab
b
时，
v
ab
b
时，运输成本
21．（1） )(xf 是“1 距”增函数．
理由：任意 0x ，
(
f x
1)
( )
f x
（2）
(
f x
( )
f x
1)
，即 )(xf 是“1 距”增函数．
1)
2
0
x
1
(
x
x
(2
x
)
x
2
1
，
x
0
2
x
1
，
(
f x a
)
( )
f x
(
x a
)
3
( )
f x
是“ a 距”增函数，
1
4
3
(
x a
) 4
2
x a
2
3
xa
3
a
1
4
a
3
x
1
4
x
4
3
2
x a
2
3
xa
3
a
1
4
a
恒成立．
0
0a
，
3
x
2
3
xa a
2
在 x R 上恒成立，
0
1
4
2
9
a
12(
a
2
1
4
，解得 2
) 0
a ．
1
a
0,
a
1
（3）
( ) 2
f x
2
x
k x
,
x
( 1,
)
,且 )(xf 为“2 距增函数”，
x 时，
1
2
(
x
2)
2
k x
2
2
x
k x
2
恒成立，
x
(
2
2)
k x
2
2
x
k x
，当 0x 时，
(
x
2
2)
(
k x
2)
2
x
kx
恒成立，
即 4
0
x
当 1
时，
x
4 2
k
0x
1)(
k
2)
(
(
x
0
得
2
)2
2k
；
0
x
2k
24
k ，得
4
)2
(
kx
xk
2k
，综上所述，
，得
．
2
x
24
kx
2
k
0
恒成立，
又
( )
f x
2
2
x
k x
2
(
x
2
)
k
2
2
k
4
，
x
1,
x
0,
当 时，若
0
k
x
0,
取得最小值 0；当 2
时，若
0
k
x ，
（
k
2
x
k
2
2)
2
k
4
y
2x
在 R 上是增函数， 当 0
k 时， ( )
f x 的最小值为 1；
（
x
k
2
2)
取得最小值
2
k
4
k ．
2
4
当 2
时， )(xf 的最小值为
k
2
k
42
，即
0
2
2
k
4
0
, 2
1,
k
k
0
( )
f x
min
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