2009年上海高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年上海高考理科数学试题及答案考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码. 2．本试卷共有 23 道试题，满分 150 分 .考试时间 20 分钟 . 一．填空题（本大题满分 56 分）本大题有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1．若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (i 是虚数单位)，则其共轭复数 z =__________________ . 2．已知集合 A   | x x  ，   1  B | x x  ，且 A B R   ， a  则实数 a 的取值范围是______________________ . 3．若行列式 4 x 5 1 x 3 7 8 9 中，元素 4 的代数余子式大于 0，则 x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是____________________________ . 5．如图，若正四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 1BD 与 AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 6．函数 y  2cos 2 x  sin 2 x 的最小值是_____________________ . 7．某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E=____________（结果用最简分数表示）. 8. 已知三个球的半径 1R ， 2R ， 3R 满足 R 1  2 R 2  3 R 3 ，则它们的表面积 1S ， 2S ， 3S ，满足的等量关系是___________. 9. 已知 1F 、 2F 是椭圆 xC : a 2 2  2 2 y b  1 （ a ＞ b ＞0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 PF  1 PF 2 .若 1FPF 2 的面积为 9，则b =____________.

10. 在极坐标系中，由三条直线 0 ，  ，  3  cos sin   1 围成图形的面积是 ________. 11.当 0  x 时1 ，不等式 x  sin  2 kx 成立，则实数 k 的取值范围是_______________. 12．已知函数 )( xf  sin x  tan x .项数为 27 的等差数列 na 满足 na       ， 22  ，且公差 0d .若 ( af 1 )  ( af 2 )  ( af 27 )  0 ，则当 k =___________时， ( kaf ) 0 . 13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3， 4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）____为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短 14. 将函数 y  4 6  x  2 x  2 )60  ，x ( 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角  0( )  ，得到曲线C .若对于每一个旋转角，曲线C 都是一个函数的图像，则的最大值为__________ 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分。 15. “ 2  a 2 ” 是“实系数一元二次方程 2 x  ax 01  有虚根”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 16. 若事件 E 与 F 相互独立，且  P E   （A） 0 （B） 1 16  P F 1 4 （C）  1 4   ，则  P E FI 的值等于 1 2 （D） 17. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4 （B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 （C）丙地：中位数为 2，众数为 3 （D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 18. 过圆 ( C x ： 2  1)  ( y 2  1)  1 的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于

点 A、B， AOB  S 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 I  S IV  S II 则直线 AB 有（）（A） 0 条（B） 1 条（C） 2 条（D） 3 条  ， S III 三．解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤 19. （本题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC A B C 1 1 1  AA 中， 1  BC AB   2 , AB BC ,求二面角 1 B AC C 1  的大小。  1 20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。有时可用函数 ( ) f x  0.1 15ln      4.4 , x  4 x   a a x  ,( x  6) ( x 　　　　  6) 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。（1）证明：当 7x  时，掌握程度的增长量 ( f x 1)   ( ) f x 总是下降； x N ）， ( ) f x 表 * （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121], (121,127], (127,133]。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。 21．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分。已知双曲线 2 xc : 2 2 y 1,  设过点 ( 3 2,0) A  的直线l 的方向向量 (1, ) k  v e （1）当直线l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线l 的方程及l 与 m 的距离；（2）证明：当 k > 2 2 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线l 的距离为 6 。

22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分。已知函数 y 1( ) x f 是 y  ( ) f x 的反函数。定义：若对给定的实数 ( a a  ，函数 0) y  ( f x a  与 ) y  f 1( x a  互为反函数，则称 ) y  ( ) f x 满足“ a 和性质”；若函数 y  ( f ax ) 与 y  f 1( ax ) 互为反函数，则称 y  ( ) f x 满足“ a 积性质”。（1）判断函数 ( ) g x  2 x  1( x  是否满足“1 和性质”，并说明理由； 0) （2）求所有满足“2 和性质”的一次函数；（3）设函数 y  ( )( f x x  对任何 0a  ，满足“ a 积性质”。求 0) y  ( ) f x 的表达式。 23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。已知 na 是公差为 d 的等差数列， nb 是公比为 q 的等比数列。（1）若 na 3 n 1  ，是否存在 m k N、 * ，有 a m  a m 1   a k ? 说明理由；（2）找出所有数列 na 和 nb ，使对一切 n N * , a   1n a n b n ,并说明理由； a （3）若 1  5, d  4, b 1   试确定所有的 p ，使数列 na 中存在某个连续 p 项的和 q 3, 是数列 nb 中的一项，请证明。

2009 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。解答一、（第一题至第 14 题） 1. i 2. 1a  3. x  5 arctan 5 6. 1- 2 9. 3 10. 3 3  4 13.  3,3 14. arctan 2 3 二．（第 15 题至第 18 题） 8 3 4. y     x x 2 , 2,  1  1 x  x 8. s 1  2 s 2  3 s 3 7. 4 7 11. 1k  12. 14 题号代号 15 A 16 B 17 D 18 B 三. （第 19 题至第 23 题） 19.解：如图，建立空间直角坐标系。则 A 2,0,0 ，C  0,2,0 ，A1  2,0,2 ，  B1 0,0,2 ，C1  0,2,2 ，  …… 2 分设 AC 的中点为 M，BM  AC，BM  CC1，  BM  平面 1  1AC C ，即 BM =（1，1，0）是平面 1 1AC C

的一个法向量。……5 分 = 2,2, 2   ， 1 1A B  设平面 A1B1C 的一个法向量是 n  1AC   n   n =  =0， n   1 1A B 0,1,1 ， = 2x =      = , x y z ， ,  2,0,0  1AC = 2   ， …… 7 分 x  2 y  2 z  ，令 1z  ，解得 0, 0  x y  。 1 …… 10 分  设法向量 n  与 BM  cos   cos   的夹角为  ，二面角 1 B AC C 的大小为，显然为锐角。 1     1   n BM    | n BM   1 2 ，解得 =  3 ∴二面角 1 B AC C 1  的大小为  1  3 …… 14 分 20. 证明：（1）当 x 7 时， ( f x 1)   ( ) f x  0.4 3)( x ( x   4) 而当 x 7 时，函数 ( y= x  3)( x  4) 单调递增，且 ( x  3)( x  4) 0  ……3 分故 ( f x 1)   ( ) f x 单调递减。所以，当 x 7 ，掌握程度的增长量 ( f x 1)   ( ) f x 总是下降 ……6 分解：（2）由题意可知 0.1 15ln  整理得 a  0.05 e a  6 0.05 e 0.05 a  6 a  0.85 ……9 分 ……13 分解得 a  e 6   20.50 6 123.0,   　　 123.0   121,127  ……14 分 1  由此可知，该学科是乙学科 21.解：（1）双曲线 C 的渐近线 : xm 2 y  ，即 0 x  2 y  0 …… 2 分

直线l 的方程 x  2 y  3 2  0 直线l 与 m 的距离 d  3 2 1 2   6 （2）证法一：设过原点且平行于l 的直线 : b kx y  0, 则直线l 与b 的距离 d  3 2 1  k 2 k ，当 k  2 2 时， d  。 6 …… 6 分 …… 8 分 …… 12 分 0 2 y x   ，又双曲线 C 的渐近线为 双曲线 C 的右支在直线b 的右下方， 双曲线 C 右支上的任意点到直线l 的距离大于 6 。故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ( x y 到到直线l 的距离为 6 …… 16 分 0 ) , 0 证法二：假设双曲线 C 右支上存在点 Q ( x y 到直线l 的距离为 6 ， 0 ) , 0 则       kx 0  2 x 0   y 0 1  2 2 y 0 3 2 k 2 k   6 (1) 　　　 2 (2) 　　　　　　由（1）得 y 0  kx 0 3 2 k   6  1 设 t  3 2 k  6  1  k 2 2  ， k …… 11 分当 k  2 2 时， t  3 2 k  6  1  k 2  ： 0 t  3 2 k  6  1  k 2  6  2 2 2 k  1  1  3 k 2 k  0 …… 13 分 2 (1 2 )  k 2 x 0  4 tkx 0  2( t 2 1) 0   ，（*） y 将 0  kx 0  代入（2）得 t  k  2 2 ， 0 t 

 1 2  k 2 0, 4   kt   0, 2( t 2 1) 0.   ∴方程（*）不存在正根，即假设不成立，故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ( x y 到直线l 的距离为 6 …… 16 分 0 ) , 0 22.解：（1）函数 ( ) g x  2 x  1( x  的反函数是 1( ) x 0) g   x  1( x 1)  ，  1( g  x 1)   ( x x  ， 0) 而 ( g x 1)   ( x  1) 2  1( x   ，其反函数为 1) y  x 1 1(   x  1) 故函数 ( ) g x  2 x  1( x  不满足“1 和性质” 0) …… 4 分（2）设函数 ( ) f x  kx b x R  满足“2 和性质”， 0 k  。  ( )  1( ) x f   ( x R   , 1  f ( x  2)  x   b …… 6 分 x b  k ( k x 而 ( f x  2)   2)   ，得反函数由“2 和性质”定义可知 2 k  y k 2 k x b   k ， …… 8 分对 ( x R 恒成立。 ) ( b x R k   ) b 2 k ＝ 2 x b   k     k     即所求一次函数 ( ) f x R 1, b ( x b b  ）. R ……10 分（3）设 a  00, x  且点 0 0, , x y ( ) 在 y ( f ax ) 0 图像上， ( y x 在函数 ) , 则 0 0 y  f 1( ax ) 图像上，故 ( ) f ax  0   1( ay f  0  ) y  0 x 0 ay 可得 0  ( f x 0 )  af ax 0 ( ) ， ……12 分 ax 令 0  x , 则 a 综上所述， ( ) f x ,k ax 而 1( ax  ) f  ， x x 0 k （ x y  k 故  ( f x 0 )  x x 0 ( ), f x 即 ( ) f x ) ( x f x 0 0 x . ……14 分 0), 此时 ( f ax )  其反函数是 y  ， k ax ( f ax ) 与 y f  1 ( ax 互为反函数。 ……16 分 ,k ax ) 23．解：（1）由 a m  a m 1   a k , 6 m 得   5 3 k  1 ， ……2 分整理后，可得 k m 2  ， 4 3 m k N、 * ， 2k m 为整数，

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