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2012年湖北省黄石市中考数学真题及答案.doc
21.（本小题满分8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，
22.（本小题满分8分）如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装
答：支架的高约为
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义
23.（本小题满分8分）某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.商品房售
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价（元/米2）与楼层
（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9％的优惠划
24.（本小题满分9分）如图（10）所示：等边△
（1）请你探究：，
（2）请你继续探究：若△为任意三角形，线段
（3）如图（11）所示△
25.（本小题满分10分）已知抛物线的函数解析
（1）求抛物线的顶点坐标.
（2）已知实数，请证明：
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线
（参考公式：在平面直角坐标系中，若，
2012 年湖北省黄石市中考数学真题及答案
一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
下面每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项所对应的字母在答题卷中相应的
格子涂黑，注意可用多种不同的方法来选取正确答案。
1
3
A.
1.
的倒数是（ C ）
1
3
B. 3
C. －3
D.
1
3
【考点】倒数．
【分析】一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到．
【解答】解：
的倒数是
1
3
故选 C．
．
3
3
1
【点评】此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数．
2.某星球的体积约为 6635421
3km ，用科学计数法（保留三个有效数字）表示为 6.64 10n
3km ，则 n
（ C ）
A. 4
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】科学记数法的形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 是整数．此时的有效数字是指 a 中的有效
D. 7
C. 6
B. 5
数字．
【解答】解：6635421=6.635421×106≈6.64×106．
故选 C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．有效数
字的计算方法是：从左边第一个不是 0 的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记
数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关．
3.已知反比例函数
y
（b 为常数），当 0
x 时， y 随 x 的增大而增大，则一次函数 y
b
x
的图像不
x b
经过第几象限（ B ）
A.一
B. 二
【考点】一次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据反比例函数的增减性判断出 b 的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系判断出次函
D. 四
C. 三
数 y=x+b 的图象经过的象限即可．
【解答】解：∵反比例函数
y
（b 为常数），当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，
b
x
∴b＜0，
∵一次函数 y=x+b 中 k=1＞0，b＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四限，
∴此函数的图象不经过第二象限．
故选 B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及反比例函数的性质，熟知一次函数 y=kx+b（k≠
0）中，当 k＞0，b＜0 时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
市
4. 2012 年 5 月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：
城
武汉
气温（℃） 27
请问这组数据的平均数是（ C ）
成都
27
北京
24
上海
25
海南
28
南京
28
拉萨
23
深圳
26
B.25
A.24
【考点】算术平均数．
【分析】求这组数据的算术平均数，用 8 个城市的温度和÷8 即为所求．
【解答】解：（27+27+24+25+28+28+23+26）÷8
D.27
C.26
=208÷8
=26（℃）．
故选 C．
【点评】考查了算术平均数，只要运用求平均数公式：
即可求出，为简单题．
5.如图（1）所示，该几何体的主视图应为（ C ）
x
1 (
n
x
1
x
2
x
)n
.
C
B
A
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看可得到一个大矩形左上边去掉一个小矩形的图形．
图（1）
D
故选 C．
【点评】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是掌握主视图所看
的位置．
6.如图（2）所示，扇形 AOB 的圆心角为 120°，半径为 2，则图中
阴影部分的面积为（ A ）
A.
4
3
3
B.
4
3
2 3
C.
4
3
3
2
D.
4
3
【考点】扇形面积的计算．
【专题】探究型．
【分析】过点 O 作 OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD
A
B
O
图（2）
的度数，由直角三角形的性质得出 OD 的长，再根据 S 阴影=S 扇形 OAB-S△AOB 进行计算即可．
【解答】解：过点 O 作 OD⊥AB，
∵∠AOB=120°，OA=2，
∴∠OAD=90°-∠AOB/2 =180°-120°/2 =30°，
1
2
OA=
1
2
×2=1，
2
OA OD
2
2
2
2
1
3
∴OD=
AD
∴
AB
AD
2
2 3
，
∴S 阴影=S 扇形 OAB-S△AOB=120π×22/360 -1/2 × 2 3 ×1=
4
3
．
3
故选 A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出 S 阴影=S 扇形 OAB-S△AOB 是解答此题
的关键．
7.有一根长 40mm 的金属棒，欲将其截成 x 根 7mm 长的小段和 y 根9mm 长的小段，剩余部分作废料处理，
若使废料最少，则正整数 x ， y 应分别为（ B ）
y
1x ， 3
x ， 2
y
A.
B.
3
C.
x ， 1y
4
D.
x ， 3
y
2
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据金属棒的长度是 40mm，则可以得到 7x+9y≤40，再 根据 x，y 都是正整数，即可求得所
有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定．
【解答】解：根据题意得：7x+9y≤40，
则 x≤40-9y 7 ，
∵40-9y≥0 且 y 是非负整数，
∴y 的值可以是：0 或 1 或 2 或 3 或 4．
当 x 的值最大时，废料最少，
因而当 y=0 时，x≤40 7 ，则 x=5，此时，所剩的废料是：40-5×7=5mm；
当 y=1 时，x≤31 7 ，则 x=4，此时，所剩的废料是：40-1×9-4×7=3mm；
当 y=2 时，x≤22 7 ，则 x=3，此时，所剩的废料是：40-2×9-3×7=1mm；
当 y=3 时，x≤13 7 ，则 x=1，此时，所剩的废料是：40-3×9-7=6mm；
当 y=4 时，x≤4 7 ，则 x=0，此时，所剩的废料是：40-4×9=4mm．
则最小的是：x=3，y=2．
故选 B．
【点评】本题考查了不等式的应用，正确确定 x，y 的所有取值情况是关键．
8.如图（3）所示，矩形纸片 ABCD 中，
AB
cm
6
，
BC
cm
8
，现将其沿 EF 对折，使得点C 与点 A 重
合，则 AF 长为（ B ）
A.
C.
25
8
25
2
cm
cm
B.
25
4
cm
D. 8cm
(C)
A
B
D
F
E
图（3）
D
C
现将其沿 EF
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm，利用矩形纸片 ABCD 中，
对折，使得点 C 与点 A 重合，由勾股定理求 AF 即可．
【解答】解：设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm，
∵矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，
∴DF=D′F，
在 Rt△AD′F 中，∵AF2=AD′2+D′F2，
∴x2=62+（8-x）2，
解得：x=25/4 （cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴
对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．
AB ，
2
9.如图（4）所示，直线CD 与线段 AB 为直径的圆相切
AD ，P 点
的
交 BA 的延长线于点C ，且
CD 上移动.当 APB
（ B ）
A. 15 °
C. 60 °
【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角
的度数最大时，则 ABP
B. 30 °
D. 90 °
1
定理．
【分析】连接 BD，有题意可知当 P 和 D 重合时，
∠APB 的度数最大，利用圆周角定理和直角
三角形的性质即可求出∠ABP 的度数．
【解答】解：连接 BD，
P
于点 D ，并
在 切 线
度 数 为
D
C
A
·O
B
图（4）
∵直线 CD 与以线段 AB 为直径的圆相切于点 D，
∴∠ADB=90°，
当∠APB 的度数最大时，
则 P 和 D 重合，
∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，
∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，
∴∠ABP=30°，
∴当∠APB 的度数最大时，∠ABP 的度数为 30°．
故选 B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知
当 P 和 D 重合时，∠APB 的度数最大为 90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)
10.如图（5）所示，已知
1(
A
2
,
y ，
1
)
B
(2,
y 为反比例函数
2
)
图像上的两点，动点 ( ,0)
P x 在 x 正半轴上运动，当线段
线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是（ D ）
A.
C.
1(
2
3(
2
,0)
,0)
B. (1,0)
5(
2
D.
,0)
y
1
x
AP 与
y
O
A
P
图（5）
B
x
【考点】反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析
角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】求出 AB 的坐标，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入求出直线 AB 的解析式，
根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB，延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′
点时，PA-PB=AB，此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，求出直线 AB 于 x 轴的交点坐标即可．
式；三
【解答】解：∵把 A（1/2 ，y1），B（2，y2）代入反比例函数 y=1/ x 得：y1=2，y2=1/2 ，
∴A（1/2 ，2），B（2，1/2 ），
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，
设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，
把 A、B 的坐标代入得： 2=1/2k+b ,1/2 =2k+b ，
解得：k=-1，b=5/2 ，
∴直线 AB 的解析式是 y=-x+5/2 ，
当 y=0 时，x=5/2 ，
即 P（5/2 ，0），
故选 D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键
是确定 P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11.分解因式： 2
x
x ＝(
2
x
2)(
x
1)
.
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【专题】探究型．
【分析】因为（-1）×2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：∵（-1）×2=-2，2-1=1，
∴x2+x-2=（x-1）（x+2）．
故答案为：（x-1）（x+2）．
【点评】本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会
它实质是二项式乘法的逆过程．
12.若关于 x 的不等式组2
3
x
3
3
x
有实数解，则 a 的取值范围是 4a .
x a
5
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于 a 的不等式，求出 a 的取值
范围即可．
【解答】解： 2x＞3x-3①,
3x-a＞5② ，由①得，x＜3，由②得，x＞5+a 3 ，
∵此不等式组有实数解，
∴5+a/3 ＜3，解得 a＜4．
故答案为：a＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于 a 的不等式是解答此题的
关键．
13.某校从参加计算机测试的学生中抽取了 60 名
绩（40～100 分）进行分析，并将其分成了六
成如图（6）所示的频数分布直方图（其中 70～
看不清），若 60 分以上（含 60 分）为及格，
75
中信息来估计这次测试的及格率约为 0
.
0
频数
组距
1.5
0.9
0.6
0.3
学 生 的 成
段 后 绘 制
80 段因故
试 根 据 图
40 50 60 70 80 90 100 分数
图（6）
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计
总体．
【专题】计算题．
【分析】先根据频率分布直方图，利用频数=频数组距 ×组距，求出每一阶段内的频数，然后让 60 减
去已求的每一阶段内的人数，易求 70≤x＜80 阶段内的频数，再把所有大于等于 60 分的频数
相加，然后除以 60 易求及格率．
【解答】解：∵频数=频数 组距 ×组距，
∴当 40≤x＜50 时，频数=0.6×10=6，
同理可得：50≤x＜60，频数=9，
60≤x＜70，频数=9，
80≤x＜90，频数=15，
90≤x＜100，频数=3，
∴70≤x＜80，频数=60-6-9-9-15-3=18，
∴这次测试的及格率=9+18+15+3 60 ×100%=75%，
故答案是 75%．
【点评】本题考查了频率分布直方图，解题的关键是利用公式频数=频数 组距 ×组距，求出每一阶段
内的频数．
14.将下列正确的命题的序号填在横线上② .
①若 n 大于 2 的正整数，则 n 边形的所有外角之和为
(
n
2)180
0
.
②三角形三条中线的交点就是三角形的重心.
③证明两三角形全等的方法有： SSS , SAS , ASA , SSA 及 HL 等.
【考点】三角形的重心；全等三角形的判定；多边形内角与外角；命题与定理．
【专题】探究型．
【分析】分别根据多边形内角和定理、三角形的重心及全等三角形的判定定理得出结论．
【解答】解：①若 n 为大于 2 的正整数，则 n 边形的所有内角之和为（n-2）•180°，故本小题错误；
②三角形三条中线的交点就是三角形的重心，符合重心的定义，故本小题正确；
③SSA 不能证明两三角形全等，故本小题错误．
故答案为：②．
【点评】本题考查的是多边形内角和定理、三角形的重心及全等三角形的判定定理，熟知以上知识是解
答此题的关键．
15. “ 数 学 王 子 ” 高 斯 从 小 就 善 于 观 察 和 思 考 . 在 他 读 小 学 时 候 就 能 在 课 堂 上 快 速 的 计 算 出
100 99 98
98 99 100 5050
1 2 3
令 1 2 3
S
S
①＋②：有 2
S
98 99 100
3 2 1
(1 100) 100
，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
①
②
解得： 5050
S
请类比以上做法，回答下列问题：
若 n 为正整数，3 5 7
(2
n
1) 168
，则 n 12 .
【考点】有理数的混合运算．
【专题】规律型．
【分析】根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设 S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，
则 S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，
①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，
整理得，n2+2n-168=0，
解得 n1=12，n2=-14（舍去）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题
的关键．
16.如图（7）所示，已知 A 点从点（１，０）出发，以
位长的速度沿着 x 轴的正方向运动，经过t 秒后，以
作菱形 OABC ，使 B 、 C 点都在第一象限内，且
AOC
，又以 P （０，４）为圆心， PC 为
060
y
P·
每 秒 １ 个 单
O 、A 为顶点
半 径 的 圆 恰
好与OA 所在直线相切，则t 4 3 1 .
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；菱形的性
质；解直角三角形．
【专题】动点型．
【分析】先根据已知条件，求出经过 t 秒后，OC 的
C
B
O
1
A
x
图（7）
长，当⊙P 与
OA，即与 x 轴相切时，如图所示，则切点为 O，此时 PC=OP，过 P 作 PE⊥OC，利用垂径定理和
解直角三角形的有关知识即可求出 t 的值．
【解答】解：∵已知 A 点从（1，0）点出发，以每秒 1 个单位长的速度沿着 x 轴的正方向运动，
∴经过 t 秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形 OABC 是菱形，
∴OC=1+t，
当⊙P 与 OA，即与 x 轴相切时，如图所示，则切点为 O，此时 PC=OP，
过 P 作 PE⊥OC，
∴OE=CE=1/2 OC，
∴OE=1+t/2 ，
在 Rt△OPE 中，
OE=OP•cos30°= 2 3 ，
11
t
2
2 3
∴
，
∴ 4 3 1
t
故答案为： 4 3 1 ．
【点评】本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角
三角形的有关知识，属于中档题目．
三、全面答一答（本题有 9 个小题，共 72 分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答尽
量写出来。
17.（本小题满分 7 分）计算：
( 3
0
2)
4sin 60
0
2 2 3
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】任何不为 0 的数的 0 次幂都是 1；熟记特殊角的三角函数值；去绝对值符号之前先搞清楚内面
的数的性质，然后再去掉符号．
【解答】解：原式 1 2 3 2 3 2
····················································· （4 分）
3 ··················································································· （3 分）
【点评】此题考查实数的有关运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角
的三角函数值、绝对值等考点的运算．
18.（本小题满分 7 分）先化简，后计算：
81
2
a
6
a
a
2
9
9
a
2
6
a
1
a
9
，其中
a
3 3
.
【考点】分式的化简求值．
【专题】探究型．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=
9(
9)(
a
2
(
)3
a
a
)
)3
(2
a
9
a
1
9
a
…………………………2 分
=
2
a
3
…………………………………………………………3 分
当
a
33
时，原式=
32
3
……………………………………2 分
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.（本小题满分 7 分）如图（8），已知在平行四边形 ABCD 中， BE DF
.
.
BCF
求证： DAE
【考点】平行四边形的性质；平行线的性
形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行四边形性质求出 AD∥
推出∠ADE=∠CBF，求出 DE=BF，证△ADE
出∠DAE=∠BCF 即可．
【解答】证明：∵四边形 ABCD为平行四边
D
E
C
质；全等三角
A
F
B
图（8）
BC，且 AD=BC，
≌△CBF，推
形
∴AD∥BC,且 AD=BC
∴∠ADE=∠BCF
又∵BE=DF, ∴BF=DE
∴△ADE≌△CBF
∴∠DAE=∠BCF
……………………………………………………2 分
………………………………………………1 分
……………………………………………………2 分
……………………………………………………2 分
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出
△ADE 和△CBF 全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．
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