2013 年四川省宜宾市中考数学真题及答案
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题
目要求的,请将正确选项填在括号内。)
1.(2013 宜宾)下列各数中,最小的数是(
)
A.2
B.﹣3
C.﹣ D.0
考点:有理数大小比较.
分析:根据正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于一切负数,两个负数绝对值大的反而小,进行比较即可.
解答:解:∵﹣3<﹣ <0<2,
∴最小的数是﹣3;
故选 B.
点评:此题考查了有理数的大小比较,要熟练掌握任意两个有理数比较大小的方法:正数都大于 0,负数都
小于 0,正数大于一切负数,两个负数绝对值大的反而小.
2.(2013 宜宾)据宜宾市旅游局公布的数据,今年“五一”小长假期间,全市实现旅游总收入 330000000
元.将 330000000 用科学记数法表示为(
)
A.3.3×108 B.3.3×109 C.3.3×107 D.0.33×1010
考点:科学记数法—表示较大的数.
专题:计算题.
分析:找出所求数字的位数,减去 1 得到 10 的指数,表示成科学记数法即可.
解答:解:330000000 用科学记数法表示为 3.3×108.
故选 A.
点评:此题考查了科学记数法﹣表示较大的数,科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,
n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
3.(2013 宜宾)下列水平放置的四个几何体中,主视图与其它三个不相同的是(
)
A.
B.
C.
D.
考点:简单几何体的三视图.
分析:分别找到四个几何体从正面看所得到的图形比较即可.
解答:解:A.主视图为长方形;
B.主视图为长方形;
C.主视图为长方形;
D.主视图为三角形.
则主视图与其它三个不相同的是 D.
故选 D.
点评:本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
4.(2013 宜宾)要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,那么需要知道他最近几次数学考试成绩的(
)
A.方差 B.众数 C.平均数 D.中位数
考点:方差;统计量的选择.
分析:根据方差的意义作出判断即可.
解答:解:要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定,只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可.
故选 A.
点评:本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均
数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数
越小,即波动越小,数据越稳定.
5.(2013 宜宾)若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(
)
A.k<1 B.k>1 C.k=1
D.k≥0
考点:根的判别式.
分析:判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac 的值的符号就可以了.
解答:解:∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根,a=1,b=2,c=k,
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×k>0,
∴k<1,
故选:A.
点评:此题主要考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不
相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
6.(2013 宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是(
A.两组对边分别平行 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
)
考点:矩形的性质;菱形的性质.
分析:根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.
解答:解:A.矩形与菱形的两组对边都分别平行,故本选项错误;
B.矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等,故本选项正确;
C.矩形与菱形的对角线都互相平分,故本选项错误;
D.矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误.
故选 B.
点评:本题考查了矩形的性质,菱形的性质,熟记两图形的性质是解题的关键.
7.(2013 宜宾)某棵果树前 x 年的总产量 y 与 x 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 x 年的年
平均产量最高,则 x 的值为(
)
A.3
B.5
C.7
D.9
考点:算术平均数.
分析:由已知中图象表示某棵果树前 x 年的总产量 y 与 n 之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原
点与该点边线的斜率,结合图象可得答案.
解答:解:若果树前 x 年的总产量 y 与 n 在图中对应 P(x,y)点则前 x 年的年平均产量即为直线 OP 的斜
率,
由图易得当 x=7 时,直线 OP 的斜率最大,
即前 7 年的年平均产量最高,x=7.
故选 C.
点评:本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义,其中正确分析出平均产量的几何意义
是解答本题的关键.
8.(2013 宜宾)对于实数 a、b,定义一种运算“⊗”为:a⊗b=a2+ab﹣2,有下列命题:①1⊗3=2;
②方程 x⊗1=0 的根为:x1=﹣2,x2=1;
④点( , )在函数 y=x⊗(﹣1)的图象上.
的解集为:﹣1<x<4;
③不等式组
其中正确的是(
)
A.①②③④ B.①③ C.①②③ D.③④
,解得﹣1<x<4,可对③进行判断;
后解方程可对②进行判断;根据新定义得
考点:二次函数图象上点的坐标特征;有理数的混合运算;解一元二次方程-因式分解法;解一元一次不等
式组;命题与定理.
专题:新定义.
分析:根据新定义得到 1⊗3=12+1×3﹣2=2,则可对①进行判断;根据新定义由 x⊗1=0 得到 x2+x﹣2=0,然
根据新定义得 y=x⊗(﹣1)=x2﹣x﹣2,然后把 x= 代入计算得到对应的函数值,则可对④进行判断.
解答:解:1⊗3=12+1×3﹣2=2,所以①正确;
∵x⊗1=0,
∵(﹣2)⊗x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2,1⊗x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4,
∵y=x⊗(﹣1)=x2﹣x﹣2,
∴x2+x﹣2=0,
∴x1=﹣2,x2=1,所以②正确;
∴当 x= 时,y= ﹣ ﹣2=﹣ ,所以④错误.
∴
,解得﹣1<x<4,所以③正确;
故选 C.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式.也考
查了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组.
二.填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分。请把答案直接填在题中横线上。)
9.(2013 宜宾)分式方程
的解为 x=1 .
考点:解分式方程.
专题:计算题.
分析:分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程的解.
解答:解:去分母得:2x+1=3x,
解得:x=1,
经检验 x=1 是分式方程的解.
a(m+2n)(m﹣2n) .
故答案为:x=1
点评:此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解
分式方程一定注意要验根.
10.(2013 宜宾)分解因式:am2﹣4an2=
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
分析:首先提取公因式 a,再利用平方差公式进行二次分解即可.
解答:解:am2﹣4an2=a(m2﹣4n2)=a(m+2n)(m﹣2n),
故答案为:a(m+2n)(m﹣2n).
点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用
其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
11.(2013 宜宾)如图,一个含有 30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,
则∠2=
115° .
考点:平行线的性质.
分析:将各顶点标上字母,根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG,从而可得出答案.
解答:解:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°.
故答案为:115°.
点评:本题考查了平行线的性质,解答本题的关键是掌握平行线的性质:两直线平行内错角相等.
12.(2013 宜宾)某企业五月份的利润是 25 万元,预计七月份的利润将达到 36 万元.设平均月增长率为 x,
根据题意所列方程是 25(1+x)2=36 .
考点:由实际问题抽象出一元二次方程.
专题:增长率问题.
分析:本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设这个增长率为 x,根据“五
月份的利润是 25 万元,预计七月份的利润将达到 36 万元”,即可得出方程.
解答:解:设这个增长率为 x,
根据题意可得:25(1+x)2=36,
故答案为:25(1+x)2=36.
点评:本题为增长率问题,一般形式为 a(1+x)2=b,a 为起始时间的有关数量,b 为终止时间的有关数量.
13.(2013 宜宾)如图,将面积为 5 的△ABC 沿 BC 方向平移至△DEF 的位置,平移的距离是边 BC 长的两倍,
那么图中的四边形 ACED 的面积为 15 .
考点:平移的性质.
分析:设点 A 到 BC 的距离为 h,根据平移的性质用 BC 表示出 AD、CE,然后根据三角形的面积公式与梯形
的面积公式列式进行计算即可得解.
解答:解:设点 A 到 BC 的距离为 h,则 S△ABC= BC•h=5,
∵平移的距离是 BC 的长的 2 倍,
∴AD=2BC,CE=BC,
∴四边形 ACED 的面积= (AD+CE)•h= (2BC+BC)•h=3× BC•h=3×5=15.
故答案为:15.
点评:本题考查了平移的性质,三角形的面积,主要用了对应点间的距离等于平移的距离的性质.
14.(2013 宜宾)如图,△ABC 是正三角形,曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中弧 CD、弧 DE、弧 EF
的圆心依次是 A、B、C,如果 AB=1,那么曲线 CDEF 的长是 4π .
考点:弧长的计算;等边三角形的性质.
分析:弧 CD,弧 DE,弧 EF 的圆心角都是 120 度,半径分别是 1,2,3,利用弧长的计算公式可以求得三条
弧长,三条弧的和就是所求曲线的长.
解答:解:弧 CD 的长是
= ,
弧 DE 的长是:
= ,
弧 EF 的长是:
=2π,
则曲线 CDEF 的长是: +
+2π=4π.
故答案是:4π.
点评:本题考查了弧长的计算公式,理解弧 CD,弧 DE,弧 EF 的圆心角都是 120 度,半径分别是 1,2,3
是解题的关键.
15.(2013 宜宾)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD 为 AC 的中线,过点 C 作 CE⊥BD 于点 E,过点 A 作 BD
的平行线,交 CE 的延长线于点 F,在 AF 的延长线上截取 FG=BD,连接 BG、DF.若 AG=13,CF=6,则四边形
BDFG 的周长为 20 .
考点:菱形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
分析:首先可判断四边形 BGFD 是平行四边形,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得 BD=FD,则可
判断四边形 BGFD 是菱形,设 GF=x,则 AF=13﹣x,AC=2x,在 Rt△ACF 中利用勾股定理可求出 x 的值.
解答:解:∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形 BGFD 是平行四边形,
∵CF⊥BD,
∴CF⊥AG,
又∵点 D 是 AC 中点,
∴BD=DF= AC,
∴四边形 BGFD 是菱形,
设 GF=x,则 AF=13﹣x,AC=2x,
在 Rt△ACF 中,AF2+CF2=AC2,即(13﹣x)2+62=(2x)2,
解得:x=5,
故四边形 BDFG 的周长=4GF=20.
故答案为:20.
点评:本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质,解答本题的关键是判断
出四边形 BGFD 是菱形.
16.(2013 宜宾)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 G,点 F 是 CD 上一点,且满足 = ,连接 AF 并
延长交⊙O 于点 E,连接 AD、DE,若 CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E= ;
④S△DEF=4 .
其中正确的是 ①②④ (写出所有正确结论的序号).
考点:相似三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理.
分析:①由 AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,根据垂径定理可得: = ,DG=CG,继而证得△ADF∽△AED;
②由 = ,CF=2,可求得 DF 的长,继而求得 CG=DG=4,则可求得 FG=2;
③由勾股定理可求得 AG 的长,即可求得 tan∠ADF 的值,继而求得 tan∠E= ;
④首先求得△ADF 的面积,由相似三角形面积的比等于相似比,即可求得△ADE 的面积,继而求得 S△DEF=4 .
解答:解:①∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,
∴ = ,DG=CG,
∴∠ADF=∠AED,
∵∠FAD=∠DAE(公共角),
∴△ADF∽△AED;
故①正确;
②∵ = ,CF=2,
∴FD=6,
∴CD=DF+CF=8,
∴CG=DG=4,
∴FG=CG﹣CF=2;
故②正确;
③∵AF=3,FG=2,
∴AG=
= ,
∴在 Rt△AGD 中,tan∠ADG=
= ,
∴tan∠E= ;
故③错误;
④∵DF=DG+FG=6,AD=
=
,
∴S△ADF= DF•AG= ×6× =3 ,
∵△ADF∽△AED,
∴
=( )2,
∴
= ,
∴S△AED=7 ,
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ;
故④正确.
故答案为:①②④.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识.此
题综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
三.解答题(本大题共 8 小题,满分 72 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.(2013 宜宾)(1)计算:|﹣2|+ ﹣4sin45°﹣1﹣2
(2)化简:
.
考点:分式的混合运算;实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
专题:计算题.
分析:(1)本题涉及绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识,直接根据定
义或性质解答即可;
(2)将括号内的部分通分,将分子、分母因式分解,然后将除法转化为乘法解答即可.
解答:解:(1)原式=2+2 ﹣4× ﹣1
=2+2 ﹣2 ﹣1
=1;
(2)原式=
÷( ﹣ )
=
=
=
.
÷
•
点评:(1)本题考查了实数的运算,熟悉绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂
等知识是解题的关键;
(2)本题考查了分式的混合运算,熟悉通分、约分和因式分解是解题的关键.
18.(2013 宜宾)如图:已知 D、E 分别在 AB、AC 上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BE=CD.
考点:全等三角形的判定与性质.
专题:证明题.
分析:要证明 BE=CD,把 BE 与 CD 分别放在两三角形中,证明两三角形全等即可得到,而证明两三角形全等
需要三个条件,题中已知一对边和一对角对应相等,观察图形可得出一对公共角,进而利用 AAS 可得出三
角形 ABE 与三角形 ACD 全等,利用全等三角形的对应边相等可得证.
解答:证明:在△ABE 和△ACD 中,
,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴BE=CD(全等三角形的对应边相等).