2012年福建高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2012 年福建高考文科数学试题及答案第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 复数 i 等于（） 2) 2( i43  A． B． i45  C． i23  D． i25  2. 已知集合 }4,3,2,1{M ， }2,2{M ，下列结论成立的是（） A． MN  B． MNM  C． NNM  D． }2{NM  3. 已知向量  a 1x 2 A．  (  x )2,1 ，  b )1,2( ，则  a   b 的充要条件是（） B． 1x C． 5x D． 0x 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 5. 已知双曲线 2 2 x a 2  y 5  1 的右焦点为 )0,3( ，则该双曲线的离心率等于（） A． 3 14 14 B． 3 2 4 C． 3 2 D． 4 3 6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 s 值等于（） C．0 D． 2 A． 3 7. 直线 x  3 y B． 10 2 0  与圆 2 x 2  y  4 相交于 BA, 两点，则弦 AB 的长度等于（） C． 3 D．1 A． 2 5 8. 函数 )( xf  A． x  4 sin( x B． 2 3  ) 4 x  B．  2 的图像的一条对称轴是（） C． x  4 D． x  2 9. 设 )( xf  ,1 x   ,0 x   ,1     x 0 0  0 ， )( xg  ,1   ,0  x 为有理数 x 为无理数，则 )) (( gf 值为（） A．1 B．0 C． 1 D．

10. 若直线 y 2 上存在点 x ,( yx 满足约束条件 ) A． 1 B．1 C． 3 2 ，则实数 m 的最大值为（） y x 2 x y mx 03  03         D．2 11. 数列 }{ na 的通项公式 an  n A．1006 B．2012 cos n 2 C．503 D．0 ，其前 n 项和为 nS ，则 2012S 等于（） 12. 已知 )( xf  3 x  2 6 x  9 x  abc , a  b c ，且 )( af  )( bf  )( cf  0 ，现给出如下结论： ① f )0( f )1(  0 ；② f )0( f )1(  0 ；③ f )0( f )3(  0 ；④ f )0( f )3(  0 。其中正确结论的序号是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 13. 在 ABC 中，已知 BAC 060 ， ABC 045 ， 3BC ，则 AC _______。 14. 一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。 15. 已知关于 x 的不等式 2 x  ax  2 a  0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_________。 16. 某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图 1，则最优设计方案如图 2，此时铺设道路的最小总费用为 10。现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为____________。

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 12 分）在等差数列 }{ na 和等比数列 }{ nb 中， a 1  b 1  ,1 4 b  8 ， }{ na 的前 10 项和 10 S 55 。（Ⅰ）求 na 和 nb ；（Ⅱ）现分别从 }{ na 和 }{ nb 的前 3 项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。 18. （本小题满分 12 分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（I）求回归直线方程  y  bx  a ，其中 b  ,20 a   xby  （II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是 4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入—成本） 19. （本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD  DCBA 1 1 1 1 中， AB  AD  ,1 AA 1  2 ， M 为棱 1DD 上的一点。（I）求三棱锥 A  1MCC 的体积；（II）当 MA 1  MC 取得最小值时，求证： MB1 平面 MAC 。

20. （本小题满分 13 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1） 2 sin 0 13  2 cos 0 17  sin 13 0 cos 17 0 ；（2） 2 sin 0 15  2 cos 0 15  sin 15 0 cos 15 0 ；（3） 2 sin 0 18  2 cos 0 12  sin 18 0 cos 12 0 ；（4） 2 sin (  0 )13  2 cos 0 48  sin(  )18 0 cos 48 0 ；（5） 2 sin (  0 )25  2 cos 0 55  sin(  )25 0 cos 55 0 。（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 21. （本小题满分 12 分）如图，等边三角形OAB 的边长为8 3 ，且其三个顶点均在抛物线（I）求抛物线 E 的方程；（II）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 1y xE : 2  2 ( ppy  )0 上。相交于点Q 。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。 22. （本小题满分 14 分）已知函数 ( ) f x  x  ax sin 3 2 )(xf 的解析式；（I）求函数 ( a R  且在 ), ,0[  ] 2 上的最大值为 3  2 。（II）判断函数 )(xf 在 ,0(  内的零点个数，并加以证明。 )

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）参考答案 2 D 3 D 4 D 5 C ６ 7 A B 8 C 9 B 10 B 11 A 12 C 14.12 15.(0,8) 16.16 一．选择题题号 1 答案 A 二．填空题 13. 2 三．解答题 17.本小题主要考查等差数列、等比数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、必然与或然思想。满分 12 分。解：（I）设 na 的公差为 d ， nb 的公比为 q 。依题意得 9 d  55 ， b 4 3  q  8 ， S 10  10 解得 d  10  2 ,1   q ,2 所以 a n  , bn n  12 n  （II）分别从 na 和 nb 的前 3 项中各随机抽取一项，得到的基本事件有 9 个：  4,3,2,3,1,3,4,2,2,2,1,2,4,1,2,1,1,1                 符合题意的基本事件有 2 个： 2,2,1,1   故所求的概率 2P 9 18.本小题主要考查回归分析、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、特殊与一般思想。满分 12 分。解：（I）由于 y  所以 x 1 6 a ( 1 6   ( y 1 x 1  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6 5.8)  ， y 2  y 3  y 4  y 5  y 6 )  .80  xby  80  20  5.8  250 ，从而回归直线方程为 ˆ y  20 x  250 。（II）设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 ) 250 20  x 20 ( xL   2 20 x   250 x  (4)  1000  (20 x  2  361 25. x  330 33 4 ) 25.8x 当且仅当故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润。时，L 取得最大值。 19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系和几何体的体积等基础知识。

解：在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， A AD （）   CDD C 的距离等于AD=1， 1 1 又S  MCC 1   V A MCC  1  ,  点到平面 1 2 1 1.     2 1 .  3 1  CDD C 1 1 CC CD 平面 1 2 1 3 CDD C DD 1 S MCC  1 AD  ) (  当A ，M,C 共线时，A M+MC取得最小值. 将侧面 ' 90° 1 绕逆时针转展开，与侧面ADD A 共面 1 1 1 1 1 1 1 , C M 1 2,    连接 CC 1 又B C 1 1 由AD=CD=1,AA =2，得M为DD 中点. 2, MC  2 ° 平面B C M，得CM MC C MC   在 1 1 2 2 CC MC MC  ，得 CMC =90 ，即CM 1 C M C    ， 1 1  AM,  中，  1 CM 同理可证，B M = ,M B M AM MC  平面 MAC B M; 1 又    1 1 2 1 1 1  MC ， 1 20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理证明能力，考查特殊与一般思想、化归与转化思想。满分 13 分。解法一：（I）选择（2）式，计算如下： 2 sin  15  2 cos  15  sin 15  cos 15  （II）三角恒等式为 2 sin   cos 2 （ sin 11  2   ） 30 -   30 sin  11  4 cos 30 （  3 4 -   ） 3 4 证明如下： 2 sin   cos 2 （ 30  -   ） sin  cos （ 30  -  ） = 2 sin   （ cos 30  cos   sin  30 sin  2 ）  sin  （ cos 30  cos   sin  30 sin  ） = 2 sin   3 4 cos 2   sin   cos 1 4 2 sin   3 2 sin   cos 1 2 sin 2  3 2 3 4 2  = = 3 4 2 sin   3 4 cos 解法二：（I）同解法一。（II）三角恒等式为 2 sin   cos 2 （ 30  -   ） sin 证明如下： 2 sin   cos 2 （ 30  -   ） sin  cos （ 30  -  ）  cos （ 30  -   ） 3 4 -1 =  2cos 2  -1 cos 60( 2   )2   sin  (cos 30  cos   sin  30 sin ) 

1 2 1- 2 2cos   1 2 1 2 (cos  60 cos 2   sin  60 )2sin   3 2 sin   cos 1 2 sin 2  2cos   cos 2   3 4 2sin   3 4 2sin   1 （ 4 -1 2cos  ） 1 2 1 4 1 4 1 4 2cos   cos 2   3 4 = = = 1 1- 2 2 1-1 4 21.本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．满分 12 分解法一：（1）依题意 | | OB = 38 ， Boy 。30 设 B（x,y），则 x= | OB sin30。= | 34 ，y= | OB cos30。=12 | 因为点 B（ 34 ，12）在 x2=2py 上，所以 234 ）（ =2p*12，所以 p=2 所以抛物线 E 的方程为 x 2  (2)由（1）知 y  2 1 x 4 ,y’= x. 4 y 1 2 设 P（x0,y0）,则 x0  0，并且 l 的方程为 x=y-y 0 0 (x )x- 0 ，即 y  由     y y xx 0  1 2 1   1 4 x 2 0 ，得      x y  x 2 0 2 1  4  x 0 1 2 xx 0  1 4 x 0 所以 ( xQ  x 2 0 2 4 )1,   x 0   MP MQ 1 4 4 设 1yM ,0( ) ,令 =0 对满足 y  2 ( x x 0 0  的 0x ， 0y 恒成立。 0) 由于 MP  ( x 0, y 0  y ）1 ， MQ  （ x 2  0 ， 2 x 0 )y-1- 1 由于 MP  MQ  O ,得 4 x 2 0 2  x 0  y 0  yy 0 1  y 1  2 y 1  0 即（ (y 2 1  y 1  )2  )y1( 1 y 0  0 （*）由于（*）对满足 y 0  1 4 x 2 0 ( x 0  )0 的 0y 恒成立，所以 1    2 y  1 y 1   y 1 0  2 0 解得 1 y 1 故以 PQ 为直径的预案横过 y 轴上的定点 M（0，1）

解法二（1）同解法一（2）由（1）知 y  1 2 xx 0  1 4 x 2 0 y  2 1 x 4 ,y’= 1 2 x，设 P（x0,y0），则 0 x 0 ，且 l 的直线方程为 y  y 0  1 2 ( xx 0  x 0 ) ，即由     y y xx 0  1 2 1   1 4 x 2 0 得，      x y  x 2 0 2 1  4  x 0 ，所以 ( xQ  4 x 2 0 2  x 0 )1,  取 0x =2，此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为 ( 1 2  ）x y  2 ，-1），以 PQ 为直径的圆为 3 ( 2  x  2 1 4 ，交 y 轴于点 1M （0,1）或 2M （0，-1）； 2 )  ( y  3 8 2 )  125 64 ，交 y 轴于 3M （0,1） 1 4 ），Q（取 0x =1，此时 P（1， 7 ） 4 或， 4M （0，故若满足条件得点 M 存在，只能是 M （0,1）。以下证明点 M （0,1）就是所要求的点。 4 x MP  ( x 0 , y 0  ）1 ， MQ  （因为 2  0 ， 2 x 0 )2- MP  MQ  4 x 2 0 2  x 0 2- y 0  2 2 y  22 y 0 0  2 0 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M 22.本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分 14 分解：（1）由已知得 '(x)=a(sinx+xcosx) f ，对于任意 (0,  x 当 a =0 f时，  2 (x)=- + ) > ，有sinx cosx 0 3 2 ，不符合题意； ' f f (0, (0, (x) ) 时， (x)<0, 从而在  2 (x) f  2 ] 上的图像是连续不断的，故在  2  (0, 2  ] 上的图像是连续不断的，故在 2 从而在  2 f (x)>0, ) 时， (x) (x) (0, f f ' 当 a <0, x  又在 (x) f [0, 当 a >0, x  (x) 又在 [0, f 解得 =1a ，综上所述，得 f (x)=xsinx- 3 2 ) 内单调递减， ) 内单调递增， [0,  2 ] 上的最大值为 f (0)=- 3 2 不合题意； [0,  2 ] 上的最大值为 f (  2 ) 即  2 a 3 - = 2 -3  2 ,

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