2012年福建高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2012 年福建高考理科数学试题及答案第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若复数 z 满足 A． i1 2. 等差数列 }{ na 中，  1 ，则 z 等于（） i zi B． i1  i1 C． ,10 4 7 a a 1   a 5 D． i1 ，则数列 }{ na 的公差为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列命题中，真命题是（） A． x  0 xeR , 0  0 B．  Rx 2, x  2 x C． 0 ba 的充要条件是 a b 1 D． a  b ,1  1 是 1ab 的充分条件 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（） A． lg( 2 x  C． 2 x  1 ) 1 4 |2  lg ( xx  )0 x (| Rx  ) B． D． 1 sin (1   (2 x  , k  k  Z ) x Rx  ) sin x 1  x 2  1 6. 如图所示，在边长为 1 的正方形OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（） A． 1 4 B． 1 6 C． 1 5 ,1 x  为有理数  ,0 x  为无理数 D． 1 7 7. 设函数 )( xD  ，则下列结论错误的是（） A． )(xD 的值域为 }1,0{ B． )(xD 是偶函数 C． )(xD 不是周期函数 D． )(xD 不是单调函数 8. 双曲线 2 x 4  2 2 y b  的右焦点与抛物线 1 y 2  12 x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（） A． 5 B． 24 C．3 D．5

9. 若直线 y x 2 上存在点 ,( yx 满足约束条件 ) y x 2 x y mx 03  03         ，则实数 m 的最大值为（） A． 10. 函数 1 2 )(xf 在 B．1 C． D．2 3 2 ],[ ba 上有定义，若对任意 1 2 )(xf 在[1,3]上具有性质 P ，现给出如下命题： xf ( ],[ ba , xx 1  2 ，有 )   2 x 2 1 ],[ ba 上具有性质 P 。设 [ ( xf 1 )  ( xf 2 )] ，则称 )(xf 在 ① )(xf 在 ]3,1[ 上的图像时连续不断的； ② ( 2xf ) 在 ]3,1[ 上具有性质 P ； ③若 )(xf 在 2x 处取得最大值 1，则 1)( xf ， ]3,1[x ； ④对任意 , xx 1 2 , xx 3 , 4 ]3,1[ ，有 xf ( 1  x 2 x 3  x 4 )   2 1 4 [ ( xf 1 )  ( xf 2 )  ( xf 3 )  ( xf 4 )] 。其中真命题的序号是（ A．①② B．①③ ） C．②④ D．③④ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。第Ⅱ卷（非选择题共 100 分） 11. ( a  的展开式中 3x 的系数等于 8，则实数 a 4) x _________。 12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的 s 值等于_____________________。 13. 已知 ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。

14. 数列 }{ na 的通项公式 an  n cos n 2  1 ，前 n 项和为 nS ，则 2012S  ___________。 15. 对于实数 ba, ，定义运算“ ”： ba  2 2    a b   , aab , aab   b b ，设 )( xf  2( x )1  ( x  )1 ，且关于 x 的方程为 )( xf  Rmm  ( ) 恰有三个互不相等的实数根 , xxx 1 , 2 ，则 3 xxx 21 3 的取值范围是_______________。三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分 13 分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 2X ，分别求 1X ， 2X 的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。 17. （本小题满分 13 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1） 2 sin 0 13  2 cos 0 17  sin 13 0 cos 17 0 ；（2） 2 sin 0 15  2 cos 0 15  sin 15 0 cos 15 0 ；（3） 2 sin 0 18  2 cos 0 12  sin 18 0 cos 12 0 ；（4） 2 sin (  0 )13  2 cos 0 48  sin(  )18 0 cos 48 0 ；（5） 2 sin (  0 )25  2 cos 0 55  sin(  )25 0 cos 55 0 。（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

18. （本小题满分 13 分）如图，在长方体 ABCD  DCBA 1 1 1 1 中， AA 1  AD  1 ， E 为CD 中点。（Ⅰ）求证： EB  1 AD 1 ；（Ⅱ）在棱 1AA 上是否存在一点 P ，使得 //DP 平面 AEB1 ？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由。（Ⅲ）若二面角 AABA 1   1 的大小为 030 ，求 AB 的长。 19. （本小题满分 13 分）如图，椭圆 xE : a 2 2  2 2 y b  (1 a  b )0 的左焦点为 1F ，右焦点为 2F ，离心率 1e 2 。过 1F 的直线交椭的周长为 8。 2ABF  圆于 BA, 两点，且（Ⅰ）求椭圆 E 的方程。 kx （Ⅱ）设动直线 : yl  m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 4x 相较于点Q 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 M ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由。

20. （本小题满分 14 分）已知函数 )( xf  x e  2 ax  Raex  , （Ⅰ）若曲线 y  )(xf 在点 ,1( f ))1( 处的切线平行于 x 轴，求函数 )(xf 的单调区间；（Ⅱ）试确定 a 的取值范围，使得曲线 y  )(xf 上存在唯一的点 P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P 。 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换设曲线 2 2 x  2 xy  2 y  1 在矩阵 A  a b    0 1    ( a  )1 （Ⅰ）求实数 ba, 的值。（Ⅱ）求 2A 的逆矩阵。对应的变换作用下得到的曲线为 2 x 2  y  1 。（2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点 NM , 的极坐标分别为   （Ⅰ）设 P 为线段 MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。 32(),0,2( 3 ，圆C 的参数方程  ) 2    , x y 22 3 cos   sin2 为参数）。 (   （3）（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 )( xf  xm |  |,2 Rm  ，且 ( xf )2  0 的解集为 ]1,1[ 。（Ⅰ）求 m 的值； , Rcba , （Ⅱ）若，且 1 a  1 2 b  1 3 c  m ，求证： a  2 b  3 c  9

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