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2022-2023学年辽宁省高三上学期期末数学试题及答案.doc
2022-2023 学年辽宁省高三上学期期末数学试题及答案
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟，
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡
上对应题目的答案称号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题
的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效
．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．，草稿纸上作答无效
．．．．．．．．．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知复数
z
1 i 2 i
（i 是虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数 z ，即可得到其共轭复数 z ，再根据复数的
几何意义判断即可.
【详解】解：
z
1 i 2 i
，
2 i 2i
3 i
i
2
所以 3 i
z ，则 z 在复平面内对应的点为
3, 1 ，位于第四象限.
故选：D
2. 已知集合
A
|
y y
cos
,
x x
0
, π ,
B
|
x x
B. (0,1)
A.
1,
1,0
【答案】B
【解析】
，则 A B 等于（
2
x
0,1
C.
）
D.
【分析】先求出集合 ,A B ，然后利用交集的定义即可求解.
【详解】集合
A
{ |
y
y
cos ,
x x
[0 π
,
}
]
{ | 1
y
y
}
1
，
B
{ |
x x
2
} { | 0
x
x
，由交集的定义可得：
1}
x
A B
(0,1)
.
故选： B .
3. 已知四棱台的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形，侧面均为腰长为 4 的等腰梯形，
则该四棱台的表面积为（
）
A. 10 6 15
C. 20 12 15
【答案】C
【解析】
B. 34
D. 68
【分析】计算出四棱台侧面的高，再利用梯形和正方形的面积公式可求得该四棱台的表面积.
【详解】设在正四棱台
ABCD A BC D
1
1 1 1
中，取侧面 1 1
AA B B ，
则
AB ， 1 1
A B ， 1
AA
2
4
BB
1
，如下图所示：
4
分别过点 A 、 B 在侧面 1 1
AA B B 内作
AE
A B
1 1
，
BF
A B
1 1
，垂足分别为 E 、 F ，
AA
因为 1
BB ，
1
AA E
1
BB F
1
，
AEA
1
BFB
1
90
，
所以，
Rt
△ ≌ △
AEA
1
Rt
BFB
1
， 1
A E B F
1
，
因为 //AB EF ， AE
所以，
A E B F
1
1
EF ， BF EF
A B EF
1 1
2
因此，该四棱台的表面积为
故选：C.
，故四边形 ABFE 为矩形，故
EF AB
，
2
，
1
AE
2
AA
1
2
A E
1
15
，
14
2
2 4
15 2
2
2
4
12 15 20
.
4. 若
3sin
2sin
2cos
cos
8
3
，则
tan
π
4
（
）
B.
3
C.
3
4
D.
3
4
A. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出 tan，再由两角和的正切公式
计算可得.
【详解】解：因为
3sin
2sin
2cos
cos
8
3
，所以
3tan
2tan
2
1
8
3
，解得 tan
2 ，
所以
tan
π
4
tan
tan
1 tan tan
π
4
π
4
2 1
1 2 1
3
.
故选：B
5. 已知抛物线
C y
:
2
12
x
的焦点为 F，准线为 l，点 P为 C上一点，过 P作 l的垂线，垂
足为 A，若 AF的倾斜角为 150°，则 PF （
）
B. 5
C. 4
D. 3
A. 6
【答案】C
【解析】
【分析】画出图形，得到
AFK
30
，从而求出
Py =
2 3
，进而求出
Px ，利用焦半
1
径公式求出 PF .
【详解】由题意得：
F
3,0
，准线方程为
x ，设准线与 x 轴交于点 K，
,P
P x
3
y ，
P
故
KF ，
6
因为 AF的倾斜角为 150°，所以
AFK
30
，
故
PK
KF
tan 30
2 3
，即
Py =
2 3
，
故12 12 Px
，解得：
Px ，所以
1
PF
AP
3
x
P
4
.
故选：C
6. 已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有
2
3
的概率解答
正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学
解答不正确的概率是（
）
A.
13
20
【答案】C
【解析】
B.
9
20
C.
1
5
D.
1
20
【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件 A，“小陆同学解答不正确”为事件 B，
则在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率为
P B A ，由条件
概率计算公式可得答案.
【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件 A，“小陆同学解答不正确”为事件 B，
则
P A
C
2
3
2
2
3
，则
P B A
P AB
P A
1
4
27
20
27
2
3
3
2
3
20
27
，
P AB
1
3
2
2
3
4
27
1
.
5
故选：C
7. 在 等 比 数 列 na
中
0
a
1
a
8
1
． 则 能 使 不 等 式
a
1
1
a
1
a
2
1
a
2
a
n
1
a
n
0
成立的正整数 n 的最大值为（
）
B. 14
C. 15
D. 16
A. 13
【答案】C
【解析】
【分析】首先可得 1
q ，即可得到 8n 时，
a
n
1
a
n
， 8n 时，
0
a
n
1
a
n
，再根
0
据下标和性质得到
a
1
，
1
a
1
5
a
2
a
，L ， 7
1
a
1
4
，即可得到
1
a
9
a
1
1
a
1
a
2
1
a
2
a
1
5
1
a
15
0
，从而得解.
【详解】解：因为
0
a
1
a
8
1
，所以公比
7
q
a
8
a
1
8n 时，
a
n
1
a
n
， 8n 时，
0
a
n
1
a
n
，
0
，则 1
q ，
1
又 2
a
8
a a
1 15
a a
2 14
a a
7 9
，所以
a
1
，
1
a
1
5
a
2
a
，L ， 7
1
a
1
4
，
1
a
9
a
则 1
1
a
1
a
2
1
a
2
a
1
5
1
a
15
0
，
又当 8n 时，
a
n
1
a
n
，
0
a
所以能使不等式 1
1
a
1
a
2
1
a
2
a
n
1
a
n
0
成立的最大正整数 n 是15 ．
故选：C．
8. 已知函数
f x
x
e ,0
2
x
2,
x
x
1
1
，若函数
g x
f x
在区间
a
0, 上有两个零点
x
2
x
1
f x
1
的取值范围是（
）
B.
D.
3 ,e
2
2
3 e,
2 2
,x x
1
2
x
1
x ，则
2
A.
C.
e ,e
2
2
e e,
2 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数
g x
f x
在区间
a
0, 上有两个零点
,x x
1
2
x
1
x ，可以求得
2
a 的取值范围，以及 1
,x x 的值，代入
2
x
2
x
1
f x
1
构造新的函数，求导讨论函数的单调
性，即可求得新构造函数的值域.
【详解】因为函数
g x
f x
在区间
a
0, 上有两个零点，即
f x
a 在区间
0, 上有两个交点，如图所示：
则 a 的取值范围是1
2
2
a
,
22
x
x
2
,x x
1
2
x
1
x ，所以令 1ex
2
x
a ，则 1
ln
a
，
e
a ，又两个零点为
2
1(
f x
ln
e a
，
a
，
a
)
则令
( )
h a
x
2
x
1
f x
1
(
2
a
2
ln )
a
a
2
a
2
a a
ln
a
，
'( )
h a
a
ln
a
， ''
( )
h a
a
1
a
， ''( ) 0,
a
h a
，因为 a 的取值范围是1
1
a ，
e
所以 '( )
h a
a
ln
a
在1
a 的范围内单调递增， '
( )
h a
e
'
h
min
(1) 1 ln1 1 0
，
所以 '( )
h a
a
ln
a
在
0
1,e 恒成立，即
( )
h a
a a
ln
a
在
1,e 上单调递增，
2
a
2
又
h
(1)
3
2
, (e)
h
，则
2
e
2
x
2
x
1
f x
1
的取值范围是
2
3 e,
2 2
.
故选：D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
a
ln
b
，则（
）
9. 已知
ln
1
A. 1
a
b
C.
2
a
2
b
【答案】ABD
【解析】
B.
ab b
2
0
D.
a
2
b
1
2
【分析】依题意可得
【详解】解：因为
ln
0
a b
，即可判断 A、B、C，再根据指数函数的性质判断 D.
，则 0b
a b
，所以
，
a
a
ln
b
0
所以
1
a
，故 A 正确；
0
1
b
则
a b ，所以
0
ab b
2
b a b
，故 B 正确；
0
因为
a b
，所以
0
a
b
，则 2
a
0
2
b ，故 C 错误；
由
a b
，则
0
a
b ，所以
0
a
2
b
b
1
2
，故 D 正确；
故选：ABD
10. 已知函数
f x
1
2
sin
x
3 cos
2
x
2
，则（
3
2
）
A.
f x 的图象向右平移
5π
6
个单位长度后得到函数
y
cos
x
的图象
B.
f x 的图象与
g x
sin
x
2π
3
的图象关于 y轴对称
C.
f x 的单调递减区间为
2 π
k
π
6
,2 π
k
7π
6
k
Z
D.
f x 在
0,a 上有 3 个零点，则实数 a的取值范围是
8π 11π
3
3
,
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角恒等变换求出
f x
sin
x
π
3
，根据三角函数的图象性质即可求解.
【详解】
f x
1
2
sin
x
3 cos
2
x
2
3
2
1
2
sin
x
3
1 cos
x
2
3
2
1
2
sin
x
3
2
cos
x
，
所以
f x
sin
x
π
3
，
对于 A，
f x 的图象向右平移
5π
6
个单位长度后得到函数
y
sin
x
5π
6
π
3
，
即
y
sin
x
π
2
cos
x
，A 正确；
对于 B，
f
x
sin
x
π
3
sin π
x
π
3
sin
x
2π
3
( )
g x
，B 正确；
3π
2
，
Z
对于 C，由
解得
π
6
2 π,
k k
Z
π
2
2 π
k
2 π
k
x
π
3
2 π,
k k
x
7π
6
所以函数的单调递减区间为
2 π
k
π
6
,2 π
k
7π
6
k
Z
，C 正确；
因为
,
0
a
x
,
所以
x
π
3
π π
3 3
,
a
,
f x 在
因为
8π
3
a
解得
0,a 上有 3 个零点，所以
11π
3
，D 错误，
3π
，
4π
a
π
3
故选:ABC.
11. 已知点 M 在直线
:
l y
4
k x
3
上，点 N 在圆
:
O x
2
2
y
上，则下列说法正确
9
的是（
）
A. 点 N 到l 的最大距离为8
B. 若l 被圆O 所截得的弦长最大，则
k
C. 若l 为圆O 的切线，则 k 的取值范围为
4
3
70,
24
D. 若点 M 也在圆O 上，则O 到l 的距离的最大值为 3
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出圆心O 到直线l 距离的最大值，可求得 N 到l 的最大距离，可判断 A 选项的正
误；将圆心的坐标代入直线l 的方程，求出 k 的值，可判断 B 选项的正误；利用圆心到直线
的距离等于半径，结合点到直线的距离公式求出 k 的值，可判断 C 选项的正误；分析可知当
直线l 与圆O 相切，求出O 到l 的距离的最大值，可判断 D 选项的正误.
【详解】对于 A 选项，由题意可知，直线l 过定点
P
3,4
，
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