5-4-5.完全平方数及应用（二） 教学目标 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2a ，则 p 能被 a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数  自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 1 | N ，则 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 2 np 2 |np N ． 性质4：完全平方数的个位是6  它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 2 a  2 b  例题精讲 ( a b a b  )(  ) 5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库 学生版 page 1 of 4 

模块一、平方差公式运用 【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数 45045？ 【例 2】 一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？ 【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？ 【巩固】 【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？ 【巩固】 【巩固】一个正整数加上 132 和 231 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？ 【巩固】 【例 3】 两个完全平方数的差为 77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 【例 4】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为 80，第二大的数减去最小的 数的差为 60，求这三个数． 【例 5】 有两个两位数，它们的差是 14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数) 相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) 5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库 学生版 page 2 of 4 

【例 6】 A 是一个两位数，它的 6 倍是一个三位数 B，如果把 B 放在 A 的左边或者右边得到两个不同的五 位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么 A 的所有可能取值之和 为 ． 【例 7】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小 于 7．如果把组成它的数字都加上 3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 模块二、完全平方数与其他知识点的综合运用 【例 8】 如果△+△= a ，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，a+b+c+d=100，那么，△=___________. 【例 9】 已知 ABCA 是一个四位数，若两位数 AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一 个不为 1 的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________． 【例 10】称能表示成1 2 3    平方数．则 N   的形式的自然数为三角数．有一个四位数 N ，它既是三角数，又是完全 k ． 5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库 学生版 page 3 of 4 

【例 11】 自然数的平方按大小排成 1，4，9，16，25，36，49，…，问：第 612 个位置的数字是几？ 【巩固】不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第 l6 个 【巩固】 数字是_________ 【例 12】由 2 26 1  2  ，可以断定 26 最多能表示为 3 个互不相等的非零自然数的平方和，请你 4  5 2  2 1  2 3 判定 200 最多能表示为__________个互不相等的非零自然数的平方之和． 【例 13】有 4 个不同的数字共可组成 18 个不同的 4 位数．将这 18 个不同的 4 位数由小到大排成一排，其中 ． 第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这 18 个数的平均数是： 5-4-5.完全平方数及应用（二）.题库 学生版 page 4 of 4