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2021-2022年山东省潍坊市高一数学上学期期中试卷及答案.doc
2021-2022 年山东省潍坊市高一数学上学期期中试卷及答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 R，集合 A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（
）
A．1∈A
B．∅ ⊆A
C．∁ RA＝{x|0＜x＜2}
D．A∩∅ ＝A
2．已知 a＞b＞0，则（
）
A．a2＜ab
B．a+b＜2b
C． ＞1
D．
3．下列各组函数中，是同一函数的是（
）
A．y＝x2 与 y＝x
B．y＝
与 y＝（ ）2
C．y＝
与 y＝x+1
D．y＝
与 y＝x
4．命题“∀x∈R，使得 n≥x2，n∈N*”的否定形式是（
）
A．∀x∈R，使得 n＜x2，n∈N*
C．∃x∈R，使得 n＜x2，n∈N*
B．∀x∈R，使得 n≠x2，n∈N*
D．∃x∈R，使得 n≥x2，n∈N*
5．设 b＞0，二次函数 y＝ax2+bx+a2﹣1 的图象为下列之一，则 a 的值为（
）
A．1
B．﹣1
C．
D．
6．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，若 f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则
下列关系式中一定成立的是（
A．f（﹣1）＜f（﹣2）
C．f（1）＞f（﹣2）
）
B．f（﹣1）＜f（2）
D．f（0）＝0
7．如图，电路中电源的电动势为 E，内阻为 r，R1 为固定电阻，R2 是一个滑动变阻器，已知
R2 消耗的电功率为 P＝（
）2R2，当 R2 消耗的电功率 P 最大时，r，R1，R2 之间的
关系是（
）
A．r+R2＝R1
B．r+R1＝R2
C． ＝R2
D．R1+R2＝r
8．函数 y＝f（x）的图像关于点 P（a，b）成中心对称的充要条件是函数 y＝f（x+a）﹣b
为奇函数，则下列说法正确的是（
）
A．f（x）＝2x+1 关于（ ，0）中心对称
B．f（x）＝x3﹣3x2 关于（1，2）中心对称
C．函数 y＝f（x）的图像关于 x＝a 成轴对称的充要条件是 y＝f（x+a）为偶函数
D．f（x）＝x2﹣2x+5，则 f（x﹣1）为偶函数
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
9．若 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，则（
）
A．a2+b2
B．
C． ≥4
D．
≥4
10．已知关于 x 的方程 x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（
）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 m＜0
B．方程有两个正根的充要条件是 0＜m≤1
C．方程无实数根的充要条件是 m＞1
D．当 m＝3 时，方程的两个实数根之和为 0
11．已知函数 f（x）＝
，下列结论中正确的是（
）
A．f（x）的图像关于 y 轴对称
B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）
C．f（x）的值域为 R
D．当 x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值
12．用 C（A）表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合 A＝
{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若 A*B＝1，则实数 a 的取值可能是
（
A．
C．1
）
B．0
D．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知集合 M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若 M＝N，则实数 m＝
．
14．已知 f（x）＝
，则 f（3）的值为
．
15．已知函数 f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+ ．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g
（x）”的一个必要不充分条件为
.（注：写出一个满足条件的即可）
16 ． 设 函 数
定 义 在 R 上 的 增 函 数 ， 则 实 数 a 取 值 范 围
为
．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）已知 x +x ＝3，求
的值；
（2）已知
，求
的值．
18．已知集合 A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．
（1）当 a＝1 时，求 A∪B，B∩∁ RA；
（2）若____，求实数 a 的取值范围．
（注：从①A∪B＝A；②B∩∁ RA＝∅ ；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条
件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）
19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为
200m2 的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周
安排 2m 宽的绿化，绿化造价为 200 元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器
材，硬化造价为 100 元/m2，设矩形的长为 x（m）．
（1）将总造价 y（元）表示为长度 x（m）的函数；
（2）如果当地政府财政拨款 3 万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修
建起该市民休闲锻炼的场地？（ ≈1.414）
20．已知定义在[﹣3，3]上的函数 f（x）＝
满足 f（x）+f（﹣x）＝0，且 f（1）＝
．
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且 x1≠x2，
＞0 恒成立．
21．已知函数 f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．
（1）当 a＝1 时，求 f（x）的最大值和最小值；
（2）若 f（x）在区间[0，3]上的最大值为 14，求实数 a 的值．
22．已知函数 f（x）＝ax2+bx+1（a，b 为实数），F（x）＝
．
（1）若 f（﹣1）＝0，且函数 f（x）的最小值为 0，求 F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当 x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx 是单调函数，求实数 k
的取值范围；
（3）设 mn＜0，m+n＞0，a＞0 且 f（x）为偶函数，判断 F（m）+F（n）能否大于零？请
说明理由．
参考答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 R，集合 A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（
）
A．1∈A
选：B．
B．∅ ⊆A
C．∁ RA＝{x|0＜x＜2}
D．A∩∅ ＝A
2．已知 a＞b＞0，则（
）
A．a2＜ab
选：D．
B．a+b＜2b
C． ＞1
D．
3．下列各组函数中，是同一函数的是（
）
A．y＝x2 与 y＝x
B．y＝
与 y＝（ ）2
C．y＝
与 y＝x+1
D．y＝
与 y＝x
选：D．
4．命题“∀x∈R，使得 n≥x2，n∈N*”的否定形式是（
）
A．∀x∈R，使得 n＜x2，n∈N*
C．∃x∈R，使得 n＜x2，n∈N*
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得 n＜x2，n∈N*，
故选：C．
B．∀x∈R，使得 n≠x2，n∈N*
D．∃x∈R，使得 n≥x2，n∈N*
5．设 b＞0，二次函数 y＝ax2+bx+a2﹣1 的图象为下列之一，则 a 的值为（
）
A．1
选：B．
B．﹣1
C．
D．
6．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，若 f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则
）
下列关系式中一定成立的是（
A．f（﹣1）＜f（﹣2）
C．f（1）＞f（﹣2）
【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．
解：函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，若 f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，
则 f（x）在（0，+∞）是减函数，
所以 f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且 f（1）＞f（2），
故选：C．
B．f（﹣1）＜f（2）
D．f（0）＝0
7．如图，电路中电源的电动势为 E，内阻为 r，R1 为固定电阻，R2 是一个滑动变阻器，已知
R2 消耗的电功率为 P＝（
）2R2，当 R2 消耗的电功率 P 最大时，r，R1，R2 之间的
关系是（
）
A．r+R2＝R1
B．r+R1＝R2
C． ＝R2
D．R1+R2＝r
选：B．
8．函数 y＝f（x）的图像关于点 P（a，b）成中心对称的充要条件是函数 y＝f（x+a）﹣b
为奇函数，则下列说法正确的是（
）
A．f（x）＝2x+1 关于（ ，0）中心对称
B．f（x）＝x3﹣3x2 关于（1，2）中心对称
C．函数 y＝f（x）的图像关于 x＝a 成轴对称的充要条件是 y＝f（x+a）为偶函数
D．f（x）＝x2﹣2x+5，则 f（x﹣1）为偶函数
选：C．
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
9．若 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，则（
）
A．a2+b2
选：ACD．
B．
C． ≥4
D．
≥4
10．已知关于 x 的方程 x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（
）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 m＜0
B．方程有两个正根的充要条件是 0＜m≤1
C．方程无实数根的充要条件是 m＞1
D．当 m＝3 时，方程的两个实数根之和为 0
选：AB．
11．已知函数 f（x）＝
，下列结论中正确的是（
）
A．f（x）的图像关于 y 轴对称
B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）
C．f（x）的值域为 R
D．当 x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值
选：AD．
12．用 C（A）表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合 A＝
{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若 A*B＝1，则实数 a 的取值可能是
（
A．
选：ABD．
C．1
）
B．0
D．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知集合 M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若 M＝N，则实数 m＝ 1 ．
答案为：1．
14．已知 f（x）＝
，则 f（3）的值为 2 ．
答案为 2．
15．已知函数 f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+ ．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g
（x）”的一个必要不充分条件为 b≤3
答案为：b≤3，（答案不唯一）
.（注：写出一个满足条件的即可）
16．设函数
定义在 R 上的增函数，则实数 a 取值范围为 [2，
4] ．
答案为：[2，4]．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）已知 x +x ＝3，求
的值；
（2）已知
，求
的值．
解：（1）∵x +x ＝3，
∴
＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，
∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，
∴x2+x﹣2＝47，
又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，
∴x﹣x﹣1＝
，
∴
＝
＝
＝
＝
．
（2）由
，得
，
∴
＝
＝ ．
18．已知集合 A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．
（1）当 a＝1 时，求 A∪B，B∩∁ RA；
（2）若____，求实数 a 的取值范围．
（注：从①A∪B＝A；②B∩∁ RA＝∅ ；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条
件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）
解：（1）当 a＝1 时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|
﹣1≤x≤3}
A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁ RA＝{x|﹣1≤x＜1}；
（2）若选①A∪B＝A，则 B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，
所以
，解得 3≤a≤5，
所以 a 的范围[3，5]；
若选②B∩∁ RA＝∅ ，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁ RA＝{x|x＜1
或 x＞7}，
所以
，解得 3≤a≤5，
所以 a 的范围[3，5]；
③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则 B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，
所以
，解得 3≤a≤5，
所以 a 的范围[3，5]；
19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为
200m2 的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周
安排 2m 宽的绿化，绿化造价为 200 元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器
材，硬化造价为 100 元/m2，设矩形的长为 x（m）．
（1）将总造价 y（元）表示为长度 x（m）的函数；
（2）如果当地政府财政拨款 3 万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修
建起该市民休闲锻炼的场地？（ ≈1.414）
解：（1）由矩形的长为 xm，则矩形的宽为
m，
则中间区域的长为 x﹣4m，宽为
﹣4m，
所以定义域为 x∈（4，50），
故 y＝100×
200[200﹣（x﹣4）（
﹣4）]，
整理可得 y＝18400+400（x+
），x∈（4，50）；
（2）因为 x+
＝20 ，
当且仅当
，即 x＝
时取等号，
所以当 x＝
故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．
时，总造价最低为 18400+8000 ≈2.97 万元＜3 万元，
20．已知定义在[﹣3，3]上的函数 f（x）＝
满足 f（x）+f（﹣x）＝0，且 f（1）＝
．
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且 x1≠x2，
＞0 恒成立．
【解答】（1）解：因为函数 f（x）＝
满足 f（x）+f（﹣x）＝0，
则 f（x）为奇函数，
又 f（1）＝ ，
所以
，解得 b＝0，a＝9，
所以
，
经检验，f（x）为奇函数，
所以
；
（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且 x1≠x2，
＞0 恒成立，
即证明 f（x）在[﹣3，3]上单调递增，
用定义证明如下：
设﹣3≤x1＜x2≤3，
则
＝
＝
，
因为﹣3≤x1＜x2≤3，
所以 x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，
，
故 f（x1）﹣f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），
所以函数 f（x）在[﹣3，3]上单调递增，
故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且 x1≠x2，
＞0 恒成立．
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