2014广西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2014 广西高考理科数学真题及答案一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分） 1．（5 分）设 z= ,则 z 的共轭复数为（） A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 2．（5 分）设集合 M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=（） A．（0,4] B．[0,4） C．[﹣1,0） D．（﹣1,0] 3．（5 分）设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 4．（5 分）若向量、满足:| |=1,（ + ）⊥ ,（2 + ）⊥ ,则| |=（） A．2 B． C．1 D． 5．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组, 则不同的选法共有（） A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 6．（5 分）已知椭圆 C: + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为（） A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1 7．（5 分）曲线 y=xex﹣1 在点（1,1）处切线的斜率等于（） A．2e B．e C．2 D．1 8．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为（） A． B．16π C．9π D． 9．（5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上,若|F1A|=2|F2A|,则 cos∠ AF2F1=（） A． B． C． D． 10．（5 分）等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于（） A．6 B．5 C．4 D．3

11．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°, 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（） A． B． C． D． 12．（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称,则 y=f（x）的反函数是（） A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13．（5 分）的展开式中 x2y2 的系数为．（用数字作答） 14．（5 分）设 x、y 满足约束条件 ,则 z=x+4y 的最大值为． 15．（5 分）直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为（1,3）,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于． 16．（5 分）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（ , ）是减函数,则 a 的取值范围是．三、解答题 17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acosC=2ccosA,tanA= , 求 B． 18．（12 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn．已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 19 ．（ 12 分）如图 , 三棱柱 ABC ﹣ A1B1C1 中 , 点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上 , ∠ ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2．（Ⅰ）证明:AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ,求二面角 A1﹣AB﹣C 的大小．

20．（12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、 0.4,各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（Ⅱ）X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望． 21．（12 分）已知抛物线 C:y2=2px（p＞0）的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点, 且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程． 22．（12 分）函数 f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；（Ⅱ）设 a1=1,an+1=ln（an+1）,证明: ＜an≤ ．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分） 1．（5 分）（2014•大纲版）设 z= ,则 z 的共轭复数为（） A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则 z 的共轭可求．【解答】解:∵z= = , ∴ ．故选:D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题． 2．（5 分）（2014•大纲版）设集合 M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=（） A．（0,4] B．[0,4） C．[﹣1,0） D．（﹣1,0] 【分析】求解一元二次不等式化简集合 M,然后直接利用交集运算求解．【解答】解:由 x2﹣3x﹣4＜0,得﹣1＜x＜4． ∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}, 又 N={x|0≤x≤5}, ∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4）．故选:B．【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题． 3．（5 分）（2014•大纲版）设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【分析】可得 b=sin35°,易得 b＞a,c=tan35°= ＞sin35°,综合可得．【解答】解:由诱导公式可得 b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 b＞a,

而 c=tan35°= ＞sin35°=b, ∴c＞b＞a 故选:C 【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题． 4．（5 分）（2014•大纲版）若向量、满足:| |=1,（ + ）⊥ ,（2 + ）⊥ ,则| |= （） A．2 B． C．1 D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得（ + ）• =0,（2 + ）• =0,由此求得| |．【解答】解:由题意可得,（ + ）• = + =1+ =0,∴ =﹣1；（2 + ）• =2 + =﹣2+ =0,∴b2=2, 则| |= , 故选:B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题． 5．（5 分）（2014•大纲版）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（） A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种【分析】根据题意,分 2 步分析,先从 6 名男医生中选 2 人,再从 5 名女医生中选出 1 人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意,先从 6 名男医生中选 2 人,有 C6 2=15 种选法, 再从 5 名女医生中选出 1 人,有 C5 1=5 种选法, 则不同的选法共有 15×5=75 种；故选 C．【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同．

6．（5 分）（2014•大纲版）已知椭圆 C: + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为（） A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1 【分析】利用△AF1B 的周长为 4 ,求出 a= ,根据离心率为 ,可得 c=1,求出 b,即可得出椭圆的方程．【解答】解:∵△AF1B 的周长为 4 , ∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a, ∴4a=4 , ∴a= , ∵离心率为 , ∴ ,c=1, ∴b= = , ∴椭圆 C 的方程为 + =1．故选:A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题． 7．（5 分）（2014•大纲版）曲线 y=xex﹣1 在点（1,1）处切线的斜率等于（） A．2e B．e C．2 D．1 【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解:函数的导数为 f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1, 当 x=1 时,f′（1）=2, 即曲线 y=xex﹣1 在点（1,1）处切线的斜率 k=f′（1）=2, 故选:C．【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础．

8．（5 分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为（） A． B．16π C．9π D．【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上,记为 O,求出 PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积．【解答】解:设球的半径为 R,则 ∵棱锥的高为 4,底面边长为 2, ∴R2=（4﹣R）2+（）2, ∴R= , ∴球的表面积为 4π•（）2= ．故选:A．【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题． 9．（5 分）（2014•大纲版）已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上,若|F1A|=2|F2A|, 则 cos∠AF2F1=（） A． B． C． D．【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解:∵双曲线 C 的离心率为 2, ∴e= ,即 c=2a, 点 A 在双曲线上, 则|F1A|﹣|F2A|=2a, 又|F1A|=2|F2A|,

∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c, 则由余弦定理得 cos AF2F1= = ．故选:A． ∠ = 【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力． 10．（5 分）（2014•大纲版）等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于（） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5, ∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10． ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg（a1a2•…•a8） = 4lg10 =4．故选:C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题． 11．（5 分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C ∈l,∠ACD=135°,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（） A． B． C． D．【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线 AB 与 CD 所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案．【解答】解:如图,过 A 点做 AE⊥l,使 BE⊥β,垂足为 E,过点 A 做 AF∥CD,过点 E 做 EF⊥AE,

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