2009年福建省龙岩市中考数学真题及答案.doc-资料库

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2009 年福建省龙岩市中考数学真题及答案（满分：150 分考试时间：120 分钟）注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！在本试题上答题无效。一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题的四个选项中，只有一个符合题意，请将正确的选项填涂到答题卡．．．上） 1．－2 的相反数是 A．－2 B．2 2．下列运算正确的是 C． 1 2 D．－ 1 2 A．x2 + x3 = x5 B．(－x2 )3 = x6 C．x6÷x2 = x3 D．－2x·x2 =－2x3 3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 4．如图所示几何体的左视图是 A． B． C． D． 5．在同一直角坐标系中，函数 y 2 与 x y 2 图象的交点个数为 x A．3 B．2 C．1 D．0 6．计算 1  1 x  x  1 x 的结果为 A．1 B．2 C．－1 D．－2 7．为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为 85 分，且 2 甲s 100 、 110 2 乙s 、 2 丙s 120 、 2 丁s 90 . 根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是 A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙 8．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于 A．30° C．60° B．45° D．75°

二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。请将答案填入答题卡．．．相应位置） 9．分解因式：x2－4= . 10．为减少全球金融危机对我国经济产生的影响，国务院决定拿出 40000 亿元以扩大内需，保持经济平稳较大增长. 这个数用科学记数法表示为亿元. 11．函数 y  2 中自变量 x的取值范围是  x . 12．如图，在△ABC中，点 D、E、F分别是 AB、AC、BC的中点，若△ABC 的周长为 12cm，则△DEF的周长是 cm. 13．如图，点 B、E、F、C在同一直线上. 已知∠A =∠D，∠B =∠C，要使 △ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是 (写出一个即可）. 14．方程 1 x 1  2 0 的解是 . 15．小亮测得一圆锥模型的底面半径为 5cm，母线长为 7cm，那么它的侧面展开图的面积是 16．观察下列一组数： 1 ， 2 的第 k个数是 cm2（结果保留三个有效数字）. 7 ，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数 8 3 ， 4 5 ， 6 . 17．在 3 □ 2 □（－2）的两个空格□中，任意填上“+”或“－”，则运算结果为 3 的概率是 . 18．如图，AB、CD是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6， MN是直径，AB⊥MN于点 E，CD⊥MN于点 F，P为 EF上的任意一点，则 PA+PC的最小值为 . 三、解答题（本大题共 8 小题，共 96 分。把解答书写到答题卡．．．的相应位置） 19．（10 分）计算： 9  (   2009 ) 0  sin2|2|  30  20．（10 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. (3 x x    21 x    3  )2  x ≤4 ， 1 . ………① ………②

21．（10 分）如图，已知点 E在△ABC的边 AB上，以 AE为直径的⊙O 与 BC相切于点 D，且 AD平分∠BAC . 求证：AC⊥BC . 22．（12 分）为纪念古田会议 80 周年，我市某中学团委拟组织学生开展唱红歌比赛活动，为此，该校随机抽取部分学生就“你是否喜欢红歌”进行问卷调查，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和扇形统计图. 态度非常喜欢喜欢一般不知道频数频率 90 a b 30 10 0.35 0.20 请你根据统计图、表提供的信息解答下列问题：（1）该校这次随机抽取了名学生参加问卷调查；（2）确定统计表中 a、b的值：a = ，b = ; （3）在统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角是度；（4）若该校共有 2000 名学生，估计全校态度为“非常喜欢”的学生有人. 23．（13 分）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形. 数学老师给小明同学出了一道题目：在图 23－1 正方形网格（每个小正方形边长为 1）中画出格点△ABC，使 2BC ； AB  AC 5 ，小明同学的做法是：由勾股定理，得 AB  AC  2 2  2 1  5 ， 2 1  2 1 2  ，于是画出线段 AB、AC、BC，从而画出格 BC 点△ABC.（1）请你参考小明同学的做法，在图 23－2 正方形网   （ A 点位置 CBA .（直接画出图形，格（每个小正方形边长为 1）中画出格点△ 如图所示），使 BA  10 不写过程）； = CA   CB  =5，   （2）观察△ABC与△   CBA  的形状，猜想∠BAC与∠ 有怎样的数量关系，并证明你的猜想. · ·  CAB  

24．（13 分）永定土楼是世界文化遗产“福建土楼” 的组成部分，是闽西的旅游胜地. “永定土楼” 模型深受游客喜爱. 图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格土楼模型的单价 y（元）与购买数量 x（个）之间的函数关系. （1）求当 10≤x≤20 时，y与 x的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为 2625 元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？(总金额=数量×单价) 25．（14 分）在边长为 6 的菱形 ABCD中，动点 M从点 A出发，沿 A→B→C向终点 C运动，连接 DM交 AC于点 N. （1）如图 25－1，当点 M在 AB边上时，连接 BN. ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点 M到 AD的距离及 tanα的值；（2）如图 25－2，若∠ABC = 90°，记点 M运动所经过的路程为 x（6≤x≤12）. 试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

26．（14 分）如图，抛物线 y  1 2 2 x  nmx  与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于 C点，四边形 OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点 D（5，2），连结 BC、AD. （1）求 C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点 B按顺时针旋转 90°后再沿 x轴对折得到 △BEF（点 C与点 E对应），判断点 E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点 E的直线交 AB边于点 P，交 CD边于点 Q. 问是否存在点 P，使直线 PQ分梯形 ABCD的面积为 1∶3 两部分？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案说明：评分最小单位为 1 分。若学生解答与本参考答案不同，参照给分。一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．B 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分。注：答案不正确、不完整均不给分） 9．（x＋2）(x－2). 10．4 × 104 11．x ≤ 2. 12．6. 3．A 7．C 5．D 6．C 2．D 4．A . 8．D 13．AB = DC（填 AF=DE或 BF=CE或 BE=CF也对）. 14． 1x 2 (只写 1 也对). 2 三、解答题（共 96 分） 15．110. 16． 1 2  k 2 k . 17． 1 . 2 18． 27 . 19．（10 分）解：原式= 3－1＋2＋2 × 1 …………………………8 分 2 = 5 …………………………………………10 分 20．（10 分）解：由①，得 x ≥ 1 …………………………………3 分由②，得 x < 4 …………………………………6 分 ∴原不等式组的解集是：1 ≤ x < 4 ……………8 分 …… 10 分 21．（10 分）证明：连接 OD ……………………………1 分 ∵OA = OD，∴∠1 =∠3； …………3 分 ∵AD平分∠BAC，∴∠1 =∠2； ∴∠2 =∠3；…………………………6 分 ∴OD∥AC，…………………………7 分 ∵BC是⊙O的切线 ∴OD⊥BC …………………………8 分 ∴AC⊥BC ………………………10 分 22．（12 分）（1）200；……………………………………3 分（2）a = 0.45， b = 70 ……………………7 分（每空 2 分）（3）126；……………………………………9 分（4）900. ……………………………………12 分  23．（13 分）（1）正确画出△ CBA  （2）猜想：∠BAC =∠ CAB   （画出其中一种情形即可）6 分   … … … … … … 8 分证明：∵ AB  BA   AC  CA  5 5 ， BC CB   2  10 5 5 ；， …………………………10 分    ∴ AB  BA AC  CA BC   CB  ，   ∴△ABC ∽ △ CBA   ∴∠BAC =∠ CAB   24．（13 分）解：（1）当 10 ≤ x ≤ 20 时，设 y = kx＋b（k≠0）……11 分 ……………………………13 分

依题意，得 10 k   20 k  b  b  200 150 ………………………3 分解得 k   b    5 250 ………………………………………5 分 ∴当 10 ≤ x ≤ 20 时，y =－5x＋250 … … …… 6 分（2）∵10 × 200 < 2625 < 20 × 150 ∴10 < x < 20 ………………………………………8 分依题意，得 xy = x（－5x＋250）= 2625 …………10 分即 x2－50x＋525 = 0 解得 x1 = 15， x2 = 35（舍去） ∴只取 x = 15. ……………………………………12 分答：该旅游团共购买这种土楼模型 15 个 … … … … 13 分 25．（14 分）（1）①证明：∵四边形 ABCD是菱形 ∴AB = AD，∠1 =∠2 ………………………2 分又∵AN = AN ∴△ABN ≌ △ADN ………………………4 分 ②解：作 MH⊥DA交 DA的延长线于点 H，由 AD∥BC，得∠MAH =∠ABC = 60°，在 Rt△AMH中，MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2 3 ， ∴点 M到 AD的距离为 2 3 . ………………………………………6 分易求 AH=2，则 DH=6＋2=8. ………………………………………7 分在 Rt△DMH中，tan∠MDH= MH DH  32 8  3 4 ，由①知，∠MDH=∠ABN=α. 故 tanα= 3 …………………… 9 分 4 （2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形 ABCD是正方形此时，∠CAD=45°. 下面分三种情形： Ⅰ）若 ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°. 此时，点 M恰好与点 B重合，得 x=6；……………10 分 Ⅱ）若 DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°. 此时，点 M恰好与点 C重合，得 x=12；………… 11 分 Ⅲ）若 AN=AD=6，则∠1=∠2，由 AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而 CM=CN，易求 AC=6 2 ，∴CM=CN=AC－AN=6 2 －6，故 x = 12－CM=12－（6 2 －6）=18－6 2 …………………………13 分综上所述：当 x = 6 或 12 或 18－6 2 时，△ADN是等腰三角形 …………… 14 分

（说明：对于Ⅰ）、Ⅱ）分类只要考生能写出 x=6，x=12 就给 2 分） 26．（14 分）解：（1）∵四边形 OBHC为矩形，∴CD∥AB，又 D（5，2）， ∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2 分 ∴     n 1 2  2 2  5 5  nm  2 ∴抛物线的解析式为：解得     y  1 2 x 2  n 5 2 5 2 m   2 x  2 …… 4 分（2）点 E落在抛物线上. 理由如下：……… 5 分由 y = 0，得 1 2 x 2  5 2 x  2 0 . 解得 x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ……………………… 6 分 ∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°， ∴点 E的坐标为（3，－1）. ………………………………………… 7 分把 x=3 代入 y  1 2 x 2  5 2 x  2 ，得 1 y 2 2 3  23 5 2 1 ， ∴点 E在抛物线上. …………………………………………………… 8 分（3）法一：存在点 P（a，0），延长 EF交 CD于点 G，易求 OF=CG=3，PB=a－1. S梯形 BCGF = 5，S梯形 ADGF = 3，记 S梯形 BCQP = S1，S梯形 ADQP = S2，下面分两种情形： ①当 S1∶S2 =1∶3 时， S 1 1 4 )35(   52 ，此时点 P在点 F（3，0）的左侧，则 PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得 PF QG  EF EG 1 3 ，则 QG=9－3a， ∴CQ=3－(9－3a) =3a －6 由 S1=2，得 1 2 3( a  2)1 6 a 2 ，解得 9a 4 ；………………… 11 分 ②当 S1∶S2=3∶1 时， S 1 3 4 )35(   6 5 此时点 P在点 F（3，0）的右侧，则 PF = a－3，由△EPF∽△EQG，得 QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，由 S1= 6，得 1 2 3( a  2)1 6 a 6 ，解得 13a 4 . 综上所述：所求点 P的坐标为（ 9 ，0）或（ 4 13 ，0）……… 14 分 4 法二：存在点 P（a，0）. 记 S梯形 BCQP = S1，S梯形 ADQP = S2，易求 S梯形 ABCD = 8. 当 PQ经过点 F（3，0）时，易求 S1=5，S2 = 3，此时 S1∶S2 不符合条件，故 a≠3.

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