Ξ 第 19 卷 第 3 期 1999 年 3 月 中　国　电　机　工　程　学　报 P roceedings of the CSEE Ξ Π∆Ξ Ξ V o l. 19 N o. 3 M ar. 1999 Ξ 电力系统谐波分析的高精度 FFT 算法 葛耀中 张伏生 耿中行 西安交通大学电力工程系, 710049 西安 空军装备技术部第一研究所, 100076 北京 西安交通大学电力工程系, 710049 西安 FFT AL GO R ITHM W ITH H IGH ACCURACY FO R HARMO N IC ANALY SIS IN POW ER SY STEM Zhang Fu sheng Geng Zhongx ing Ge Yaozhong X ian J iao tong U n iversity X ian, 710049 Ch ina Research Center for A viation Engineering and T echno logy, B eijing 100076 Ch ina X ian J iao tong U n iversity X ian, 710049 Ch ina ABSTRACT　T he FFT has a h igher erro r in the harm on ic analysis of the electric pow er system , esp ecially fo r the p hases. T h is p ap er discu ssed the leakage of FFT and p re sen ted a new am ending algo rithm , po ly- co sin w indow in terpo lation, w h ich based on the in terpo lating algo rithm p ro po sed by K. Jain and T. Grandke. T h is new algo rithm ob viou sly im p roves the accu racy of the FFT , so it can be ap p lied to the p recision analysis fo r electrical harm on ic. T he sim u lating resu lt show s that app lying deferen t w indow s has the deferen t effects to the accu racy, and the B lackm an - H arris w indow has the h ighest accu racy. KEY WORD S　Fou rier tran sfo rm 　E lectric pow er system 　H arm on ic 摘要　快速傅立叶变换存在较大的误差, 无法直接用于电力 系统谐波分析。 本文对 FFT 的泄漏误差进行了分析, 根据 Jain 和 Grandke 提出的插值算法提出了多项余弦窗插值的 新算法, 对 FFT 的结果进行修正, 极大地提高了计算精度, 使之适用于电力系统的准确谐波分析。文中给出了该算法进 行谐波分析模拟计算的算例, 计算结果表明, 不同的加窗算 法计算精度不同, 新算法的计算精度显著提高。 关键词　傅立叶变换　电力系统　谐波 中图分类号　TM 714 1　引言 近年来, 随着电力电子技术的广泛应用, 电力系 统谐波污染日益严重, 已成为影响电能质量的公害, 对电力系统的安全、经济运行造成极大的影响。所以 对电网中的谐波含量进行实时测量, 确切掌握电网 中谐波的实际状况, 对于防止谐波危害, 维护电网的 安全运行是十分必要的。 电力系统的谐波分析, 通常都是通过快速傅立 叶变换 (FFT ) 实现的。然而 FFT 存在栅栏效应和泄 漏现象, 使算出的信号参数即频率、幅值和相位不 准, 尤其是相位误差很大, 无法满足准确的谐波测量 要求。为了提高 FFT 算法的精度,V. K. J ain 等提出 了一种插值算法, 对 FFT 的计算结果进行修正, 可 以有效地提高计算精度。 在此基础上, T. G randke 又利用海宁 ( H an ing) 窗减少泄漏, 进一步提高了计 算精度。 n 海宁窗w (n) = 0. 5- 0. 5co s (2 N ) 是一种余 弦窗, 它仅包括两项。 如果增加余弦项的项数, 可进 一步减少泄漏。本文分析了多项余弦窗的特性, 并提 出了对加窗后信号进行插值的算法。 该算法能极大 地提高 FFT 计算的精度, 从而满足谐波测量中对谐 波参数的精度要求。文中给出了计算实例, 实例表明 该算法具有很高的计算精度, 即使对于幅值很小的 偶次谐波也能准确地求出其各项参数, 尤其是对于 提高相位计算的精度更为明显。 2　离散傅立叶变换的泄漏与栅栏效应 t 秒, 采样频率 f s= 1 在谐波测量中, 所要处理的信号均是经过采样 D 转换得到的数字信号。设待测信号为 x ( t) , 和A t 满足采样定 采样间隔为 理, 即 f s 大于信号最高频率分量的两倍。 则采样信 号为 x [ n = x (n t) , 并且采样信号总是有限长度 的, 即 n= 0, 1, …, N - 1。 也就是说, 所分析的信号 的持续时间为 T = N t, 这相当于对无限长的信号 做了截断, 因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象。 设信号为单一频率信号 x m ( t) = A m ej m t 矩形窗为 w T ( t) = 1; 0; 0< t≤T 其余 持续时间为 T 的信号相当于 x m 与 w T 的乘积 (1) (2) 　　　x m ( t) = x m (t)w T (t) x m ( t) 的傅立叶变换为 x m ( m 处有一条单一的谱线。 矩形窗的傅立叶变换为 ) = A m 2 m ( (3) ) , 即在 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

46 中　国　电　机　工　程　学　报 第 19 卷 W T ( ) = sin ( T 2 ) 2 exp (- j T 2 ) (4) 根据傅立叶变换的乘积定理, x m ( t) 的傅立叶变换为 x m ( ) 和W T ( ) 的卷积 x m ( ) = 2 A m∫W T ( - ) m ( ) d 率, D FT 也不可能求出信号的准确参数, 这一现象 通常叫做栅栏效应。 插值算法可以消除栅栏效应引起的误差, 而谐 波间的泄漏引起的误差则需用加窗的方法来消除。 3　余弦窗的特性 余弦窗的一般表达式为 sin ( = 2 A m m T ) m - - 2 2 exp (- j - 2 m T ) (5) w k (n) = K k= 0 (- 1) ka kco s (2 N kn) , n= 0, 1, …, N - 1 (7) 式中　K 是余弦窗的项数。K = 0 时, 就是矩形窗。 为了满足插值计算的需要, 对系数 a k 有如下限制 　　　　　 k k= 0 k a k= 1 (8a) k= 0 　　　　　 (- 1) ka k= 0 (8b) 设幅值为 1 的矩形窗为w 0 (n) = 1, n= 0, 1, …, N - 1, 它的离散傅立叶变换 D FT 称为狄里克来核 (D irich let) W 0 ( ) = D ( ) = e- j N - 1 N sin ( N sin ( ) ) (9) N 余弦窗的特点是它的D FT 表达式很简单, 可以 表示为狄里克来核的代数和 (6) W k ( ) = k k= 0 (- 1) k a k 2 [D ( - k ) + D ( + k ) ] (10) 不同 K 值和系数 a k 决定了不同的窗, K = 1 时, a 0= 0. 54, a 1 = 0. 46, 为哈明窗, a 0= a 1 = 0. 5 为 海宁窗; K = 2, a 0 = 0. 42, a 1 = 0. 50, a 2 = 0. 08 时为 布莱克曼窗。 图 3 给出了 K = 0、…、3 时窗的对数频谱。可以 看出, 当 K 增大时, 旁瓣衰减增大, 因而能够更好地 抑制泄漏, 同时也可看到主瓣宽度随 K 值而增加, 因而 K 值也不宜选得太大。 选用余弦窗的一个主要原因在于它便于进行频 若不计相位的变化, x m ( ) 的幅值如图 1 所示。 可以看出 x m ( ) 已不再是单一的谱线, 而是分布在 整个频率轴上, 这就是说能量不再集中, 即产生了泄 漏现象。谐波分析中, 各次谐波所泄漏的能量会相互 影响, 造成误差。 图 1　泄漏的产生 F ig. 1　The leakage of spectrum 对于离散傅立叶变换 (D FT ) 来说, 从频率的离 散化得到 　　x m [n = 1 T x m (n ) 式中　 = 2 T 。 离散化的频谱如图 2 所示。 图 2　x (n) 的离散频谱 F ig. 2　The d iscrete spectrum of x (n) 从图 2 可以看出, 如果不是整周期采样, 即信号 的整倍数, 那么即使信号只含有单一频 m 不是 图 3　窗函数的对数频谱 F ig. 3　The logar ithm spectrum of the w indow function s © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

56 (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) m = p hase[X m ( l) - N - 1 N + 2 当 K = 1 时, 选用海宁窗, 可以算出 　　　 = 2 - 1 + 1 代入公式(16) 可以得出复幅值 A m = 2 (1- sin ( 2) ) e j X m ( l) 相位用复幅值A m 算出 　　　 m = arctan Im (A m ) R e (A m ) 当 K = 2 时, 选用布莱克曼窗, 可以得到 = - 3 ( - 1) 2- 28 ( (3 2- 28) ( - 3) + 2) 求出 在 0 和 1 之间的根后, 利用 (14) 式可算出频 率 f m , 利用公式 (16) 可算出幅值 A m , 并利用公式 (24) 计算相位 m。 当 K = 3 时, 选用布莱克曼- 哈里斯窗, 可以得 到 = - ( - 12. 914+ 1. 223 ( + 3) [ (0. 2836 4- 1. 223 2- 1) - 0. 2836 ( 2+ 12. 914) ( - 1) 4 ] - 4) ] (26) 　第 3 期 张伏生等: 　电力系统谐波分析的高精度 FFT 算法 谱计算。通常信号加窗都是在时域进行的, 即 x w (t) = x (t)w ( t) , 然后进行傅立叶变换。而对于余弦窗, 可以 先对信号进行傅立叶变换, 然后在频域进行处理。设离 散信号 x (n) 的频谱为 X ( ) , 则由公式(10) 可以得出 　　　 = X m ( l) X m ( l+ 1) 从而可求出　　 = 1+ 频率仍用(14) 式, 幅值用(16) 式得到 K ) = X w ( 这一特点便于我们导出下面的插值方法。 - k ) + X ( [X ( k= 0 (- 1) k a k 2 + k ) ] (11) 　　　A m = 2 N X m ( l) sin ( ) 相位计算可用下式 4　插值方法 为简便起见, 设采样间隔 f = 1 T = 1 ( 辨率 号 t= 1, D FT 的频率分 N 。对于单一频率信 t·N ) = 1 　　　x m ( t) = A m e j2 f m t (12) 可以得出 x m ( ) = N - 1 n= 0 对于离散频谱, 值。设 f m 在频率 l 　　f m = ( l+ < 0. 5 时, 则当 X ( l+ 1) X (l) j2 N n x m (n) e- (13) 仅能取 0…N - 1 之间的整数 f 之间, l 为整数, 即 (14) < 1 f 和(l+ 1) ) f 　　0≤ 取得极大值; 当 > 0. 5 时, 取得极大值, 并且由(13) 式得到 ) , n 为整数 　　X m (l+ n) = A mD (n- (15) 此式代入(11) , 得到加窗信号的频谱在整数采样点的 数值为 X mw (l+ n) = A m K k= 0 (- 1) k a k 2 [D (n- k - ) + D (n+ k - ) ] 设定如下系数 　　　　 = X mw ( l) X mw ( l+ 1) (16) (17) 式中　X mw ( l) 和 X mw (l+ 1) 是相邻的两个峰值点。 由于通常N 都取得较大(N ≥1024) , 而且 < 1, 因此可以做以下近似 其余参数计算过程同上。 6　模拟分析结果 　　　sin ( N )≈ N 和 co s ≈ 1 N 值。 将 利用公式(16) 和(17) , 即可求出 K 值时插值点的准确 的 代入公式(14) , 即可得到准确的频率 f m。将 代入公式(16) , 即可得到准确的复振幅A m , 从而求出 准确的幅值 和相位 m。 A m 5　插值公式 下面讨论 K = 0, …, 3 时的插值公式。 当 K = 0 时, 由于窗系数 a k 不满足公式(8b) , 我 们须对公式(17) 做些修正, 令 加窗插值方法具有很高的精度, 尤其是在以下 两个方面: 一是对于相位的计算。FFT 所算出的相 位误差很大, 根本无法用于谐波分析。而该方法使相 位精度得到显著提高, 因而使得谐波分析、阻抗计算 有了切实的依据。二是能够有效地抑制谐波之间, 或 杂波及噪声的干扰。即使对于幅值较小的偶次谐波, 在 FFT 中经常被大幅值奇次谐波的泄漏所淹没, 该 方法也能准确地算出其各项参数。 以下提供一组计算实例, 信号幅值为电力系统 实测谐波参数, 相位参数为自拟, 基波为 50H z 工 频, 采样频率为 3000H z, 数据长度为 1024 采样点: © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

2 2 2 2 2 2 2 2 66 中　国　电　机　工　程　学　报 第 19 卷 表 1　谐波信号参数 Tab. 1　Param eters of harm on ic signa l 谐波 f k 基波 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次 九次 十次 十一次 幅值 A k 240 相位 0 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° - 0. 3 0 80° - 2. 7 0. 05 2. 1 0. 6 100° 0. 1 12 0. 1 k x (n) = 11 k= 1 A k sin (2 f kn+ k) 为节省篇幅, 表 2 仅列出了用 FFT 算法及用海 宁窗 (K = 1) 和布莱克曼 哈里斯窗 (K = 3) 时的计算 结果, 图 4 给出了计算误差曲线。可以看出 FFT 的 结果误差大, 尤其是相位的计算结果根本是不可用 的。 加窗后精度提高了三、四个数量级, 而当 K = 3 时精度最高, 尤其是相位计算准确, 完全可以满足电 力系统谐波分析的要求。 表 2　FFT 算法与加窗插值算法计算结果比较 Tab. 2　Com par ison of FFT and w indowed in terpola tion 频率 FFT K = 1 K = 3 幅值 FFT K = 1 K = 3 相位 FFT K = 1 K = 3 50 49. 805 50. 000 50. 000 241. 0 237. 843 240. 000 240. 000 0° 12. 047 0. 0004 0. 0000 100 102. 539 99. 870 99. 987 0. 1 1. 118 0. 102 0. 100 10° 183. 298 17. 132 10. 727 150 149. 414 150. 000 150. 000 12. 0 10. 767 12. 000 12. 000 20° 58. 817 20. 006 20. 001 200 202. 148 199. 984 199. 998 0. 1 0. 607 0. 100 0. 100 30° 197. 951 31. 254 30. 111 250 249. 023 250. 000 250. 000 2. 7 2. 215 2. 700 2. 700 40° 111. 765 40. 006 40. 001 350 348. 633 350. 000 350. 000 2. 1 1. 589 2. 100 2. 100 60° 154. 132 60. 001 60. 000 450 448. 242 450. 000 450. 000 0. 3 0. 374 0. 300 0. 300 80° 204. 725 79. 995 80. 000 550 547. 852 550. 000 550. 000 0. 6 0. 380 0. 600 0. 600 100° 225. 310 99. 998 100. 000 图 4　FFT 与加窗插值法的误差比较 F ig. 4　Com par ison of errors of FFT and w indowed in terpola tion 7　结论 本文提出的高精度 FFT 算法应用于谐波测量, 十分有效地提高了测量精度, 这对电力系统中的谐 波管理与治理是很有必要的。 采用加窗插值方法对 FFT 进行修正, 减少了泄漏, 有效地抑制了谐波之 间, 或杂波及噪声的干扰, 从而可以精确测量到各次 谐波电压和电流的幅值及相位, 并计算得到谐波功 率、谐波功率流向和谐波阻抗。基于该算法的电力系 统谐波测量软件经模拟实验, 结果十分理想。 8　参考文献 1　Jain V K, Co llin s W L , D avis D C, H igh accu racy analog m ea su rem en ts via in terpo lated FFT. IEEE T ran s IM , 1979, 28: 113 ～ 112 2　H arris F J, O n the u se of w indow s fo r harmon ic analysis w ith the discrete Fou rier tran sfo rm. P roc IEEE, 1978, 66: 51～ 83 3　Grandke T , In terpo lation algo rithm s fo r discrete Fou rier tran s fo rm s of w eigh ted signals. IEEE T ran s IM , 1983, 32: 350～ 355 4　A ndria G, Savino M , T ro tta A ,W indow s and in terpo lation algo IEEE T an s rithm s to imp rove electrical m easu rem en t accu racy. IM , 1989, 38: 856～ 863 收稿日期: 1998 张伏生　西安交通大学电力工程系, 副教授。 主要从事电力系 19; 改回日期: 1998 04。 03 06 统运行与控制, 电力系统谐波分析与测量研究。 耿中行　空军装备技术部第一研究所, 博士后, 高级工程师。主 要研究方向: 信号处理, 小波分析与应用及机械故障诊断。 葛耀中　西安交通大学电力工程系, 教授, 博士生导师。 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net