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哈尔滨工业大学数值分析上机实验报告.doc
实验报告一
实验报告二
实验报告三
实验报告四
实验报告五
实验报告六
实验报告
yyhhit@163.com
实验报告一
题目： 非线性方程求解
摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验
采用两种常见的求解方法二分法和 Newton 法及改进的 Newton 法。
前言：（目的和意义）
掌握二分法与 Newton 法的基本原理和应用。
数学原理：
对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和 Newton
法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程 f(x)，其在[a,b]上连续，
f(a)f(b)<0，且 f(x)在[a,b]内仅有一个实根 x*，取区间中点 c，若，则 c 恰为其根，否则根
据 f(a)f(c)<0 是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。
重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton 法通常预先要给出一个猜测初值 x0，然后根据其迭代公式
x
1
k
x
k
(
xf
k
'
(
f
x
k
)
)
产生逼近解 x*的迭代数列{xk}，这就是 Newton 法的思想。当 x0 接近 x*时收敛很快，但是
当 x0 选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为
x
1
k
x
k
r
(
xf
k
'
(
f
x
k
)
)
其中 r 为要求的方程的根的重数，这就是改进的 Newton 法，当求解已知重数的方程的根
时，在同种条件下其收敛速度要比 Newton 法快的多。
程序设计：
本实验采用 Matlab 的 M 文件编写。其中待求解的方程写成 function 的方式，如下
function y=f(x);
y=-x*x-sin(x);
写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：
clear
.1.
实验报告
yyhhit@163.com
%%%给定求解区间
b=1.5;
a=0;
%%%误差
R=1;
k=0;%迭代次数初值
while (R>5e-6) ;
c=(a+b)/2;
if f12(a)*f12(c)>0;
else
a=c;
b=c;
end
R=b-a;%求出误差
k=k+1;
end
x=c%给出解
Newton 法及改进的 Newton 法源程序：
clear
%%%% 输入函数
f=input('请输入需要求解函数>>','s')
%%%求解 f(x)的导数
df=diff(f);
%%%改进常数或重根数
miu=2;
%%%初始值 x0
x0=input('input initial value x0>>');
k=0;%迭代次数
max=100;%最大迭代次数
R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解 f(x0)，以确定初值 x0 时否就是解
while (abs(R)>1e-8)
x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));
R=x1-x0;
x0=x1;
k=k+1;
if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);
.2.
实验报告
yyhhit@163.com
break
end
if k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值
ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');
if strcmp(ss,'y')
x0=input('input initial value x0>>');
k=0;
else
break
end
end
end
k;%给出迭代次数
x=x0；%给出解
结果分析和讨论：
1. 用二分法计算方程
sin
x
2
x
2
计算结果为
0
在[1，2]内的根。(
610*5
,下同)
x= 1.40441513061523；
f(x)= -3.797205105904311e-007；
k=18；
由 f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。
2. 用二分法计算方程
计算结果为
3
x
x
01
在[1，1.5]内的根。
x= 1.32471847534180；
f(x)= 2.209494846194815e-006；
k=17；
由 f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。
3. 用 Newton 法求解下列方程
x0=0.5；
01 xxe
a)
计算结果为
x= 0.56714329040978；
f(x)= 2.220446049250313e-016；
k=4；
由 f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有 4 次看出收敛速度很快。
.3.
实验报告
yyhhit@163.com
b)
3
x
x
01
x0=1；
c)
(
x
2
2()1
x
)1
0
x0=0.45, x0=0.65；
当 x0=0.45 时，计算结果为
x= 0.49999999999983；
f(x)= -8.362754932994584e-014；
k=4；
由 f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有 4 次看出收敛速度很快，实际上该方程确实
有真解 x=0.5。
当 x0=0.65 时，计算结果为
x= 0.50000000000000；
f(x)=0；
k=9；
由 f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解 x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取
x0〉0.68 时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明 Newton 法收敛与初值很有关系，有
的时候甚至可能不收敛。
4. 用改进的 Newton 法求解，有 2 重根，取 2
2
(
x
2()1
x0=0.55；并与 3.中的 c)比较结果。
当 x0=0.55 时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改
)1
x
0
5.1
时，结果收敛为
x=0.50000087704286；
f(x)=4.385198907621127e-007；
k=16；
显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的 2 重根上。
当 x0=0.85 时，结果收敛为
x= 1.00000000000489；
f(x)= 2.394337647718737e-023；
k=4；
这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直
接用 Newton 法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数 k=15，这说明改进后
的 Newton 法法速度确实比较快。
结论：
对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和
给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton 法，收敛速度要比二分法快，但
是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结
果可能不时预期需要得结果。改进的 Newton 法求解重根问题时，如果初值不当，可能会
不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比 Newton 法快得多。
.4.
实验报告
yyhhit@163.com
实验报告二
题目： Gauss 列主元消去法
摘要：求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的 Guass
消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。
前言：（目的和意义）
1. 学习 Gauss 消去法的原理。
2. 了解列主元的意义。
3. 确定什么时候系数阵要选主元
数学原理：
则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使
( k
由于一般线性方程在使用 Gauss 消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若 )1
kka
=0，
0，但是其绝对值非
常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因
此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象。这一技术要寻找行 r，使得
(k
kka
)1
|
a
(
k
rk
)1
|
max
ki
)1
a
(
k
ik
( k
并将第 r 行和第 k 行的元素进行交换，以使得当前的 )1
kka 的数值比 0 要大的多。这种列主
元的消去法的主要步骤如下：
1. 消元过程
对 k=1,2,…,n-1,进行如下步骤。
1) 选主元，记
|
a
rk
max
|
ki
a
ik
rka 很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。
|
若 |
2) 交换增广阵 A 的 r，k 两行的元素。
a
rj
a
kj
(j=k,…,n+1)
a
ij
a
ij
aa
ik
kj
/
a
kk
(i=k+1,…,n; j=k+1,……,n+1)
3) 计算消元
2. 回代过程
对 k= n, n-1,…,1,进行如下计算
.5.
实验报告
yyhhit@163.com
n
xa
kj
1
kj
/
a
kk
)
j
x
k
(
a
1
,
nk
至此，完成了整个方程组的求解。
程序设计：
本实验采用 Matlab 的 M 文件编写。
Gauss 消去法源程序：
clear
a=input('输入系数阵：>>\n')
b=input('输入列阵b：>>\n')
n=length(b);
A=[a b]
x=zeros(n,1);
%%%函数主体
for k=1:n-1;
%%%是否进行主元选取
if abs(A(k,k))abs(t)
p=r;
else p=k;
end
end
%%%交换元素
if p~=k;
for q=k:n+1;
s=A(k,q);
A(k,q)=A(p,q);
A(p,q)=s;
end
.6.
实验报告
yyhhit@163.com
end
end
%%%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重
if
abs(A(k,k))< yipusilong
disp(‘矩阵奇异，解可能不正确’)
end
%%%%计算消元,得三角阵
for r=k+1:n;
m=A(r,k)/A(k,k);
for q=k:n+1;
A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m;
end
end
end
%%%%求解 x
x(n)=A(n,n+1)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1;
s=0;
for r=k+1:n;
s=s+A(k,r)*x(r);
end
t=(A(k,n+1)-s)
x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k)
end
结果分析和讨论：
例：求解方程
62
575
123
x
y
z
22
34
10
。其中为一小数，当
5
10
10,
10
10,
14
10,
20
时，
分别采用列主元和不列主元的 Gauss 消去法求解，并比较结果。
记 Emax 为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下：
当
510
时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后
一列为选主元结果，下同。
0.99999934768391
2.00000217421972
2.99999760859451
0.99999934782651
2.00000217391163
2.99999760869721
.7.
Emax= 9.301857062382624e-010，0
此时，由于不是很小，机器误差就不是很大，由 Emax 可以看出不选主元的计算结果
实验报告
yyhhit@163.com
精度还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。
当
10
10
时，不选主元和选主元的计算结果如下
1.00001784630877
1.99998009720807
3.00000663424731
0.99999999999348
2.00000000002174
2.99999999997609
Emax= 2.036758973744668e-005，0
此时由 Emax 可以看出不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。
当
时，不选主元和选主元的计算结果如下
14
10
1.42108547152020
1.66666666666666
3.11111111111111
1.00000000000000
2.00000000000000
300000000000000
Emax= 0.70770085900503，0
此时由 Emax 可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引
起的。
当
20
10
时，不选主元和选主元的计算结果如下
NaN
NaN
NaN
1
2
3
Emax=NaN, 0
不选主元时，程序报错：Warning: Divide by zero.。这是因为机器计算的最小精度为
就认为是 0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，
10
20
10-15，所以此时的
而且由 Emax 可以看出选主元时的结果应该是精确解。
结论：
采用 Gauss 消去法时，如果在消元时对角线上的元素始终较大（假如大于 10-5），那
么本方法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这
一步，以减少机器误差带来的影响，使方法得出的结果正确。
.8.
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