2013年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2013 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷 1. (15 分) 设 p 是一个素数, 多项式 ( ) f x  p x  px  2 p 1  . 证明: ( ) f x 在有理数域上不可约. 2. (10 分) 计算 n 阶行列式 D n x 0   0 a n 1  x  0 a n 1  0 1   0 a n  2      0 0  x a 2 0 0  1  a 1 . 3. (10 分) 设向量组 1 , 2 ,  , n 线性无关, 向量 1可用它们线性表示, 向量 2 不能用它们线性表示. 证明向量组 1 , 2 ,  , n , 2  线性无关. 1 4. (15 分) 已知矩阵 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ,      , B A       1 0 0     1 1 0      1 1 1   x 且矩阵 x 满足 A A B B A B B A E   5. (15 分) 取何值时, 线性方程组 4 x x x      3 2 1  x x x        2 3 1   2 4 x x x     3 2 1 x x x   2 , 其中 E 是单位阵, 求 x . 有唯一解、无解、无穷多解? 在有无穷多解时, 求其通解(用向量形式表示). 6. (15 分) 设二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  T x A x  2 x 1  2 x 2 2  2 2 x 3  4 x x 2 3 , 利用正交变换将二次型 f 化为标准形, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 7. (20 分) 已知3 维线性空间V 的一组基 1 , 2 , 3 , 设    1 3    1 ,    2  2 1 ,     3     3 1 2 . (1) 求由基 1, 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵; (2) 求向量     3    2 3 1 2 在基 1, 2 , 3 下的坐标. 8. (20 分 ) 设 3 维欧氏空间 V 中元素 0 在 V 的标准正交基 1 , 2 , 3 下的坐标为

(1, 1,0)T  .定义V 的变换如下: 对于任意 V , T     0   ( ) [ , ] 0 , 其中 9. 0 , ] 表示与 0 的内积. [ (1) 证明T 是线性变换; (2) 求V 的一组标准正交基 1, (15 分) 设3 3 矩阵 2 , 3 , 使T 在该基下的矩阵为对角矩阵. A  3 4 0 0       4 0  5 0  0 3 2 0 0   0   2  1   . 试求 A 的 Jordan 标准形. 10. (15 分) 设V 是数域 P 上的 n 维线性空间, 是V 的线性变换, a P ），（ 是V 的恒等变换）, g   . 求证:  而且 ( ) 0 ( ) g x x 4 2 a  （对任意 (1) (2) 2 和 2 都是的特征值; V V   . 2 V 2

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