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2020-2021年上海市嘉定区高一数学上学期期中试卷及答案.doc

发布时间：2023-11-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.37M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2020-2021 年上海市嘉定区高一数学上学期期中试卷及答案 一、填空题（共 12 小题）. 1．（4 分）若集合 A＝{1，2，3，4，5，6}，集合 B＝{2，5，7，9}，用列举法表示：A∩B ＝ ． 2．（4 分）若 a＞0，化简： ＝ ． 3．（4 分）已知 lg3＝a，lg7＝b，试用 a，b表示 lg21＝ ． 4．（4 分）陈述句“x＞1 或 y＞1”的否定形式是 ． 5．（4 分）设 A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，请写出一个满足 B⊆C⊆A的集合 C＝ ． 6．（4 分）若不等式 x2+ax+b＜0 的解集是（﹣3，1），则 a2+b2＝ ． 7．不等式|x﹣4|＜2x的解集为 ． 8．已知命题α：方程 x2﹣ax+1＝0 无实数根，命题β：a﹣3＜0；那么α是β的 条 件．（用充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要填空） 9．已知集合 ，则 A∩Z＝ （其中 Z表示整数集）． 10．设 A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若 A∪B＝A，则实数 m的值为 ． 11．已知 x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值是 ． 12．已知集合 A＝{x|（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2≤0，x∈R}， ， 且 A∩B＝A，则实数 m的取值范围是 ． 二、选择题（共 4 小题）. 13．已知 a＜b且 c∈R，则下列不等式正确的是（ ） A．a2＞b2 B．ac＞bc C． D．c﹣a＞c﹣b 14．若 a＞0 且 a≠1，将指数式 a2b＝N转化为对数式为（ ） A． C． B． D． 15．已知全集 U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，集合 A，B是 U的子集，且满足 A∩B＝{3}，A∩ ＝ {4}， ＝{1，5}，则下列结论正确的是（ ）
    A．2∈A且 2∈B B．2∉ A且 2∈B C．2∈A且 2∉ B D．2∉ A且 2∉ B 16．已知关于 x的一元二次不等式 2ax2+4x+b≤0 的解集为 ，且 a＞b，则 的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 三、解答题（共有 5 题，满分 0 分） 17．解下列关于 x的不等式或不等式组： （1）设 a≠1，解不等式：ax＜a2+x﹣1； （2）解不等式组： ． 18．已知集合 A＝{x|x2+x﹣2＝0，x∈R}，集合 B＝{x|x2+px+p＝0，x∈R}． （1）若 A∩B＝{1}，求 A∪B； （2）若 x1x2∈B且 x1 2+x2 2＝3，求 p的值． 19．第三届进口博览会将于 11 月 5 日至 10 日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为 了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为 625cm2，如图所示：其中 上边，下边和左边各留宽为 2cm的空白，右边留宽为 7cm的空白，中间阴影部分为文字 宣传区域；设矩形画册的长为 acm，宽为 bcm，文字宣传区域面积为 Scm2． （1）用 a，b表示 S； （2）当 a，b各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？ 20．设在二维平面上有两个点 A（x1，y1），B（x2，y2），它们之间的距离有一个新的定义 为 D（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离； 在初中时我们学过的两点之间的距离公式是 ，这样的 距离称为是欧几里得距离（简称欧式距离）或直线距离． （1）已知 A，B两个点的坐标为 A（2x，1），B（3，2），如果它们之间的曼哈顿距离不
    大于 3，那么 x的取值范围是多少？ （2）已知 A，B两个点的坐标为 A（x，a），B（3，x），如果它们之间的曼哈顿距离要 恒大于 2，那么 a的取值范围是多少？ （3）已知三个点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），在平面几何的知识中，很容易 的能够证明 A与 B，A与 C的欧氏距离之和不小于 B和 C的欧氏距离，那么这三个点之间 的曼哈顿距离是否有类似的共同的结论？如果有，请给出证明；若果没有，请说明理由． 21．已知集合 A＝{x|x2+x﹣2＜0，x∈R}，集合 B＝{x|x2+2mx﹣1+m2＜0，m∈R}． （1）当 m＝2 时，求集合 ； （2）若 ∩B＝∅ ，求实数 m的取值范围； （3）若集合（A∩B）∩Z 为单元素集合，求 A∪B． 参考答案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．（4 分）若集合 A＝{1，2，3，4，5，6}，集合 B＝{2，5，7，9}，用列举法表示：A∩B ＝ {2，5} ． 答案为：{2，5}． 2．（4 分）若 a＞0，化简： ＝ a2 ． 答案为：a2． 3．（4 分）已知 lg3＝a，lg7＝b，试用 a，b表示 lg21＝ a+b ． 答案为：a+b． 4．（4 分）陈述句“x＞1 或 y＞1”的否定形式是 x≤1 且 y≤1 ． 答案为：x≤1 且 y≤1． 5．（4 分）设 A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，请写出一个满足 B⊆C⊆A的集合 C＝ {1，2， 3} ． 解：∵A＝{1，2，3，4}， 若 B⊆C⊆A， ∴C＝{1，2，3}，或{1，2，4}或{1，2}或{1.2.3.4}，
    故答案为：{1，2，3}． 6．（4 分）若不等式 x2+ax+b＜0 的解集是（﹣3，1），则 a2+b2＝ 13 ． 答案为：13． 7．不等式|x﹣4|＜2x的解集为 （ ，+∞） ． 答案为：（ ，+∞）． 8．已知命题α：方程 x2﹣ax+1＝0 无实数根，命题β：a﹣3＜0；那么α是β的 充分非必 要 条件．（用充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要填空） 答案为：充分非必要． 9．已知集合 ，则 A∩Z＝ {﹣1，0，1} （其中 Z表示整数集）． 答案为：{﹣1，0，1}． 10．设 A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若 A∪B＝A，则实数 m的值为 ﹣ 或 0 或 ． 答案为：﹣ 或 0 或 ． 11．已知 x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值是 ． 答案为： ． 12．已知集合 A＝{x|（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2≤0，x∈R}， ， 且 A∩B＝A，则实数 m的取值范围是 [1，9） ． 答案为：[1，9）． 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 13．已知 a＜b且 c∈R，则下列不等式正确的是（ ） A．a2＞b2 选：D． B．ac＞bc C． D．c﹣a＞c﹣b 14．若 a＞0 且 a≠1，将指数式 a2b＝N转化为对数式为（ ） A． C． 选：C． B． D．
    15．已知全集 U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，集合 A，B是 U的子集，且满足 A∩B＝{3}，A∩ ＝ {4}， ＝{1，5}，则下列结论正确的是（ ） A．2∈A且 2∈B B．2∉ A且 2∈B C．2∈A且 2∉ B D．2∉ A且 2∉ B 选：B． 16．已知关于 x的一元二次不等式 2ax2+4x+b≤0 的解集为 ，且 a＞b，则 的最大值为（ ） A．1 选：B． B． C． D． 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 0 分） 17．解下列关于 x的不等式或不等式组： （1）设 a≠1，解不等式：ax＜a2+x﹣1； （2）解不等式组： ． 不等式组的解集为（ ，2）． 18．已知集合 A＝{x|x2+x﹣2＝0，x∈R}，集合 B＝{x|x2+px+p＝0，x∈R}． （1）若 A∩B＝{1}，求 A∪B； （2）若 x1x2∈B且 x1 2+x2 2＝3，求 p的值． 解：A＝{x|x2+x﹣2＝0，x∈R}＝{﹣2，1}， （1）若 A∩B＝{1}，则 1∈B， 而集合 B＝{x|x2+px+p＝0，x∈R}， 则 1+p+p＝0，解得：p＝﹣ ， 故 B＝{x|x2﹣ x﹣ ＝0}＝{﹣ ，1}， 故 A∪B＝{﹣2，﹣ ，1}； （2）由题意 x1x2＝p，x1+x2＝﹣p， 则 x1 2+x2 2＝ ﹣2x1x2＝p2﹣2p＝3， 解得：p＝3 或 p＝﹣1， p＝3 时，B＝∅ ，不合题意，舍，
    故 p＝﹣1． 19．第三届进口博览会将于 11 月 5 日至 10 日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为 了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为 625cm2，如图所示：其中 上边，下边和左边各留宽为 2cm的空白，右边留宽为 7cm的空白，中间阴影部分为文字 宣传区域；设矩形画册的长为 acm，宽为 bcm，文字宣传区域面积为 Scm2． （1）用 a，b表示 S； （2）当 a，b各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）由题意，S＝（a﹣4）（b﹣9），其中 ab＝625； （2）S＝（a﹣4）（b﹣9）＝ab﹣9a﹣4b+36＝661﹣（9a+4b） ≤661﹣2 ＝661﹣300＝361， 当且仅当 9a＝4b，即 a＝ ，b＝ 时上式取等号． 故当 a＝ cm，b＝ cm时，文字宣传区域面积最大，最大面积是 361cm2． 20．设在二维平面上有两个点 A（x1，y1），B（x2，y2），它们之间的距离有一个新的定义 为 D（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离； 在初中时我们学过的两点之间的距离公式是 ，这样的 距离称为是欧几里得距离（简称欧式距离）或直线距离． （1）已知 A，B两个点的坐标为 A（2x，1），B（3，2），如果它们之间的曼哈顿距离不 大于 3，那么 x的取值范围是多少？ （2）已知 A，B两个点的坐标为 A（x，a），B（3，x），如果它们之间的曼哈顿距离要 恒大于 2，那么 a的取值范围是多少？ （3）已知三个点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），在平面几何的知识中，很容易 的能够证明 A与 B，A与 C的欧氏距离之和不小于 B和 C的欧氏距离，那么这三个点之间
    的曼哈顿距离是否有类似的共同的结论？如果有，请给出证明；若果没有，请说明理由． 解：（1）∵A（2x，1），B（3，2）， ∴D（A，B）＝|2x﹣3|+|1﹣2|＝|2x﹣3|+1， 由它们之间的曼哈顿距离不大于 3， ∴|2x﹣3|+1≤3， 解得 ≤x ； 故 x的取值范围为[ ， ]； （2）∵A（x，a），B（3，x）， ∴D（A，B）＝|x﹣3|+|a﹣x|≥|x﹣3+a﹣x|＝|a﹣3|，当且仅当（x﹣3）（a﹣x）≥0 时取等号， ∵它们之间的曼哈顿距离要恒大于 2， ∴|a﹣3|＞2， 解得 a＞5 或 a＜1， 故 a的范围为（﹣∞，1）∪（5，+∞）； （3）有类似的结论，A与 B，A与 C，曼哈顿距离之和不小于 B与 C曼哈顿距离， 证明：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 则 D（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，D（A，C）＝|x1﹣x3|+|y1﹣y3|，D（B，C）＝|x2﹣x3|+|y2 ﹣y3|， 由绝对值不等式可得|x1﹣x2|+|x1﹣x3|≥|（x1﹣x2）﹣（x1﹣x3）|＝|x2﹣x3|， |y1﹣y2|+|y1﹣y3|≥|（y1﹣y2）﹣（y1﹣y3）|＝|y2﹣y3|， ∴D（A，B）+D（A，C）≥D（B，C）， 故 A与 B，A与 C，曼哈顿距离之和不小于 B与 C曼哈顿距离． 21．已知集合 A＝{x|x2+x﹣2＜0，x∈R}，集合 B＝{x|x2+2mx﹣1+m2＜0，m∈R}． （1）当 m＝2 时，求集合 ； （2）若 ∩B＝∅ ，求实数 m的取值范围； （3）若集合（A∩B）∩Z 为单元素集合，求 A∪B． 解：（1）当 m＝2 时，集合 B＝{x|x2+2mx﹣1+m2＜0}＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣ 1}， 则 ＝{x|x≥﹣1 或 x≤﹣3}，
    又∵集合 A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}， ∴ ∩A＝{x|﹣1≤x＜1}； （2）B＝{x|﹣1﹣m＜x＜1﹣m}， ＝{x|x≥1 或 x≤﹣2}， 因为 ，则 ，解得 0≤m≤1， 故实数 m的取值范围为[0，1]； （3）由题意可知 A∩B中只有唯一一个整数， 因为 A中有﹣1，0 两个整数，所以： ①当 A∩B＝{﹣1}时，只需﹣1＜1﹣m≤0，即 1≤m＜2，此时 A∪B＝{x|﹣m﹣1＜x＜1}， ②当 A∩B＝{0}时，只需﹣1≤﹣1﹣m＜0，即﹣1＜m≤0，此时 A∪B＝{x|﹣2＜x＜1﹣m}， 综上，当 1≤m＜2 时，A∪B＝{x|﹣m﹣1＜x＜1}， 当﹣1＜m≤0 时，A∪B＝{x|﹣2＜x＜1﹣m}．
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