2011年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合 P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 A．(-∞, -1] C．[-1，1] 2．复数 2 i  1 2 i   A．i B．-i B．[1, +∞） D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） C． 4   5 3 5 i D． 4   5 3 5 i 3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A． (1,  ) 2 C． (1,0)  B． (1,  ) 2 D．(1，) 4．执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 B．- A．-3 1 2 1 3 D．2 C． 5．如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①② C．①③ B．②③ D．①②③ 6．根据统计，一名工作组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 )( xf        c x c A , , Ax  , Ax  （A， C 为常数）。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 C 和 A 的值分别是 A．75，25 D．60，16 B．75，16 C．60，25

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A．8 B． 6 2 C．10 D．8 2 8．设  A 0,0 , B  4,0 ，  C t  4,4 ,4D t   t R .记  N t 为平行四边形 ABCD 内部（不含边  , 界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数  N t 的值域为 A．  9,10,11 C．  9,11,12 B．  9,10,12 D．  10,11,12 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。第二部分（非选择题共 110 分） 9．在 ABC 中。若 b=5， B   ，tanA=2，则 sinA=____________；a=_______________。  4 10．已知向量 a=（ 3 ，1），b=（0，-1），c=（k， 3 ）。若 a-2b 与 c 共线，则 k=___________________。 11 ．在等比数列 {an} 中， a1= a 1  a 2 ...   a n  ____________。 1 2 ， a4=-4 ，则公比 q=______________ ； 12．用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。（用数字作答） 13．已知函数 ( ) f x 范围是_______ 2 ,    x   ( x  x  2 3 1) , x  2 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根，则数 k 的取值 14．曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F¬2（1，0）的距离的积等于常数 (2 aa )1 的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线 C 过坐标原点； ② 曲线 C 关于坐标原点对称； ③若点 P 在曲线 C 上，则△F 1 PF 2 的面积大于其中，所有正确结论的序号是 a 2 。 1 2 。三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 13 分）已知函数 ( ) f x  4cos sin( x x  （Ⅰ）求 ( ) f x 的最小正周期：  6 ) 1  。（Ⅱ）求 ( ) f x 在区间        6 4  , 上的最大值和最小值。 16．（本小题共 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD AB   BAD 2,  60  .  中， PA  平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， (Ⅰ)求证： BD  平面 PAC ; （Ⅱ）若 PA AB , 求 PB 与 AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长. 17．本小题共 13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示。

（Ⅰ）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。（注：方差 2 s  均数） 1 n     x 1  x 2    x 2  x 2      x n  x 2     ，其中 x 为 1x ， 2x ，…… nx 的平 18．（本小题共 13 分）已知函数 ( ) f x  ( x  2 ) k e x k 。（Ⅰ）求 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的 (0, x   ，都有 ( ) f x ≤ ) 1 e ，求 k 的取值范围。 19．（本小题共 14 分）已知椭圆 2 xG : 4 2 y  .过点（m,0）作圆 2 1 x 2 y  的切线 I交椭圆 G于 A，B两点. 1 （I）求椭圆 G的焦点坐标和离心率；（II）将 AB 表示为 m的函数，并求 AB 的最大值. 20．（本小题共 13 分）若数列 A n  , a a 1 2, ..., ( a n n na  满足 1 2)   a 1  1( k  1,2,..., n 1)  ，数列 nA 为 E 数列，记

( S A = 1 a )n  a 2   ． ... a n a （Ⅰ）写出一个满足 1 a s  ，且 ( 0 S A 〉0 的 E 数列 nA ； )s （Ⅱ）若 1 12 a  ，n=2000，证明：E 数列 nA 是递增数列的充要条件是 na =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数 n（n≥2），是否存在首项为 0 的 E 数列 nA ，使得  S A =0？如果 n 存在，写出一个满足条件的 E 数列 nA ；如果不存在，说明理由。参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （5）A 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（4）D （8）C （2）A （6）D （3）B （7）C 2 10 （10）1 （9） 52 5 （11）—2 2 1 n 1 2 （14）②③ （12）14 （13）（0，1）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）因为 )( xf  4 cos x sin( x   6 1)   4 cos x 3( 2 sin x  1 2 cos x 1)  2sin3 x  2 cos 2  x 1   2sin3 x 2 x  cos  ) 6  2 sin( 2 x  所以 )(xf 的最小正周期为 （Ⅱ）因为  于是，当 2 x  x   6  6 2  , ,  4 即所以  x   6  6  2 x  2  . 6 3  时， )(xf 取得最大值 2；

当 2 x   6 6  , 即 x   6 , 时（16）（共 14 分） )( xf 取得最小值—1. 证明：（Ⅰ）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD. 所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 PAC. （Ⅱ）设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以 BO=1，AO=CO= 3 . 如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O—xyz，则 P（0，— 3 ，2），A（0，— 3 ，0），B（1，0，0），C（0， 3 ，0）.  ).0,32,0(   所以 PB ),2,3,1( AC 设 PB 与 AC 所成角为，则 6  PB  | || PB  AC AC cos  | 3222  6 4 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ).0,3,1(BC 设 P（0，－ 3 ，t）（t>0），则 BP ,1(  ),3 t 设平面 PBC 的法向量 m  ), ,( zyx , 则 mBC   ,0 mBP   0 所以       x x 3 y y   ,0 tz  3 令 ,3y 所以 m  x 则 ,3  )6,3,3( t 0 .6 t z  n )6,3,3(  t 同理，平面 PDC 的法向量因为平面 PCB⊥平面 PDC, 36 2  t 所以 nm  =0，即  6 0

解得 6t 所以 PA= 6 （17）（共 13 分）解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 988  4 35 4 x 10  ; 方差为 1 4 2 s 8[(  35 4 2 )  8(  35 4 2 )  9(  35 4 2 )  10(  35 4 2 ])  11 16 . （Ⅱ）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4×4=16 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17，18，19，20，21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（Y=17）= 同理可得 ( YP )18  . 1 8 ( YP 2  16 1 ; 4 )19  1 4 ; ( YP  )20  1 4 ; ( YP  )21  1 8 . 所以随机变量 Y 的分布列为： Y P 17 1 8 18 1 4 19 1 4 20 1 4 21 1 8 EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21） 1 8 =17× =19 +18× 1 4 +19× 1 4 +20× 1 4 +21× 1 8 （18）（共 13 分）解：（Ⅰ） f  )( x  2 x  k 2 ) e x 1 . (1 k 令   0 0  f ，得 x  k . 当 k>0 时， )( xf 与 f )( x 的情况如下 x f  )(x )(xf ( k , ) + ↗ k 0 24 ek 1 ( k ,k ) — ↘ k 0 0 ,( k ) + ↗

所以， )(xf 的单调递减区间是（ k , ）和 ,( k ) ；单高层区间是 ( ), kk 当 k<0 )( xf 与 f )( x 的情况如下时， x f  )(x )(xf ( k , ) — ↘ k 0 0 ( k ,k ) + ↗ k 0 24 ek 1 ,( k ) — ↘ 所以， )(xf 的单调递减区间是（ k , ）和 ,( k ) ；单高层区间是 ,( k  k ) （Ⅱ）当 k>0 时，因为 ( kf  )1  e 11  k  1 e ，所以不会有  x ,0(  ), )( xf  .1 e 当 k<0 时，由（Ⅰ）知 )(xf 在（0，+  ）上的最大值是 f (  k )  2 4 k e . 所以  x ,0(  ), )( xf  1 e 等价于 f (  k )  2 4 k e  .1 e  k 0 .  1 2 x  解得故当 ,0(  ), )( xf  .1 e 时，k 的取值范围是 1[ 2 ).0, （19）（共 14 分）解：（Ⅰ）由已知得 a  ,2 b  ,1 所以 c  2 a 2  b  .3 所以椭圆 G 的焦点坐标为 ( )0,3(),0,3 离心率为 e  c a 3 2 . （Ⅱ）由题意知， | 1| m . 当 1m 时，切线 l 的方程 1x ，点 A、B 的坐标分别为 3,1( 2 ,1(),  3 2 ), 此时 | | AB 3 当 m=－1 时，同理可得 | | AB 3

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