2011年北京高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年北京高考文科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分.考试时间长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 B．[1, +∞） D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） C． 4   5 3 5 i D． 4   5 3 5 i 求的一项. 1．已知全集 U=R,集合 P=｛x︱x2≤1｝,那么 A．(-∞, -1] C．[-1，1] 2．复数 2 i  1 2 i   A．i B．-i 3．如果 log x  log 1 2 1 2 y  ,0 那么 A．y< x<1 B．x< y<1 C．1< x

时间为 x 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均没见产品的生产准备费用与 8 仓储费用之和最小，每批应生产产品 A．60 件 B．80 件 C．100 件 D．120 件 8．已知点 A（0,2），B（2,0）．若点 C 在函数 y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 1 3   ，sinA= 9．在 ABC  4 中.若 b=5， B ，则 a=___________________. 10．已知双曲线 2 x  2 2 y b  （b ＞0）的一条渐近线的方程为 2 1 x ，则b = y . 11．已知向量 a=（ 3 ，1），b=（0，-1），c=（k， 3 ）.若 a-2b 与 c 共线，则 k=________________. 12 ．在等比数列 {an} 中， a1= 1 2 ， a4=4 ，则公比 q=______________ ； a1+a2+…+an= _________________. 13．已知函数 ( ) f x 2 ,    x   ( x  x  2 3 1) , x  2 k 的取值范围是_______ 若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不同的实根，则实数 14．设 A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（tR）.记 N（t）为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 N（0）= N（t）的所有可能取值为三、解答题 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共 13 分）已知函数 ( ) f x  4cos sin( x x  （Ⅰ）求 ( ) f x 的最小正周期：  6 ) 1  . （Ⅱ）求 ( ) f x 在区间        6 4  , 上的最大值和最小值.

16．（本小题共 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示. （1）如果 X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. x 1  2 x )  ( x 2  2 x )   ( x n  2 x ) ], 其中 x 为（注：方差 2 s  数） [(1 n 17．（本小题共 14 分） , xx 1  的平均 nx , , 2 如图，在四面体 PABC 中，PC⊥AB，PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面 BCP；（Ⅱ）求证：四边形 DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. 18．（本小题共 13 分）已知函数 ( ) f x  ( x  ) x k e . （Ⅰ）求 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）求 ( ) f x 在区间[0,1]上的最小值.

19．（本小题共 14 分）已知椭圆 G : 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的离心率为 0) b 6 3 ，右焦点为（ 2 2 ,0），斜率为 I 的直线l 与椭圆 G 交与 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P（-3,2）. （I）求椭圆 G的方程；（II）求 PAB 的面积. 20．（本小题共 13 分）若数列 , A a a n : 1 , ,  ( a n n 2  满足 1 k 2)   a a k  1( k  1,2,   ，则称 nA 为 E 数 1) n , 列，记 ( )n S A  a 1  a 2    a n . a （Ⅰ）写出一个 E 数列 A5 满足 1 a 3  ； 0 （Ⅱ）若 1 12 a  ，n=2000，证明：E 数列 nA 是递增数列的充要条件是 na =2011；（Ⅲ）在 1 a  的 E 数列 nA 中，求使得  4 S A =0 成立得 n 的最小值. n

参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）D （5）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（4）D （8）A （2）A （6）C （3）D （7）B （9） 25 3 （11）1 （10）2 （12）2 2 1 n 1 2 （13）（0，1）（14）6 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）因为 )( xf  4 cos x sin( x  6，7，8，  6 1)   4 cos x 3( 2 sin x  1 2 cos x 1)  2sin3 x  2 cos 2  x 1   2sin3 x 2 x  cos  ) 6  2 sin( 2 x  所以 )(xf 的最小正周期为 （Ⅱ）因为 x    6  2 6  x 即 6 6  2  x  , ,  4 即 ,   6 , 时 x   6 于是，当当 2 x  所以   6  2 x  2  . 6 3  时， )(xf 取得最大值 2； )( xf 取得最小值—1．（16）（共 13 分）解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 988  4 35 4 x 10  ;

方差为 1 4 2 s 8[(  35 4 2 )  9(  35 4 2 )  10(  35 4 2 ])  11 16 . （Ⅱ）记甲组四名同学为 A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为 9，9，11，11；乙组四名同学为 B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为 9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16 个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用 C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件，则 C 中的结果有 4 个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为 ( CP ) 4 16  1 4 . （17）（共 14 分）证明：（Ⅰ）因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DE//PC。又因为 DE  平面 BCP，所以 DE//平面 BCP。（Ⅱ）因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形 DEFG 为平行四边形，又因为 PC⊥AB，所以 DE⊥DG，所以四边形 DEFG 为矩形。（Ⅲ）存在点 Q 满足条件，理由如下：连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且 QD=QE=QF=QG= 1 2 EG. 分别取 PC，AB 的中点 M，N，连接 ME，EN，NG，MG，MN。与（Ⅱ）同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线点为 EG 的中点 Q，且 QM=QN= 1 2 EG，所以 Q 为满足条件的点. （18）（共 13 分）解：（Ⅰ） f  )( x  ( x  k )1 3e . 令   0  xf ，得 x 1 k ． )(xf 与 f  的情况如下： )(x x （ k  , k ） 1k （ ( k ,1 )

f  )(x )(xf —— ↗ 0 1 ke + ↗ 所以， )(xf 的单调递减区间是（ ,  k ）；单调递增区间是 1 ( k ,1 ) （Ⅱ）当 01 k ，即 1k 时，函数 )(xf 在[0，1]上单调递增，所以 f （x）在区间[0，1]上的最小值为 f )0(  k ; 当 0  1,11 即 k  k 2 时，由（Ⅰ）知 ( ) f x k 在 [0, 1] 上单调递减，在 ( 1]上的最小值为 ( f k  1)   ； 1 k e  k  上单调递增，所以 ( ) f x 在区间[0， 1,1] 当 1   k t , 即 k 2 时，函数 ( ) f x 在[0，1]上单调递减，所以 ( ) f x 在区间[0，1]上的最小值为 (1) f  (1  ) . k e （19）（共 14 分）解：（Ⅰ）由已知得 c  2 2, c a  6 3 . 解得 a  2 3. 又 2 b  2 a  2 c  4. 2 所以椭圆 G 的方程为 x 12 （Ⅱ）设直线 l的方程为 2  y 4  y 1. .mx 由      y x 12 mx  2 2 y 4   得 1 2 4 x  6 mx  2 3 m  12  .0 设 A、B 的坐标分别为 ( , yx 1 1 (), x 2 , y 2 )( x 1  x 2 ), AB 中点为 E ( x , 0 y 0 ) ，则 x 0  x 1 x 2  2  3 m 4 ,

y 0  mmx 4   0 因为 AB 是等腰△PAB 的底边，所以 PE⊥AB. 所以 PE 的斜率 k   .1 ，解得 m=2。 m 2  4 33 m  4 .0  12 x 此时方程①为 4 2 x  解得 x 1  ,3 2 x  .0 所以 y 1  ,1 2 y  .2 所以|AB|= 23 . 此时，点 P（—3，2）到直线 AB： x 2  y 0 的距离 d |223|  2  23 2 , 所以△PAB 的面积 S= （20）（共 13 分） 1 2 | AB | d 9 2 . 解：（Ⅰ）0，1，0，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5. （答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1， 0，—1， —2，0，±1，0，—1，0 都是满足条件的 E 的数列 A5）（Ⅱ）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列，所以 a  1 k a k  (1 k  ,2,1 1999 , ) ．所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列．所以 a2000=12+（2000—1）×1=2011．充分性，由于 a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—at≤19999，即 a2000≤a1+1999．又因为 a1=12，a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999．故 a  1 n a n  (01 k  ,2,1 1999 , 即), A n 是递增数列．综上，结论得证. （Ⅲ）对首项为 4 的 E 数列 Ak，由于 a 2  a ,311  a 3  a ,212 

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