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2020年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

发布时间：2022-09-17 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.21M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2020 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 设 多 项 式 ( ) f x 分 别 除 以 ( x  1),( x 1)  ， 所 得 余 式 为 1,3 ， 则 ( ) f x 除 以 ( x  1)( x 1)  的余式为 . 2. 设 4 D  3 2 2 4 5 3 1 2 1 1 1 1 5 4 7 8 A ，则 41  A 42  A 43  A 44  . 3. 已 知 A       1 4 3 2 t 1  2  3 1      ， B 为 3 4 矩 阵 ， 且 秩 ( ) 3 B  ， 若 秩 ( AB  ， 则 2 ) t  . 4. 设 A       1 2 2 1 3 0 2  2 4      ， a ( ,1,1)T ，且 A与线性相关，则 a  . 5. 设有四个未知数的非齐次线性方程组 Ax ,   ，其中 1  (2,3,4,5)T   ， 2 3   , 2 3 b ，已知系数矩阵的秩为 3，方程组有三 (1,2,3,4)T ，则方程组的通解为 . 个解 1 6. 设 1和 2 是 3 级实对称矩阵 A 的两个不同的特征值， 1   (1,1,3)T   ， 2 (4,5, )Tt 是 A 的属于特征值 1 ,  的特征向量，则t  2 . 7. 已知方阵 A 满足 2 A   A 6 E O  ，则 ( A  3 ) E  1  . 8. 若 实 二 次 型 是 . ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 2 x 1  tx 2 2  2 tx 3  4 x x 1 2 是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围 9. n 维 欧 氏 空 间 V 中 ， 满 足 条 件   ,j    的 正 交 基 1 j j    的 度 量 矩 阵 ,..., , 2 n . A  10. 设V 为 n 维欧氏空间， 0 为V 中固定的向量，则子空间 维数为 二、计算题（共 105 分） . 1. （15 分）计算 n 阶行列式 W x V x  ( ,     ) 0  的
    a b b b a b b b a  b b b    b b b    a   . 2. （15 分）设 [ ]P t 的两组基 4 (I) f 1 ( ) 1, t  f 2 ( ) 1 t   t , f 3 ( ) 1 t    t t 2 , f 4 ( ) 1 t     t t 2 3 t (II) g t 1 ( ) 1    t 2 3 ( ) t g t , 2    2 t t 3 t g t ( ) 1    t , 3 2 t g t ( ) 1    t , 4 3 t (1) 求由基(I)过渡到基(II)的过渡矩阵C ； (2) 求 [ ]P t 中在基(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式. 4  A 3.（15 分）已知矩阵 1 0 0     1 1 0 ,     1 1 1   AXA BXB AXB BXA E  ，求 X . ( ) , f x x x  3 4.（20 分）已知二次型    , 1 2 B       0 1 1 1 0 1 1 1 0      ，且矩阵 X 满足 2 2 x 1 2  3 x 2 2  3 x 3  2 ax x 2 3 ( a  所对应矩阵 0) 的三个特征值为1,2,5 . (1) 求 a ; (2) 求一正交变换 x Py , 将二次型化为标准形. 5. (20 分) 当 ,a b 取何值时，非齐次线性方程组 x  1   x  1  2 x   1 2 x  3 3 x  3 ax  3 1   2  b  x 2 x 2 (1)无解；(2)有唯一解；(3)有无穷多解，并在无穷解时，求其通解. 6.（20 分）设 3 维欧氏空间V 中元素 0 在V 的标准正交基 1 ,   下的坐标为 , 2 3 (1, 1,0)T  ， 定义V 的线性变换T 如下 T (     0   ) ( ) , 0 (    V ) 其中 ( ) 表示与 0 的内积. , 0
    (1) 求线性变换T 在标准正交基 1 ,   下的矩阵 A ； , 2 3 (2) 求V 的一组标准正交基 1 ,   ，使T 在该组基下的矩阵为对角矩阵. , 2 3 三、证明题 （共 15 分） 已知 n nP  的两个子空间 V 1   A A | T  n n , A A P    ， V 2   A A | T   n n , A A P    证明： n nP    . V 2 V 1
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