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2020-2021年江苏省扬州市邗江区高一数学下学期期中试卷及答案.doc

发布时间：2024-04-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.80M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2020-2021 年江苏省扬州市邗江区高一数学下学期期中试卷 及答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1． 下列复数中，纯虚数是（ ）A 2． A． 2 2i 1 tan( 45 )－ A． 3 2 B． 2 － 2 i C．(2i)2 D． 5i+8 ＋ cos60°=（ ）B B．－ 1 2 C． 2 2 D． 3  3． 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A B O  ， 若 A． O B 1 2   ，那么原△ABO的面积是（ 1 ）C B． 2 2 C． 2 D． 2 2 4．已知向量 a=(3，4)，b =(8，6)， c =(2，k)，且 a∙c= b∙c，则 k的值为（ ）D A．－4 B．4 C．5 1 5． 已知：α，β均为锐角，tanα= 2 ，tanβ= 1 3 ，则α+β＝（ D．－5 ）B A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． 5π 12 6．“全民健身活动周” 中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相 距 1500 m 的地标恰好与它在一条直线上，继续前进 3 分钟后, 看见一地标在他的南偏西 60°方向上，另一地标在他的南偏西 75°方向上，则他跑步的速度是（ ）C A．125 米/分 C．250 米/分 B．125 3 米/分 D．250 3 米/分 7． 设向量 a，b，c满足|a|=|b|=1，a∙b=－ 1 2 值等于（ ）A ，a－c，b－c的夹角为 60°，则| c |的最大
    A．2 B． 3 C． 2 D．1 8． 在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，∠ABC=120o，直线 BD交 AC于点 D，将△ ABC分成两部分，且∠CBD =3∠ABD，BD=1，则 a＋2c的最小值为（ A． 8 2 3 B．4 2 C．4 3 ）D D． 8 3 3 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．设向量 a，b满足|a|=|b|=1，且| b－2a |= 5 ，则以下结论正确的是（ ）AC A．a⊥b B．| a＋b |=2 C．| a－b |= 2 D．向量 a，b夹角为 60o 10．设 f(α)=sinxα＋cosxα，x∈{n|n=2k，k∈N＋}，下列结论正确的是（ ）ABCD A．x=2 时，f(α)的取值范围为{1}， B．x=4 时，f(α)的取值范围为[ 1 2 C．x=6 时，f(α)的取值范围为[ 1 4 ,1]， ,1]， D．对于 x∈{n|n=2k，k∈N＋}，f(α)的取值范围为[ 1 2k  ,1]， 1 11．在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)= 4：5：6， 下列结论正确的是（ A．cosB+cosC= 12 7 ， ）ABD  B．若 AD为 BC边上的角平分线，则AD = 5 8  AB ＋ 3 8  AC ， C．BC边上的中线长为 19 2 ， D．若 b＋c =8，则△ABC的外接圆半径是 7 3 3 ， 12．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公 式”——欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ（其中 i 是虚数单位，e 是自然对数的底数），它 也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ）ABC A．|4e5i|=4，
    B．i2020+2021i = 2021π 2 e ， C．若复数 eiθ∙ πi 3e 的虚部为 5 3 ，θ∈(0,π)，则(eiθ)2 的实部为 1 2 5 － 18 ， D．已知 z1= πi 3e ，z2=eiθ，复数 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，则三角形 O Z1Z2 面积的最大值为 3 2 . 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 a,b∈R，i 是虚数单位．若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，则(a＋bi)2= ▲ .3＋4i 14．如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E，F分别是棱 BC，CC1 的中点， 则异面直线 EF与 B1D1 所成的角为 ▲ . 60° （第 14 题图） 15． 已知 sin(α－ π 6 )= 1 3 ，α∈(0,π) ，则 tan(2α－ π 12 )= ▲ . 81 56 2  17 16．践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是 由两个边长为 3 的全等正三角形组成，中心重合于点 O且三组对边分别平行，点 A，B是  “六芒星”（如图）的两个顶点，动点 P在“六芒星”上（内部以及边界），若OP  =xOA ＋  yOB  ，当 x＋y取得最大值时，OP  ∙OA 的值是 ▲ . 3 2
    四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 已知复数 z满足 z∙ z–=2，且 z的虚部为－1，z在复平面内所对应的点在第四象限. （1）求 z； （2）若 z，z2 在复平面上对应的点分别为 A，B，O为坐标原点，求∠OAB. （1）设复数 z=x－i（x，y∈R）， 因为 z∙ z–=2，，所以 x2＋1=2，得 x =1 或 x =－1， …………………………… 2 分 又 z在复平面内所对应的点在第四象限，所以 z=1－i； ……………………………4 分 （2）z2=(1－i) 2=－2i， …………………………… 6 分 8 分 → 所以 A(1,－1)，B(0, －2)，O(0, 0)，AO → =(－1, 1)，AB =(－1, －1)，………………… → AO → |AO → ∙ AB =0， → | || AO 所以 cos∠OAB= 所以∠OAB = π 2 . 分 18．（本小题满分 12 分） 已知 cos( π 6 ＋α)∙cos( π 3 1 －α)=－ 4 （1）求 sin 2α的值； …………………………… 10 ，α∈( π 3 ， π 2 ). （2）求 tan α－ 的值． 1 tan α （1）∵cos( π 6 ＋α)·cos( π 3 －α)＝cos π 6 ＋α·sin( π 6 ＋α)＝ 1 2 sin(2α＋ π 3 )＝－ ，……… 2 分 1 4
    ∴sin(2α＋ π 3 )＝－ . 1 2 ， π 2 ，∴2α＋ π 3 π 3 ∵α∈ 6 分 π， 4π 3 ， ∈ …………………………… ∴cos(2α＋ π 3 )＝－ 3 ，∴sin 2α＝sin[(2α＋ 2 π 3 )－ π 3 ] ＝ sin(2 α ＋ π 3 )cos π 3 － cos(2 α ＋ π 3 )sin π 3 ＝ . 1 2 （2）∵α∈( π 3 ， π 2 ……………………………8 分 )，∴2α∈( ，π)， 2π 3 又由(1)知 sin 2α＝ 1 ，∴cos 2α＝－ 2 3 2 . …………………………… 10 分 ∴ tan α－ 1 tan α ＝ sin α cos α － cos α sin α ＝ sin2α－cos2α sin αcos α ＝ －2cos 2α sin 2α ＝ － 2 × － 3 2 1 2 ＝ 2 3. ……… 12 分 19．（本小题满分 12 分） 已知向量 a=(cos 3 x 2 ，sin 3 x 2 )，b=(cos x 2 ，－sin x 2 )，且 x∈(0， π 2 )． （1）求 a∙b及|a＋b|； （2）若 f(x)= a∙b－2λ|a＋b|的最小值为－ 3 2 ，求正实数λ的值． （1）a∙b=cos 3 x 2 cos x 2 －sin sin x 2 =cos2x 3 x 2 3 x 2 a＋b=( cos 3 x 2 ＋cos x 2 ，sin －sin x ) 2 …………………………… 2 分 |a＋b|2=( cos 3 x 2 ＋cos x )2＋(sin 2 3 x 2 －sin x )2 2 =2+2 cos2x=4cos2x． …………………………… 4 分 又 x∈(0， π 2 )，则 cosx≥0，因此|a＋b|=2cosx． …………………………… 6 分
    （2）由（1）知 f(x)=cos2x﹣4λcosx＝2cos2x﹣4λcosx﹣1， 则 f(x)=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2，cosx∈[0，1]， …………………………… 8 分 ①当 0＜λ＜1 时，当 cosx=λ时，f(x)有最小值﹣1﹣2λ2=－ 3 2 ，解得λ= 1 2 ．………… 10 分 ②当λ≥1 时，当 cosx=1 时，f(x)有最小值 1﹣4λ=－ 综上可得λ= 1 2 ． 20．（本小题满分 12 分） 如图，在△ABC中，已知 CA=1，CB=2，∠ACB=60°．  （1）求|AB |； 3 2 ，解得λ= 5 8 （舍去）， …………………………… 12 分  （2）已知点 D是 AB上一点，满足AD  =λAB  ，点 E是边 CB上一点，满足BE  =λBC ． ①当λ= 1 2  时，求AE  ∙CD ；  ②是否存在非零实数λ，使得AE  ⊥CD ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由． E C D A B  （1）|AB |= 3 …………………………… 2 分  BC ， + 1 2  CB  ，CD = 1 2  (CA  +CB )，… 4 分  时，AD = （2）①λ= 1 2  则 D、E分别是 BC，AB的中点，∴AE 1 2 1 2  ，BE =  AB  =AC  +CE  =AC  ∴AE  ∙CD  =(AC +  )∙ CB 1 2 1 2  (CA  +CB )
    = 1 2  AC  CB  AC + 1 2 + 1 4  ∙CA  ∙CA  ∙CB 2= 1 CB 4  ②假设存在非零实数λ，使得AE + 1 4 ；  ⊥CD ，  由AD  =λAB  ，得CD  = (1﹣λ)CA  + λCB ，  又BE  =λBC  ，∴AE  =﹣CA  + (1﹣λ)CB ， …………………………… 6 分 …………………………… 8 分  ∴AE  ∙CD  =λ(1﹣λ) CB  2﹣λCB  ∙CA  +(1﹣λ)2CB  ∙CA  2 ﹣(1﹣λ) CA =4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ) 2﹣(1﹣λ)=﹣3λ2+2λ =0， …………………………… 10 分 解得λ= 2 3 或λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ= 2 3 21．（本小题满分 12 分）  ，使得AE  ⊥CD ． …………………………… 12 分 “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小 孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将 自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形 ABCD的麦田里 成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将 BD连接，设△ABD中边 BD所对的角为 A， △BCD中边 BD所对的角为 C，经测量已知 AB=BC=CD=2，AD=2 3 . （1）若∠C=60°，求∠A； （2）霍尔顿发现无论 BD多长， 3cosA﹣cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并 求出这个定值； （3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD 与△BCD 的面积分别 为 S1 和 S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 S1 2+S2 2 的最大值. B A C D
    （1）由 BC=CD=2，∠C=60°，所以△BCD 是等边三角形，所以 BD=2， 2 AB cosA= 2 AD BD   2 AB AD  2 = 3 2 ， 因为 0
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