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2020-2021年江苏省无锡市宜兴市高一数学下学期期中试卷及答案.doc

发布时间：2024-04-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：1.28M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2020-2021 年江苏省无锡市宜兴市高一数学下学期期中试卷 及答案 一、单项选择题（每小题 5 分）. 1．在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是（1，2），则 z•（1+i）对应点的坐标为（ ） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 2．在下列向量组中，可以把向量 ＝（3，2）表示出来的是（ ） A． ＝（0，0）， ＝（1，2） B． ＝（﹣1，2）， ＝（5，﹣2） C． ＝（3，5）， ＝（6，10） D． ＝（2，﹣3）， ＝（﹣2，3） 3．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a＝ ，c＝2，cosA＝ ，则 b＝（ ） A． B． C．2 D．3 4．我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东 汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图” 是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第 24 届国际数学家大会的会 徽．如图，大正方形 ABCD 是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ，E 为 BF 的中点，则 ＝（ ）
    A． B． C． D． 5．一个长、宽、高分别为 80cm、60cm、100cm 的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入 一个直径为 40cm 的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么 水槽中的水面升高了（ ） A． cm B． cm C． cm D． cm 6．分别以正方形 ABCD 的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ） A．4 个 B．6 个 C．8 个 D．12 个 7．设复数 z 满足|z﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ） A．（x+1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 8．在△ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且满足① ，②△ABC 面积 S 满足 1≤S≤2．则下列不等式一定成立的是（ ） A．6≤abc≤12 C． B．12≤abc≤24 D．ab（a+b）＞8 二、多项选择题（每小题 5 分）. 9．设 z 是复数，则下列说法正确的有（ ） A．若 z2≥0，则 z 是实数 B．若 z 是虚数，则 z2≥0 C．若 z2＜0，则 z 是虚数 D．若 z 是纯虚数，则 z2＜0 10．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（ ） A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱锥 D．六面体 11．在△ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，下列说法正确的有（ ） A．若 a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC 有两个 B．若 sin2A＝sin2B，则△ABC 为等腰三角形 C．若 2b＝a+c，且 2cos2B﹣8cosB+5＝0，则△ABC 为等边三角形 D．若 sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC 为钝角三角形 12．已知 是平面内两个夹角为 120°的单位向量，点 C 在以 O 为圆心的 上运动， 若 ＝x +y （x，y∈R）．下列说法正确的有（ ） A．当 C 位于 中点时，x＝y＝1
    B．当 C 位于 中点时，x+y 的值最大 C． 在 上的投影向量的模的取值范围为 D． 的取值范围为[﹣ ， ] 三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．复数 的共轭复数是 ． 14．若一个几何体由五个面围成，其中两个面是互相平行的三角形，其他各个面都是边长为 1 的正方形，则这个几何体是 ，它的表面积为 ． 15．对任意平面向量 ＝（x，y），把 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量 ＝（xcos θ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转θ得到点 C，M（2， ） ， N （ 3 ， 2 ） ， 把 点 N 绕 点 M 逆 时 针 方 向 旋 转 后 得 到 点 P 的 坐 标 是 ． 16．在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝60°，∠C＝90°，BC＝2，则 AB 长度的取值范围 是 ． 四、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请将答案填写在答题卡相应的位置上。） 17．已知复数 ，z2＝2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ，θ∈R）． （1）若 m＝1 时，z1 是关于 x 的方程 2x2+px+q＝0 的一个根，求实数 p，q 的值； （2）若 z1＝z2，求λ的取值范围． 18．已知向量 ＝（2cosα，2sinα）， ＝（6cosβ，6sinβ），且 •（ ）＝2． （1）求向量 与 的夹角； （2）若|t |＝ ，求实数 t 的值． 19．设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a，b，c， ，且 B 为钝角． （1）证明： ； （2）求 sinA+sinB+sinC 的取值范围． 20．如图，设 Ox，Oy 是平面内相交成 60°角的两条数轴， ， 分别是与 x 轴、y 轴同 方向的单位向量．若向量 ＝x +y ，则把有序数对（x，y）叫做 在坐标系 Oxy
    中的坐标．已知向量 在坐标系 Oxy 中的坐标分别为（2，3）、（4，5）． （1）求 ； （2）是否存在 y 轴上一点 C，使得△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出 C 点坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图所示，某市有一条从正南方向 AO 通过市中心 O 后向东偏北 30°的 OB 方向的公路， 现要修建一条地铁 L，在 OA、OB 上各设一站 A，B，地铁线在 AB 部分为直线段，现要求 市中心 O 到 AB 的距离为 10km． （1）若 OA＝15km，求 OB 之间的距离； （2）求 AB 之间距离的最小值． 22．已知向量 ， 是平面内两个不共线的单位向量，C 为平面内一动点，且 ， ． （1）若 P 为 OC 的中点，求向量 与 夹角的余弦值； （2）若| |＜ ，求| |的取值范围．
    一、单项选择题（每小题 5 分）. 参考答案 1．在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是（1，2），则 z•（1+i）对应点的坐标为（ ） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 解：由已知可得 z＝1+2i， 则 z•（1+i）＝（1+2i）（1+i）＝1+i+2i+2i2＝﹣1+3i， ∴z•（1+i）对应点的坐标为（﹣1，3）， 故选：C． 2．在下列向量组中，可以把向量 ＝（3，2）表示出来的是（ ） A． ＝（0，0）， ＝（1，2） B． ＝（﹣1，2）， ＝（5，﹣2） C． ＝（3，5）， ＝（6，10） D． ＝（2，﹣3）， ＝（﹣2，3） 解：根据 ， 选项 A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则 3＝μ，2＝2μ，无解，故选项 A 不能； 选项 B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则 3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得， λ＝2，μ＝1，故选项 B 能． 选项 C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则 3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故 选项 C 不能． 选项 D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则 3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无 解，故选项 D 不能． 故选：B． 3．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a＝ ，c＝2，cosA＝ ，则 b＝（ ） A． B． C．2 D．3 解：∵a＝ ，c＝2，cosA＝ ，
    ∴由余弦定理可得：cosA＝ ＝ ＝ ，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0， ∴解得：b＝3 或﹣ （舍去）． 故选：D． 4．我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东 汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图” 是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第 24 届国际数学家大会的会 徽．如图，大正方形 ABCD 是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ，E 为 BF 的中点，则 ＝（ ） A． B． C． D． 解：如图所示，建立直角坐标系． 不妨设 AB＝1，BE＝x，则 AE＝2x． ∴x2+4x2＝1，解得 x＝ ． 设∠BAE＝θ，则 sinθ＝ ，cosθ＝ ． ∴xE＝ cosθ＝ ，yE＝ sinθ＝ ． 设 ＝m +n ， 则（ ， ）＝m（1，0）+n（0，1）． ∴m＝ ，n＝ ． ∴ ＝ + ，
    故选：A． 5．一个长、宽、高分别为 80cm、60cm、100cm 的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入 一个直径为 40cm 的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么 水槽中的水面升高了（ ） A． cm B． cm C． cm D． cm 解：直径为 40cm 的木球，一半在水中，一半在水上， 可得木球在水中的体积 V＝ ＝ ； ∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积， 水槽上升的体积为 Sh． ∴水槽上升的高度 h＝ ＝ 故选：B． 6．分别以正方形 ABCD 的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ） A．4 个 B．6 个 C．8 个 D．12 个 解：如图，以正方形 ABCD 的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： 故选：C． ，共 8 个．
    7．设复数 z 满足|z﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ） A．（x+1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 解：∵z 在复平面内对应的点为（x，y）， ∴z＝x+yi， ∴z﹣i＝x+（y﹣1）i， ∴|z﹣i|＝ ， ∴x2+（y﹣1）2＝1， 故选：C． 8．在△ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且满足① ，②△ABC 面积 S 满足 1≤S≤2．则下列不等式一定成立的是（ ） A．6≤abc≤12 C． 解：sinAsinBsinC＝ ， 设外接圆的半径为 R， B．12≤abc≤24 D．ab（a+b）＞8 由正弦定理可得： ＝ ＝2R， 由 S＝ absinC，及正弦定理得 sinAsinBsinC＝ ＝ ， 即 R2＝4S， ∵面积 S 满足 1≤S≤2， ∴4≤R2≤8，即 2≤R≤2 ， ∴由 sinAsinBsinC＝ ，可得 8≤abc≤16 ，故 AB 错误； ∴bc（b+c）＞abc≥8，即 bc（b+c）＞8，故 C 错误； ∴ab（a+b）＞abc≥8，即 ab（a+b）＞8，故 D 正确． 故选：D． 二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．设 z 是复数，则下列说法正确的有（ ） A．若 z2≥0，则 z 是实数 B．若 z 是虚数，则 z2≥0 C．若 z2＜0，则 z 是虚数 D．若 z 是纯虚数，则 z2＜0
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