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2022-2023学年江苏省南通市如东县高三上学期期末数学试卷及答案.doc
2022-2023 学年江苏省南通市如东县高三上学期期末数学试
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
卷及答案
1}
， { | 2
x
B
x
B.
1,3
1. 已知集合
A
{ |
x x
A.
1,3
【答案】B
【解析】
8}
，则 A B
C.
（
）
1,
D.
1,2
【分析】解不等式求得集合 B ，由此求得 A B .
【详解】
B
{ | 2
x
x
8} { | 2
x
x
3
2 } {
x x
3}
，
A
{ |
x x
1}
，
A B
x
|1
x
3
1,3
．
故选：B
2. 已知复数 1z ， 2z 是方程 2
x
z
x 的两个根，则 2
z
1
1 0
1
z
B. 1
C.
2
A.
1
【答案】C
【解析】
z
1
（
1
2
）
D. 0
z
【分析】根据韦达定理，可得： 1
z
2
， 1 2
1
z z ，代入进行求解即可．
1
【详解】因为复数 1z ， 2z 是方程 2
x
x 的两个根，
1 0
z
所以 1
z
2
， 1 2
z z ，
1
1
所以
z
2
z
1
1
z
1
2
z
1
z
2
z
2
z
1
1
1
z
1
z
2
z
1
1
1
2
z
2
z z
1 2
z
2
z
1
2
z
1
z
1
z
1
1
2
z z
z
1 2
1
1
z
z
1
1
z
2
2
z
1
z
2
z z
1 2
1 2 1
1 1 1
故选：C
2
．
3. 甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲
不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，则不去的人
是（
）
A. 甲
【答案】D
【解析】
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【分析】假设甲不去，推出矛盾，即可得到甲一定去了，从而得到乙、丙也去了，即可判断；
【详解】解：由题意，若甲不去，则丙不去，乙也不去，同时丁也不去，故没有人去，不符
合题意，
则甲一定去了，所以乙去了，丙也去了，则丁不去；
故选：D
4. 在《 九章算术 商功》中将正四面形棱台体 ( 棱台的上、下底面均为正方形 ) 称为方亭. 在
中，
AB
2
A B
1 1
，方亭的体积为
4
28
3
，则侧面
ABB A 的面积
1 1
B.
7
C. 2 2
D. 3 11
方亭
ABCD A B C D
1
1 1 1
为（
）
A. 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】由棱台的体积求出棱台的高，过 1A 作 1A E
AB
，垂足为 E ，连接 AC ， 1
1AC ，
过 1A 作 1A F
AC
， 垂 足 为 F ， 易 知 四 边 形
ACC A 为 等 腰 梯 形 ， 且
1 1
AC
4 2
，
AC
1
1
2 2
，
AF
2
,
AE ，求出 1AA ，再求出 1A E ，利用梯形的面积公式，即可
1
求出结果．
【详解】设方亭的高为 h ，因为
AB
2
A B
1 1
，方亭的体积为
4
2
2
2
4
2
2
2
4
1
3
所以
V
如图，
，解得 1h ，
h
28
3
28
3
，
过 1A 作 1A E
AB
，垂足为 E ，
连接 AC ， 1
1AC ，过 1A 作 1A F
AC
，垂足为 F ，易知四边形
ACC A 为等腰梯形，
1 1
且
AC
4 2
， 1
AC
1
2 2
，则
AF ，
2
AE
1
AA
1
A F
1
2
AF
2
，
3
因为侧面
ABB A 为等腰梯形，
1 1
所以
A E
1
2
AA
1
2
AE
3 1
，
2
所以侧面
1
ABB A 的面积为
2
1 1
故选: A．
AB A B A E
1
1 1
3 2
．
5. 已知锐角， 满足
sin 2 sin 2
3 1 cos2
1 cos2
，则
tan 的最
大值是（
）
A.
3
3
【答案】D
【解析】
B.
3
4
C.
3
5
D.
3
3
【分析】首先利用二倍角公式以及同角关系化简已知条件，得到 tan， tan的关系，代
入两角差的正切公式，结合基本不等式即可求解．
【详解】因为
sin 2 sin 2
3 1 cos2
1 cos2
，
所以
4sin cos
sin cos
12cos
2
sin
2
，
因为锐角，，所以 tan
3tan
，
tan
所以
tan
tan
1 tan tan
2tan
1 3tan
2
2
3tan
，
1
tan
因为 tan
0 ，所以
1
tan
3tan
2 3
，
当且仅当
tan
时取等号，
3
3
所以
tan 的最大值是 3
3
．
故选：D
6. 已知
3
x
1 (
x
为（
）
A. 25
【答案】C
1)n
的展开式中所有项的系数之和为 64 ，则展开式中含 2x 的项的系数
B. 3
C. 5
D. 33
【解析】
【分析】令 1x 可得展开式中所有项的系数之和求出 n ，再利用展开式的通项公式即可求
解．
【详解】令 1x 可得展开式中所有项的系数之和为 12
n ，故 5n ，
64
又 (
x ，即
1)n
(
x 展开式的通项为
1)
5
rT
1
5C ·r
5
x
r
，
则展开式中含有 2x 的系数为 4
5
3C C
3
5
．
5
故选：C．
7. 已 知 正 项 数 列 na 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ， 1a ， 2a ， 4a 成 等 比 数 列 . 若
24
1
a
1
k
k
3
，则 1a （
）
a
k
1
A.
16
9
【答案】A
B.
9
16
C.
4
3
D.
3
4
【解析】
【分析】设正项等差 数列 na 的公差为d ，且
d ，由等比中项得 2
a
2
0
4·
a a
1
，即
a
1
d
2
·
a a
1
1
3
d
， 得
d
a ，
1
24
1
a
1
k
k
1
d
a
k
1
a
25
a
1
3
， 即
1 5
a
1
a
1
a
1
3
，求得 1a ．
【详解】设正项等差数列 na 的公差为d ，且
d
0
1a ， 2a ， 4a 成等比数列，
2
a
2
4·
a a
1
，即
a
1
d
2
·
a a
1
1
3
d
，
整理得， 2
d
a d ，
1
d
0
，
a ，
d
1
1
a
k
a
k
a
k
a
k
1
a
k
a
k
1
a
k
1
a
k
1
d
a
2
a
1
a
3
a
2
a
25
a
24
1
d
a
1
24
d
a
1
，
3
24
k
1
24
1
k
1
d
a
k
a
k
1
1
a
k
a
k
25
a
1
a
24
k
1
1
a
k
a
k
1
24
1
k
1
d
1 5
即
a
1
a
1
a
1
，即
3
4
a
1
a ，
3
1
a
1
0
，
a ．
1
16
9
故选： A ．
8. 已 知 函 数
f x 的 导 函 数 为
x ， 且
f
f
x
2
f x
若
0.
a
3
2
3
f
ln3
3
，
lnπ
π
2
π
b
π
f
A. c b a
c
C. b
a
，
c
2
f
ln2
2
，则（
）
B. a
b
c
D. a
c
b
【答案】B
【解析】
【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，进而确定正确答案.
【详解】设
g x
2e x
f x
，
则
g x
2e
2x
f x
f
x
，
因为
f
x
2
f x
恒成立，
0
所以 0
g x
，
所以
g x 在
， 单调递增，
则
a
3
2
3
f
ln3
3
g
ln3
3
，
b
π
2
π
f
ln π
π
g
ln π
π
，
c
2
f
ln2
2
g
ln2
2
，
设
h x
ln
x
x
x
，则
h x
0
1 lnx
x
2
，
当0
h x
ex 时， 0
ex 时， 0
h x
，
h x 单调递增，
当
，
h x 单调递减，
所以
3
h
h
π
h
4
，即
ln3
3
ln π
π
ln 4
4
ln 2
2
，
所以
g
ln 3
3
g
ln π
π
g
ln 2
2
，
即 a
．
b
c
故选：B
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论中正确的是（
）
A. 运用最小二乘法求得的回归直线必经过点
，x
y
B. 若相关系数 2R 的值越接近于 0 ，表示回归模型的拟合效果越好
C. 已知随机变量 X 服从二项分布
B
13
， ，则
2
1
E X
2
4
D. 已知随机变量 X 服从超几何分布
H ，， ，则
P X
2 3 6
1
P X
2
4
5
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据回归直线必经过样本点的中心
，x
y ，可判断 A ；根据相关系数的定义可判
断 B；由二项分布的期望公式可判断 C；根据超几何分布的概率公式可判断 D．
【详解】A 项，回归直线必经过样本点的中心
，x
y ，故 A 正确；
B 项，若相关系数 2R 的值越接近1，表示回归模型的拟合效果越好，故 B 错误；
C 项 ， 若 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布
B
13
， ， 则
2
E X ，
3
1
2
3
2
E X
2
1
，故 C 正确；
1 4
2
3
2
对于 D，随机变量 X 服从超几何分布
H ，， ，
2 3 6
则
P X
1
P X
2
1
1
C C
3
3
2
C
6
12
15
，故 D 正确．
4
5
故选：ACD
F
10. 斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足： 1
人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果. 某同学据此改编，研究如下问题：在数列
1
F
， 2
n
，
F
2
F
n
F
n
1
na 中， 1
a
a
2 1
，
a
n
2
a
则（
）
A.
a
5
5
C.
a
n
5
a
10
n
【答案】BC
【解析】
a
，
n
a
n
1
a
，
1
n
a
n
1
3
k
，
(
k
3
k
，
1
n
1
3
Z)
，数列 na 的前 n 项和为 nS ，
B.
a
17
a
16
a
15
D.
S
2022
8804
【分析】根据数列的递推公式求出数列的前17 项，得出数列为从第四项起为周期数列，且
周期为5 ，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
a
【详解】因为 1
a
2 1
，
a
n
2
a
1
n
1
3
a
，
n
a
n
1
a
，
1
n
a
n
1
3
k
，
(
k
3
k
，
Z)
a
所以 3
a
2
a
1
2
a
，
4
a
3
a
2
3
a
，
5
a
1
3
a
6
1
，
4
9
，
a
6
a
9
a
5
1
3
a
4
4
，
a
7
a
6
a
5
5
，
a
8
a
7
a
8
3
a
，
10
1
3
a
9
1
a
，
11
a
10
a
9
4
，
a
12
a
15
a
11
1
3
a
10
5
a
，
13
a
12
a
11
9
a
，
14
a
14
1
a
，
16
a
15
a
14
4
a
，
17
a
16
1
3
a
13
3
，
a
15
5
，...
所以数列从第四项起为周期数列，且周期为5 ，
所以 5
a
n
a
10
n
，故 A 错误，BC 正确；
a
因为 4
a
5
a
6
a
7
a
8
，
3 1 4 5 9
22
所以 2022
S
a
1
a
2
a
3
403 22
a
1
a
2
a
3
a
4
8877
，故 D 错误．
故选: BC．
11. 已知 1F ， 2F 分别为双曲线
C
:
2
x
4
2
2
y
b
1(
b
的左、右焦点，圆 D 是以双曲线C 的
0)
实轴为直径的圆，过 1F 作圆 D 的切线与C 交于 M 、N 两点. 若
cos
F NF
2
1
，则 1F N
3
5
（
）
A. 1
【答案】AD
【解析】
B. 4
C. 5
D. 9
【分析】根据 ,M N 在双曲线的两支或双曲线的一支进行分类讨论，结合圆的几何性质以及
双曲线的定义，先求得 2F N ，然后求得 1F N .
【详解】双曲线
C
:
2
x
4
2
2
y
b
1(
b
，则 2
a ，
0)
圆 D 是以双曲线C 的实轴为直径的圆，则圆 D 方程为 2
x
2
y
，
4
当直线与双曲线交于两支时，
设过 1F 的切线与圆 D 相切于点 P ，
则
OP a ，
2
OP PF ，
1
因为 1OF
c ，所以
PF
1
2
1 |
OF
OP
2
|
2
c
2
a
，
b
过点 2F 作 2F Q MN
于点 Q ，
所以
//OP F Q ，
2
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