数字信号处理 一、模拟信号和数字信号概念  数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是针对数字信号的数学过程。信号可 分为模拟信号（Analog Signal）和数字信号（Digital Signal），硬件系统一般直接获取到 模拟连续信号，计算机处理对象一般为离散的数字信号。  信号的两种表示：时域表示和频域表示（频谱），一个时域的方波，可分解为一个正弦 基波和这个正弦波的所有谐波。  调幅（Amplitude Modulation，AM）载波的振幅随着调制信号的某种特征的变换而变 化，调频（ Frequency Modulation，FM）载波的瞬时频率按照所需传递信号的变化规 律而变化。  卷 积 （ convolution ） ， 对 连 续 函 数 的 卷 积 定 义 为 一维离散序列的卷积定义为（类似于加权滑动平均计算） 图像处理中卷积形式为二维或者更高维。  正交函数集合：若 n 个函数φ1(t),φ2(t),...,φn(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1,t2) 内满足： 则此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。如果在正交函数集{φ1(t),φ2(t),...,φn(t)}之外， 不 存 在 任 何 函 数 φ (t)( ≠ 0) 能 够 满 足 正 交 条 件 ： 则称此函数集为区间(t1,t2)上的完备正交函数集。三角函数集{1,cos(Ωt),cos(2Ωt),...,sin(Ω 

t),sin(2Ωt),...}与虚指数集{e^jΩnt, n∈Z}都是在(t0,t0+T)(t=2π/Ω)上的完备正交函数集。 傅里叶变换就是将目标函数分解为完备正交函数集（一般为三角函数集和虚指数集）的 过程，三角函数或者虚指数函数的角频率对应目标函数的频域特征。  单位冲激函数：t≠0 时， ，t=0 时， ，模拟信号 f(t)的采样就是 f(t)与一系列冲激函数（平移 NT 个单位，N 为自然数）的乘积。  二、数字信号的频谱分析方法  采样：通过对模拟信号进行采样，可得到数字信号（离散序列），模数转换时采样率必 须大于所输入的模拟信号频谱成分中最高频率的两倍（Nyquist Sampling Theory），否 则会发生混叠现象。采样率变换方法包括抽取和内插，其中内插一般有线性内插和零值 内插（此时还需对信号进行低通滤波处理）  频谱：时域信号转换为频域的图像，频谱图横轴为频率，纵轴为对应频率分量的振幅。 从时域到频域的变换一般使用离散傅里叶变换（discrete Fourier transform，DFT）、快 速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）、连续小波变换（continuous wavelet transform，CWT）、离散小波变换（discrete wavelet transform，DWT）等。  一维连续函数的傅里叶变换 一维周期序列的 DFT 过程： 离散周期序列只有 N 个谐波分量基波 e^jΩk，二次谐波 e^j2Ωk，…，N-1 次谐波 e^j（N-1）Ωk。实际处理中将有限长的序列作为周期性离散信号的一个周期来处理， 从而可以在计算机中运用上述 DFT 变换处理信号。  FFT 过程：上述 DFT 过程的时间复杂度为 O（n*n），FFT 对 DFT 的过程进行简化处理， 

FFT 计算 DFT 的时间复杂度为 O（n*logn），其计算结果与 DFT 一样，但计算量要小得 多。 假设有一个采样率为 40 且时间长度为 1S 的数字信号 ni，它对应的模拟连续信号是由 2Hz、6Hz 、10Hz 的正弦信号叠加而来（其频谱应该由 2、6、10Hz 的分量构成），类 似一个周期为 0.5S 的方波。现对这个数字序列做 FFT：首先用一个同样 40 采样率、长 度为 1S、一个周期的正弦信号 s1i，与原始数字信号做卷积和得到频谱函数的第一个值 X1=P1+P2+…+P40，其中 Pi = ni*s1i（此处符号*为乘号，不是卷积符号），接着，用一 个 40 采样率、长度 1S、二倍周期的正弦信号 s2i，与原始数字信号做卷积得到频谱函 数的第二个值 X2，计算方法同上，以后的 Xi 的计算方法同样。最后得到的频谱函数的 值如下： X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 0 20 0 0 0 6.66 0 0 0 4 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见，频谱只有 2Hz，6Hz，10Hz 的分量，其幅值表示此处的频率分量占的比重  小波变换过程：当信号的频率分量随时间变化时，小波分析不仅能够提供信号频谱信息， 还能够提供这些频谱分量在什么时候出现。小波变换使用小波代替正弦波来进行卷积比 较，并且小波的频率和位置不断变化，而比较 FFT 中正弦波仅有频率变化，其位置是不 变的。小波的位置不断变化，就能在对应的位置得到相应的卷积值，表示原始波形与该 频率、改位置的小波的契合程度，从而可以同时得到原始信号的频谱和该频率出现的位 置。  频谱滤波：根据卷积和傅里叶变换的性质有结论 f1(t)*f2(t) F1(jω)F2(jω)，即时 域卷积和频域相乘是等价的，因此对原始时域信号可进行卷积从而达到滤波的效果，对 滤波器的频域特性进行逆变换，得到想要的滤波器的时域表达式。 三、常见数字滤波器原理解析 数字滤波 DF（digital filter）是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。功能：把输入 

序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不 同。（这一运算就是“滤波”作用，广义而言，也是信号处理） 设 ( ) x n 是系统的输入， ( )jwX e 是其傅氏变换。 ( ) y n 是系统的输出， ( Y e 是其傅氏 )jw 变换 ( )x n ( )h n ( ) y n 则 LTI 系统（Linear time-invariant systems 线性时不变系统）的输出为： ( ) y n    m  ( ( h n m x m F X e H e ) ( 1 [    ) ( ) jw jw )] 输入序列的频谱 ( X e 经过滤波器（其系统性能用 ( )jwH e 表示）后变成 ( X e H e ， )jw ) ( ) jw jw 选取 ( )jwH e ，使滤波器输出 ( X e H e 符合我们的要求，这就是数字滤波器的工作原 ) ( ) jw jw 理。  低通滤波器：低频信号可通过，高频信号被阻止  带通滤波器：中频信号可通过，低频和高频信号被阻止  高通滤波器：高频信号可通过，低频信号被阻止  带阻滤波器：低频和高频信号可通过，中频信号被阻止 

 FIR（有限长单位冲击响应）： FIR 滤波器稳定，具有线性相位。  IIR（无限长单位冲击响应）： IIR 滤波器实现起来比 FIR 简单，常用于低通、高通、带通及带阻滤波器的实现。  巴特沃斯（Butterworth）滤波器：通频带内外都有平稳的幅频特性，但有较长的过渡 带，在过渡带上很容易造成失真。  切比雪夫（Chebyshev）滤波器：切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的 误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。  贝塞尔（Bezier）滤波器：贝塞尔滤波器通带等纹波，阻带下降慢，但具有最佳的线性 相位特性。  椭圆滤波器：在阶数相同的条件下,椭圆滤波器相比于其他类型的滤波器，能获得更窄 的过渡带宽和较小的阻带波动。