1997年考研数学二真题及答案.doc-资料库

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1997年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 已知 f (x)   (cos x)x2 , a, x  0, x  0 在 x  0 处连续,则 a  ................. (2) 设 y  ln 1 x 1 x2 ,则 y x0  .................. (3)  dx x(4  x) dx   ..................  . (4) 0 (5) 已知向量组1  (1,2,1,1),2  (2,0,t,0),3  (0,4,5,2) 的秩为 2,则t  ............ x2  4x  8 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 x  0 时 , etan x  ex 与 xn 是同阶无穷小 , 则 n 为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 b (2) 设在区间[a,b] 上 f (x)  0, f (x)  0, f (x)  0, 记 S1  a f (x)dx, S2  f (b)(b  a) , [ f (a)  f (b)](b  a) , 则 ( ) S3  1 2 (A) S1 S2  S3 (B) S2  S3  S1 (C) S3  S1  S2 (D) S2  S1  S3 (3)已知函数 y  f (x) 对一切 x 满足 xf (x)  3x[ f (x)]2 1 e x ,若 f (x )  0(x  0), 0 0 ( ) 则 (A) f (x0) 是 f (x) 的极大值 (B) f (x0) 是 f (x) 的极小值 (C) (x0, f (x0)) 是曲线 y  f (x) 的拐点 (D) f (x0) 不是 f (x) 的极值, (x0, f (x0)) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点 (4) 设 F (x)  x2esin t sin tdt, 则 F (x) ( )  x

(A) 为正常数 (B) 为负常数(C) 恒为零 (D) 不为常数 x  0 0 , f (x) 2, x (5) 设 g(x) 2  x, x  2 x2 , (A)  2  x,  2 x2 , (C)  2  x,  x  0 x  0 x  0 x  0 (B)  2  x, (D)  2  x, x2 , x,  x  0 , 则 g[ f (x)] 为 ( ) x  0 2 x2 ,  2 x2 ,  x  0 x  0 x  0 x  0 三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (1) 求极限 lim x 4x2  x 1 x 1 . x2  sin x x  arctan t (2) 设 y  y(x) 由  2y ty2  et  5  所确定,求 dy . dx (3) 计算  e2 x(tan x 1)2dx . (4) 求微分方程(3x2  2xy  y2 )dx  (x2  2xy)dy  0 的通解. (5) 已知 y  xex  e2 x, y  xex  e x, y 1 2  xex  e2 x  e x 是某二阶线性非齐次微分方程 3 的三个解,求此微分方程. 1 1 1 1  ,且 A2  AB  E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B . (6) 已知 A  0   0 0 1 1 四、(本题满分 8 分.) 取何值时,方程组 2x1  x2  x3  1 x  x  x  2  4x  5x  5x  1  多解时写出方程组的通解. 3 3 1 1 2 2 无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷五、(本题满分 8 分) 设曲线 L 的极坐标方程为 r  r() , M (r,) 为 L 上任一点, M 0 (2, 0) 为 L 上一定点, 若极径OM 0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 , M 两点间弧长值的一半,求曲线 L 的方程.

六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在闭区间[0,1] 上连续,在开区间(0,1) 内大于零,并满足 xf (x)  f (x)  3a x2 ( a 为常数),又曲线 y  2 y  f (x) ,并问a 为何值时,图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. f (x) 与 x  1, y  0 所围成的图形 S 的面积值为 2,求函数七、(本题满分 8 分.) 已知函数 f (x) 连续,且lim f (x)  2 ,设(x)  1 f (xt)dt ,求(x) ,并讨论(x) 的连续性. x0 x 0 八、(本题满分 8 分) 就 k 的不同取值情况,确定方程 x  的结论.  2 sin x  k 在开区间 (0, ) 内根的个数,并证明你  2

答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) 1 (1)【答案】e 2 由于 f (x) 在 x  0 处连续,故 f (0)  lim f (x)  lime x0 x0 ln f (x)  lime x0 2 ln(cos x)x 1 (sin x) x2 ln cos x  lim e x0 (2)【答案】  题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下： lncosx 2 x lncos x 2 x  lim e x0 lim  e x0  1  ex0 2 x cos x  e 2 lim  sin x 洛必达 lim cosx  ex0 2 x 3 2 y  1 ln(1 x)  ln(1 x2) , y  1 ( 1  1 1 2 1 x 1 x2 2x )   2 y   2(1 x)2  1 x2 (1 x2 )2  C 或 2arcsin x ,  2(1 x) 1 x2   3 ,  . y x0 2 x  C 2 (3) 【答案】arcsin 2 题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：方法 1：原式 = dx 4  (x  2)2    arcsin x  2 2  C . d ( x  2) 1 ( x  2)2 2 2

方法 2：原式   dx x 4  ( x )2  2 d x 4  ( x )2  2 (4) 【答案】  8 d x 2 1 ( x )2 2  2arcsin  C . x 2 题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：  原式  dx  0 4  (x  2)2 1 x  2 2 2  arctan  0 2 d ( x  2) 1 ( x  2)2    . 2  (  )  1  2 0 1 2 2 4 8 (5) 【答案】3 方法 1：利用初等变换. 以1 ,2 ,3 为行构成3 4 矩阵,对其作初等变换： 1 1  212 0   0 2 1    0 4 t  2 2 , 0  1  1 2      2 0 A  2  3  0 4 1 2 321 1 t 5 1 3 t 0 0 2 1   4 t 2 5 1    2 2 0 4 1  因为r  A  r 2   3    2,所以3  t  0,t  3 . 方法 2：利用秩的定义. 1  由于r 2   r  A  2,则矩阵 A 中任一三阶子行列式应等于零.   3  2 0 1  1    2   2  3  0 4 1 t 5 1  0  ,  2 应有 2 1 0 2 0 4 1 t 5 2 1 1 1  0 4 t  2  0 0 0 4 5 1 2 4 t  2  0 , 0 3 t

解得t  3 . 方法 3：利用线性相关性. 因为 r , ,  rA  2,故, , 线性相关,  以T ,T ,T 组成的线性齐次方 1 2 3 1 2 3 1 2 3 程组T x T x T x  BX  0 有非零解,因 1 1 2 2 3 3 3 2 1  1  2 B  T ,T ,T   1 t  1 2 0  0 4  5   0 2   1  2   212 0  1 2 0  2 1  4  4 32t2 0 1 31 1   4110 4  422    0 0 t 3 0 t  2 5   2 2  0  0 0 0      , 故 BX  0 有非零解 t  3 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 【答案】(C) 题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下： lim x0 etan x  ex xn  limex x0  etan x x 1 tan x  x 洛必达 xn  lim x0 etan x  ex 与 x3 同阶,故应选(C). (2) 【答案】(D) sec2 1 tan2 x n3  lim x0 nxn1  lim x0 nxn1  lim x2 x0 3x2 xn 1  , 3 f (x) 是方法 1：用几何意义.由 f (x)  0, f (x)  0, f (x)  0 可知,曲线 y  b 上半平面的一段下降的凹弧, y  f (x) 的图形大致如右图. y S1  a f (x)dx 是曲边梯形 ABCD 的面积； S2  f (b)(b  a) 是矩形 ABCE 的面积； S3  1 2 [ f (a)  f (b)](b  a) 是梯形 ABCD 的面积. 由图可见 S2  S1  S3 ,应选(D). D E A a O C B b x 方法 2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的 f (x) 都成立的结果,故可以取满足条件的特定的 f (x) 来观察结果是什么.例如取 f (x)  1 x2 , x [1, 2],则

2 1 S1  1 x2 dx  1 2 , S2  1 4 , S3  5 8  S2  S1  S3 . 【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点, 使a f (x)dx  f ()(b  a), a   b 成立,再由 b f (x)  0, 所以 f (x) 是单调递减的,故 f ()  f (b), 从而 b S1  a f (x)dx  f ()(b  a)  f (b)(b  a)  S2 . x 为证 S3  S1 ,令(x)  [ f (x)  f (a)](x  a)  a f (t)dt, 则(a)  0, 1 2 (x)  1 f (x)(x  a)  1 ( f (x)  f (a))  f (x) 2 2 2  1 f (x)(x  a)  1 ( f (x) f (a)) 2  1 f (x)(x  a)  1 f ()(x  a) 2  1 ( f (x)  f ())(x  a), 2 2 (a  x)(拉格朗日中值定理) 由于 f (x)  0 ,所以 f (x) 是单调递增的,故 f (x)  f () , (x)  0 ,即(x) 在[a, b] 上单调递增的.由于(a)  0, 所以(x)  0, x [a, b] ,从而 (b)  1 2 [ f (b)  f (a)](b  a) a b f (t)dt  0 , 即 S3  S1 .因此, S2  S1  S3 ,应选(D). 如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证. (3) 【答案】(B) 题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：由 f (x )  0 知 x  x 为 f (x) 的驻点. 把 x  x 代入恒等式 x f (x )  1 e x0 , 即 .由于分子、分母同号,故 f (x )  ,因此驻点  为极小值点.应选 0 0 0 0 0 0 x x0 f (x )   0 0   x0 1 e x 0

(B). (4) 【答案】(A) 由于函数esin t sin t 是以2为周期的函数,所以, F(x)   x2esin t sin tdt   2esin t sin tdt , 0 x F (x) 的值与 x 无关.不选 D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关). 估计 2esin t sin tdt 的值有多种方法.  0 方法 1：划分esin t sin t 取值正、负的区间. F(x)   2esin t sin tdt  esin t sin tdt   2esin t sin tdt  0 0 0  esin t sin tdt  esin u (sin u)du   (esin t esin t ) sin tdt   0 0 当0  t  时, sin t  0 , esin t  esin t  0, 所以 F (x)  0 .选(A). 方法 2：用分部积分法. 0  F (x)  2esin t sin tdt   2esin t d cos t    esin t cos t 2 2cos tdesin t  e0 (11)  2esin t cos t 2dt  2esin t cos t 2dt  0.  0 0 0  0  0 故应选(A). 【评注】本题的方法 1 十分有代表性. 被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可. (5) 【答案】(D) 题目考察函数的复合问题,分清内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域. 当 x  0 时, f (x)  x2  0 ,则 g[ f (x)]  f (x)  2  x2  2 ；当 x  0 时, f (x)  x  0 ,则 g[ f (x)]  2  f (x)  2  (x)  2  x . 故 g[ f (x)]   x2  2,  2  x, x  0 x  0 ,因此应选(D). 三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)

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