1997年考研数学三真题及答案.doc-资料库

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1997 年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1) 设 y  f ( ) (ln ) f x ,其中 f 可微,则 dy  ___________. x e 1 1 x  y   t (2) 若 ( ) f x   1  x 2 1  0 ( ) f x dx ,则 1  0 ( ) f x dx  ___________. 2 (3) 差分方程 1 y t  的通解为___________. t 2t (4) 若二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 2 x 1  x 2 2  2 x 3  2 x x 1 2  tx x 2 3 是正定的,则t 的取值范围是 ___________. (5) 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布 N 2 (0,3 ) X ,而 1 , X 和 1 Y , 9 , Y 分 , 9 别是来自总体 X Y和的简单随机样本,则统计量 U  X X    1 9 2 2 Y Y    1 9 服从___________ 分布(2 分),参数为___________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 ( ) f x 1 cos   0 x sin 2 ( ) t dt g x ,  5 x 5  6 x 6 ,则当 x  时, ( ) f x 是 ( )g x 的 0 ( ) (A) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (2) 若 ( f  x )  ( )( f x 内有     ,在 ( x ) (B) 高阶无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小  内 ( ) 0 f x ,0)  ,且 ( ) 0  ,则在 (0, x f ) ( ) (A) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (B) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (C) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (D) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (3) 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( ) (A) 2  1 3  , 2 1  , 3 (B) 2  1 3  , 2 2   , 1 3   2 (C) 22  1 , 2 3  3 2 , 3  1 3 (D)    3  1 2 , 2    3 22 3   1 2 , 3    3 5 5   1 2

一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1) 设 y  f ( ) (ln ) f x ,其中 f 可微,则 dy  ___________. x e 1 1 x  y   t (2) 若 ( ) f x   1  x 2 1  0 ( ) f x dx ,则 1  0 ( ) f x dx  ___________. 2 (3) 差分方程 1 y t  的通解为___________. t 2t (4) 若二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 2 x 1  x 2 2  2 x 3  2 x x 1 2  tx x 2 3 是正定的,则t 的取值范围是 ___________. (5) 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布 N 2 (0,3 ) X ,而 1 , X 和 1 Y , 9 , Y 分 , 9 别是来自总体 X Y和的简单随机样本,则统计量 U  X X    1 9 2 2 Y Y    1 9 服从___________ 分布(2 分),参数为___________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 ( ) f x 1 cos   0 x sin 2 ( ) t dt g x ,  5 x 5  6 x 6 ,则当 x  时, ( ) f x 是 ( )g x 的 0 ( ) (A) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (2) 若 ( f  x )  ( )( f x 内有     ,在 ( x ) (B) 高阶无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小  内 ( ) 0 f x ,0)  ,且 ( ) 0  ,则在 (0, x f ) ( ) (A) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (B) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (C) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (D) f x ( ) 0  , f x ( ) 0  (3) 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( ) (A) 2  1 3  , 2 1  , 3 (B) 2  1 3  , 2 2   , 1 3   2 (C) 22  1 , 2 3  3 2 , 3  1 3 (D)    3  1 2 , 2    3 22 3   1 2 , 3    3 5 5   1 2 (4) 设 ,A B 为同阶可逆矩阵,则 (A) AB BA ( ) (B) 存在可逆矩阵 P ,使 1P AP B  

(C) 存在可逆矩阵C ,使 TC AC B (D) 存在可逆矩阵 P 和Q ,使 PAQ B (5) 设两个随机变量 X 与Y 相互独立且同分布：  P X  1     P Y  1    1 2 ,  P X  1 ( )   P Y   1  ,则下列各式中成立的是 1 2   1 2  0  (A)  P X Y (C)  P X Y  1 4 (D)  P XY  (B)  P X Y  1  1 4   1 三、(本题满分 6 分) 在经济学中,称函数 (1   为固定替代弹性生产函数,而称函数 [ A K  ( ) Q x   x  1 x )   L x ] Q AK L   1 为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 C—D 生产函数). 试证明：但 x  时,固定替代弹性生产函数变为 C—D 生产函数,即有 0 Q x Q  lim ( ) x  0 . 四、(本题满分 5 分) 设 u  , ) ( , f x y z 有连续偏导数 , y  ( ) y x 和 z  ( ) z x 分别由方程 xye y  和 0 xe xz  所确定,求 0 du dx . 五、(本题满分 6 分) 一商家销售某种商品的价格满足关系 p   7 0.2 x (万元/吨), x 为销售量(单位：吨), 商品的成本函数 C 3 x 1  (万元). (1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大. 六、(本题满分 6 分) 设函数 ( ) f x 在[0, ) 上连续、单调不减且 (0) 0  ,试证函数 f ( ) F x 1 x       0 f x nt 0, ( ) t dt , x 若  0, 若 x  0, 在[0, ) 上连续且单调不减(其中 0 n  ).

七、(本题满分 6 分) 从点 1(1,0) P 作 x 轴的垂线,交抛物线 y 2 x 于点 1(1,1) Q ；再从 1Q 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 2P ,然后又从 2P 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点 1 P Q P Q 2 ; , , 1 2 ; P Q ; , n ;  . n (1) 求 nOP ； (2) 求级数 1 1 Q P Q P 2 2     Q P n n   的和. 其中 ( n n  为自然数,而 1 2M M 表示点 1M 与 2M 之间的距离. 1) 八、(本题满分 6 分) 设函数   t 在[0, f ) 上连续,且满足方程 f ( ) t  e 2 4 t   2 x  求 ( ) t . f f ( 1 2 2 4 t 2 x  2 y dxdy ) ,  2 y  九、(本题满分 6 分) 设 A 为 n 阶非奇异矩阵,为 n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵 P  E T       A 0 A    , Q  A   T      b  ，其中 A 是矩阵 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简 PQ ； (2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是十、(本题满分 10 分)   T A 1 b  .  1 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1,2,3；矩阵 A 的属于特征值 1,2 的特征向量分别是 T ( 1, 1,1) ,    (1) 求 A 的属于特征值 3 的特征向量； (2) 求矩阵 A . (1, 2, 1)    2  . T 十一、(本题满分 7 分)

假设随机变量 X 的绝对值不大于 1； { P X    1} 1 8 , { P X  1}  ；在事件 1 4 { 1   X 1}  出现的条件下, X 在 ( 1,1) 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求 X 的分布函数 ( ) F x  { } P X x  . 十二、(本题满分 6 分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第 X 分钟到达底层候梯处,且 X 在[0,60] 上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望. 十三、(本题满分 6 分) 两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度 ( ) t 、数学期望和方差. f

答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】 ( ) 1[ f xe x f   ln x   f   x f  ln  x dx ] (2)【答案】 (3)【答案】  4  ( ty C t    2)2t  (4)【答案】 2 2 (5)【答案】t 分布,参数为 9   t 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(B) (2)【答案】(C) (3)【答案】(C) (4)【答案】(D) (5)【答案】(A) 三、(本题满分 6 分.) 化简有  X 9 Y  ~ (9) t ,即三、(本题满分 6 分.) X 19  9    X 9 1 2 ( Y 1    2 Y 9 )  X X    1 9 2 2 Y Y    1 9 ~ (9) t . 【分析】要证明 lim ( ) x  Q x Q  0 ,只须证明 limln ( ) Q x x  0  ln Q 即可,因为 ( )Q x 为指数函数,因  A  ln ln[ K  ln ( ) Q x 【解析】因为此化为对数形式便于极限计算. 1 x (1   x ) (1  K L    x x (1 )  L    )ln ln( L   ln  K  (1   K   lim 0 x  lim 0 x  K     ln[  )   L ln K x ]   x  x  x (1   )   L x ] ,而且 x ln L 1  K L ),   所以, 于是, limln ( ) Q x x  0 lim ( ) Q x x  0  四、(本题满分 5 分.)  ln A  ln( 1  K L )    ln( 1  AK L   , )   1 Q AK L  .

【解析】由题设有 du dx  f  x   f dy  y dx   f dz  z dx  . 在 xye y  中,将 y 视为 x 的函数,两边对 x 求导,得 0 xy e ( y  x dy dx )  dy dx    0 dy dx xy ye xe  1  xy y  1 2 xy . 在 ze xz  中,将 z 视为 x 的函数,两边对 x 求导,得 0 z e dz dx 将(1)、(2)两式代入( )式,得 dz dx   x z    0 dz dx z  x z e  z  xy . x (*) (1) (2) du dx  f  x   y  2 f  xy y  1  f z  x z   xy . 五、(本题满分 6 分) 【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系 ( )x ,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出 ( )x 后,满足 x 0( ) 0  的 0x 即为利润最大时 x t 是 t 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额的销售量,此时, 0( ) 数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t . 【解析】(1)设T 为总税额,则T tx (7 0.2 ) x x  .商品销售总收入为 R px 0.2 7     x x . 2 ( ) T tx t  ,再由导利润函数为      R C T 7 x  0.2 x 2  令 ( ) 0 x  ,即 0.4  x    ,得 4 t x 1 3 x   4 t  0.4  tx   5 (4 2  0.2 x 2  (4  ) t x  1 . )  . t x 由于 ( ) 0.4 0  ,因此,  即为利润最大时的销售量. 0 5 (4 2 T t   t x  ) 5 (4 2  ,得惟一驻点 2 ,得 0   5 (4 2  T t   (2)将 x  代入T tx t )  t )  10 t  由 ( ) 10 5 t  T t t  ；由于 ( ) . 25 t 2    ,可见当 2 5 0 t  时T 有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大. 六、(本题满分 6 分) 【分析】当 0 x  时, ( )F x 显然连续,故只要证 lim ( ) F x  0 x  F (0) ,且当 0 x  时, F x ( ) 0 

即可. 【解析】方法 1：显然 0 x  时, ( )F x 连续,又由洛必达法则知 lim ( ) F x x  0  ( ) t dt x n t 0  f x  lim 0 x    lim 0 x   n x f x ( ) 0   F (0) , 所以 ( )F x 在[0, ) 上连续. 当 (0, x   时, )  ( ) F x  n 1  x ( ) f x  x x  2 0 n t f ( ) t dt n 1  x  n f ( ) ( ) f x    2 x x , 0    . x 由于 ( ) f x 单调不减,故 ( ) f x ( ) f  ,又 n n x  ,从而 n ( ) x f x n ( )   . f 于是有化简有 F x  ( ) 0   0    .故 ( )F x 在[0, x  ) 上单调不减.  X 9 Y  ~ (9) t ,即 X 19  9 1 2 ( Y 1    X 9    2 Y 9 )  X X    1 9 2 2 Y Y    1 9 ~ (9) t . 七、(本题满分 6 分) 【分析】先作出草图,再求出曲线 y 2 x 在任一点 ( , a a 上的切线方程及其与 x 轴的交点, ) 2 然后依此类推,得出一系列与 x 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. y O y 2 x 1Q 2Q 1 1P 2P x 3Q 3P 【解析】(1)由 y 2 x ,得 y   2 x .对于任意 (0 a 1) a  , 抛物线 y 2 x 在点 ( , a a 处的切线方程为 ) 2 且该切线与 x 轴的交点为 ( y a  2   2 ( a x a a 2 ,0) ) . ,故由 1 1 OP  可见 OP 1  1 , 2 1 1 2 2 OP 2    1 , 2 2  OP 2 1 2 1 2  OP 3  OP n  1 . 2 1  n (2)由于 Q P n n  2 n  2  OP n 2      1 2     1 1 n 4  ,可见

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