1997年考研数学一真题及答案.doc

发布时间：2022-09-22 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.51M 资料格式：doc 举报版权申诉

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1997 年考研数学一真题及答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1) . (2) 设幂级数的收敛半径为 3,则幂级数的收敛区间为 . (3) 对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 . (4) 设 (5) 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 , 为三阶非零矩阵,且 . ,则 = . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 在点处 ( ) (B) 连续,偏导数不存在 (D) 不连续,偏导数不存在令 ( ) , (1) 二元函数 (A) 连续,偏导数存在 (C) 不连续,偏导数存在 (2) 设在区间上 (A) (C) ,则 (B) (D) (3) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零则 ( (D) 不为常数 )

(4) 设 (A) (B) (C) 秩 (D) 则三条直线 , , (其中 )交于一点的充要条件是 ( ) 线性相关线性无关秩线性相关, 线性无关 (5) 设两个相互独立的随机变量和的方差分别为 4 和 2,则随机变量的方差是 ( ) (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 计算面所围成的区域. 其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平 (2) 计算曲线积分 , 其中是曲线从轴正向往轴负向看, 的方向是顺时针的. (3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 , 在时刻已掌握新技术的人数为 ,在任意时刻已掌握新技术的人数为 (将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数求 . 四、(本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 7 分,满分 13 分.) (1) 设直线在平面上 , 且平面与曲面相切于点 ,求之值.

(2) 设函数具有二阶连续导数,而满足方程 ,求 . 五、(本题满分 6 分) 设连续, 处的连续性. 六、(本题满分 8 分) 设 (1) 存在；且 ( 为常数),求并讨论在证明： (2) 级数收敛. 七、(本题共 2 小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,满分 11 分.) (1) 设是秩为 2 的矩阵, 是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基. (2) 已知是矩阵的一个特征向量. (Ⅰ) 试确定参数及特征向量所对应的特征值； (Ⅱ) 问能否相似于对角阵？说明理由. 八、(本题满分 5 分) 设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为 . (1) 证明可逆； (2) 求 . 九、(本题满分 7 分) 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立

的,并且概率都是 .设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望. 十、(本题满分 5 分) 设总体的概率密度为其中是未知参数. 是来自总体的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量.

答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】【分析】这是型极限.注意两个特殊极限【解析】将原式的分子、分母同除以 ,得 . 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是应存在或为 ,而本题中, 极限不存在,也不为 ,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则. 【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】【解析】考察这两个幂级数的关系.令 ,则 . 由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径, 的收敛半径为 3 的收敛半径为 3.从而的收敛半径为 3,收敛区间即(-3,3), 回到原幂级数 ,它的收敛区间为 ,即 . 评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于 ,若它的收敛半径是 .但是若只知它的收敛半径为 ,

则 ,因为可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形). (3)【答案】【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率 ,而可由的参数方程求得： , 所以切线的方程为评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系. ,即 . (4)【答案】【解析】由 ,对按列分块,设 ,则即是齐次方程组的解. 又因 ,故有非零解,那么 , , 由此可得 . 评注：若熟悉公式 ,则 ,可知 ,亦可求出 . (5)【答案】【解析】方法 1：利用全概率公式. 求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题. “第个人取得黄球”, 设事件球和第一个人取得白球).根据题设条件可知 ,则完全事件组为 (分别表示第一个人取得黄

；； (第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成 ,球的总数变成 ,第二个人取得黄球的概率就为 )； (第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为 20,球的总数变成 50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为 ). 故应用全概率公式方法二：利用“抽签原理”. 只考虑第二个人取得的球,这 50 个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是 . 我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有 20 个,所以第二个人取到黄球的概率为 . 【相关知识点】1.全概率公式: ； 2. 古典型概率公式： . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(C) 【解析】这是讨论在点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义由于偏导数且 , , .

再看在是否连续？由于因此在不连续.应选(C). , 评注：① 证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数在某点不连续的方法之一是：证明点沿某曲线趋于时, 的极限不存在或不为 . ② 证明不存在的重要方法是证明点沿两条不同曲线趋于时, 的极限不想等或沿某条曲线趋于时, 的极限不存在. 对于该题中的 ,若再考察 , 不存在. 由本例可见,函数在一点处不连续,但偏导数却可以存在.容易找到这种例子,例如它在点处连续,但性与偏导数的存在性可以毫无因果关系. (2)【答案】(B) 与都不存在.可见二元函数的连续【解析】方法 1 ：用几何意义 . 由可知 , 曲线是上半平面的一段下降的凹弧, 的图形大致如右图.

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