2019 数学建模国赛 A 题解题思路（公众号“科研交流”提供，请勿外传） 2019 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题 高压油管的压力控制 燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础，图 1 给出了某高压 燃油系统的工作原理，燃油经过高压油泵从 A 处进入高压油管，再由喷口 B 喷 出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷 出的燃油量出现偏差，从而影响发动机的工作效率。 图 1 高压油管示意图 问题 1. 某型号高压油管的内腔长度为 500mm，内直径为 10mm，供油入口 A 处小孔的直径为 1.4mm，通过单向阀开关控制供油时间的长短，单向阀每打开 一次后就要关闭 10ms。喷油器每秒工作 10 次，每次工作时喷油时间为 2.4ms， 喷油器工作时从喷油嘴 B 处向外喷油的速率如图 2 所示。高压油泵在入口 A 处 提供的压力恒为 160 MPa，高压油管内的初始压力为 100 MPa。如果要将高压油 管内的压力尽可能稳定在 100 MPa 左右，如何设置单向阀每次开启的时长？如 果要将高压油管内的压力从 100 MPa 增加到 150 MPa，且分别经过约 2 s、5 s 和 10 s 的调整过程后稳定在 150 MPa，单向阀开启的时长应如何调整？ 这个题目实际上来说不是一道传统意义上的建模题目，更像是一道数学应用 求解题目，题目的难度在于搞清楚各类变量之间的关系，弄明白他们之间的联系 是重点，对于第一问，基本求解的点在于如何在稳定高压油管内压的情况下设置 单向阀开启时长。在求解时我们可以设置时间为 x 未知数，高压油管的压力是通 过其密度反映出来的，其比例系数题目已知，而通过 A 口进入的油量，在油管体 积不变的情况下会自然改变油管内油的密度，密度改变，压力就会变，而在 A 口时间 x 范围内进入的油量可以通过注 2 计算得到，至于稳定在 100MPa 左右， 这个左右指的是允许有一定的误差变动，A 口进则 B 口需要出，在 x 时间变化内 需要计算出 B 口输出的流量，其与进入流量应该保持一致，注意因为 B 口流量输 

2019 数学建模国赛 A 题解题思路（公众号“科研交流”提供，请勿外传） 出存在时间关系，所以要增加一个约束，及在时间变动基础上 A 进入的流量带来 的压强变化不得超过前面设置的误差量。所以我们可以构建规划模型来求解该问 题，模型目标函数为压强变化值趋向于 0，约束条件为喷油速率、密度和压强固 定关系以及误差区间等因素，在求解时可以选择遗产算法或者粒子群算法等进行 求解即可。 图 2 喷油速率示意图 问题2. 在实际工作过程中，高压油管A处的燃油来自高压油泵的柱塞腔出口， 喷油由喷油嘴的针阀控制。高压油泵柱塞的压油过程如图3所示，凸轮驱动柱塞 上下运动，凸轮边缘曲线与角度的关系见附件1。柱塞向上运动时压缩柱塞腔内 的燃油，当柱塞腔内的压力大于高压油管内的压力时，柱塞腔与高压油管连接的 单向阀开启，燃油进入高压油管内。柱塞腔内直径为5mm，柱塞运动到上止点位 置时，柱塞腔残余容积为20mm3。柱塞运动到下止点时，低压燃油会充满柱塞腔 （包括残余容积），低压燃油的压力为0.5 MPa。喷油器喷嘴结构如图4所示，针 阀直径为2.5mm、密封座是半角为9°的圆锥，最下端喷孔的直径为1.4mm。针阀 升程为0时，针阀关闭；针阀升程大于0时，针阀开启，燃油向喷孔流动，通过喷 孔喷出。在一个喷油周期内针阀升程与时间的关系由附件2给出。在问题1中给出 的喷油器工作次数、高压油管尺寸和初始压力下，确定凸轮的角速度，使得高压 油管内的压力尽量稳定在100 MPa左右。 问题 2 的思考角度与问题一类似，可以将其归结为一个目标规划类问题，不 过问题思考的角度更加困难了而已，需要捋清楚的关系就是在问题一中 A 口的压 强是固定的，但是在问题二中 A 口压强会由于高压油泵的变化而发生改变，但思 考角度与问题一类似，由于喷油嘴的工作时间和效率基本是能够确定下来的，所 以我们应该用不变量去推导变量，不变量就是喷油嘴，其变化已经在附件二中给 出，所以我们应该根据附件二带来的流量变动来近似推导 A 口的流量变动，而 A 口的又是由高压油泵的变动引起的，而高压油泵又是由凸轮的角速度决定的，所 以首先应该列清楚各部分之间左右的关系，这个在附件中已经给出，可以通过构 

2019 数学建模国赛 A 题解题思路（公众号“科研交流”提供，请勿外传） 建关联系数或者回归模型等来得出即可，其逻辑关系得出后，未知数设置变成了 角速度为 x，目标函数保持不变，但求解目标函数的关系式更加复杂而已，约束 条件增加，求解模型不变即可。 更多资料您可以关注bilibili平台，科研交流，会定期上传至平台相关参考资 料，谢谢合作，本次竞赛所有资料均为免费获取。 图3 高压油管实际工作过程示意图 图4 喷油器喷嘴放大后的示意图 问题3. 在问题2的基础上，再增加一个喷油嘴，每个喷嘴喷油规律相同，喷 油和供油策略应如何调整？为了更有效地控制高压油管的压力，现计划在D处安 装一个单向减压阀（图5）。单向减压阀出口为直径为1.4mm的圆，打开后高压油 管内的燃油可以在压力下回流到外部低压油路中，从而使得高压油管内燃油的压 力减小。请给出高压油泵和减压阀的控制方案。 图5 具有减压阀和两个喷油嘴时高压油管示意图 问题三在思考时要协调开喷油还要在重新计算凸轮角速度，所以角速度是未 知量，两个喷油嘴的时间间隔也是未知量，规划函数不变，不过规划函数内多了 一个未知量而已；对于增加一个 D，实际上在一个喷油器工作次数固定情况下， 

2019 数学建模国赛 A 题解题思路（公众号“科研交流”提供，请勿外传） 为了提高效率可以适当增加凸轮速度，原本如果凸轮速度过快，会导致 A 口流量 增加，而喷油器效率固定很容易产生挤压，增大油管密度，从而改变压强，而现 在如果设置 D，则可以调整角速度使得工作效率提高，思考的点就是找出在原来 方案情况下，找到 A 口流量加剧导致的高压油管压力升高的点即可，求解的思路 类似。 更多资料您可以关注bilibili平台，科研交流，会定期上传至平台相关参考资 料，谢谢合作，本次竞赛所有资料均为免费获取。