矩阵论课后习题答案.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.43M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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习题一

A=P

U=,U

UAU=

B=UU

(3)(1).任取x

习题二

习题三

P=,P

P=P=

A(t)=,

习题四

A===QR

A==QR

H=,H=

HAH==

习题五

1．设x=为对应于特征值

习题六

习题七

习习习习题题题题一一一一 1.1.1.1. 设 λ为的任一特征值,,,,则因 λ=0=0=0=0 或 2.2.2.2. 2.2.2.2. AAAA～BBBB,,,, CCCC～DDDD时,,,, 分别存在可逆矩阵 PPPP和 QQQQ,,,, 使得 PPPP 1− APAPAPAP====BBBB,,,, QQQQ 1− CQCQCQCQ====DDDD....令 OOOO 的特征值,,,, 故 2 − 为 AAAA λλ 2 2 − λλ − AAAA22 = = 2 0 .... 即 TTTT==== ⎛ ⎜⎜ ⎝ OOOOPPPP ⎞ ⎟⎟ QQQQOOOO ⎠ OOOOPPPP ⎛ 1 − ⎜⎜ QQQQOOOO 1 − ⎝ 则 TTTT是可逆矩阵,,,,且 TTTT 1− ⎛ ⎜⎜ ⎝ 3.3.3.3. 设 iiiixxxx 是对应于特征值 iλ的特征向量,,,, 则 AAAA iiiixxxx==== iλ iiiixxxx,,,, 用 1−AAAA 左乘得 OOOOAAAA ⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ CCCCOOOO ⎝ ⎠ OOOOAAAA ⎞ ⎟⎟ CCCCOOOO ⎠ OOOOPPPP ⎞ ⎟⎟ QQQQOOOO ⎠ ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠ TTTT==== ⎛ ⎜⎜ ⎝ ==== OOOOBBBB ⎞ ⎟⎟ DDDDOOOO ⎠ λ= xxxx iiii 1− xxxxAAAA iiii iiii ....即 1 − xxxxAAAA iiii λ= 1 − iiii xxxx iiii 故 1− iλ 是 AAAA的特征值,,,, iiii====1,2,1,2,1,2,1,2, ,⋯ nnnn.... 4.4.4.4. (1)(1)(1)(1) 可以.... ==== AAAAEEEE−λ ( − λλλ )(1 )(1 + − )2 ,,,, =PPPP (2)(2)(2)(2) 不可以.... (3)(3)(3)(3) PPPP = 010 101 110 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ,,,, − 1APAPAPAPPPPP = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ,,,, − 1APAPAPAPPPPP = 1 ⎛− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 .... ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − − 21 4 003 04 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 .... ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 5.5.5.5. (1)(1)(1)(1) AAAA的特征值是 0,0,0,0, 1,1,1,1, 2.2.2.2. 故 AAAA====－((((bbbb－aaaa)))) 2 =0.=0.=0.=0. 从而 bbbb====aaaa....又 = AAAAIIII −λ 1 −λ a − 1 − 01 ⎛− ⎜ 0 ⎜ ⎜ 01 ⎝ ==== ( AAAAIIII−λ − λ a − 1 −λ a − 1 ⎞ ⎟ 01 ⎟ ⎟ 1 ⎠ λ + (2)(2)(2)(2) PPPP==== ()2 2 .... )1 6.6.6.6. 1 − a − 1 −λ ==== − aλλλ 2 − − 2 3 ( 2 + )2 将λ=1,=1,=1,=1, 2222 代入上式求得 AAAA=0.=0.=0.=0. ,,,, AAAA有特征值 2,2,2,2, 2,2,2,2, －1.1.1.1. λ=2=2=2=2 所对应的方程组 (2(2(2(2IIII－AAAA))))xxxx=0=0=0=0 有解向量 pppp1==== λ====－1111 所对应的方程组 ((((IIII++++AAAA))))xxxx=0=0=0=0 有解向量 pppp3 ==== 令 PPPP=(=(=(=(pppp ,1 pppp ,2 pppp3 )=)=)=)= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 2 ⎛ ⎜ AAAA100 ====PPPP ⎜ ⎜ ⎝ 111 004 140 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 2 100 ,,,, 则 PPPP 1− ==== ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 4 − 16 1 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 PPPP 1− ==== 24 − 0 ⋅− 244 1 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 100 2 23 ⋅ 2 100 0 4 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 100 2 − .... 于是有 − 1 0 100 − 1 .... ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − 241 ⋅ 100 1 ,,,, pppp2 ==== ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ 3 1 4 1 − 100

7777． (1)(1)(1)(1) AAAAIIII−λ ==== (2 +λλ )1 ====DDDD3 ((((λ),),),), λIIII－AAAA有 2222 阶子式 1 − 21 λ − 1 − 17 − ====λ－4444 λ－4444 不是 DDDD3 (((( λ))))的因子,,,, 所以 DDDD2 (((( λ)=)=)=)=DDDD1(((( λ)=1, )=1, AAAA的初等因子为 λ－1,1,1,1, )=1, )=1, 标准形为 JJJJ ==== 设 AAAA的相似变换矩阵为 PPPP=(=(=(=(pppp1,,,,pppp2 ,,,,pppp3),),),), 则由 APAPAPAP====PJPJPJPJ得 2λ .... AAAA的 Jorda Jorda Jordannnn Jorda pppp −= 1 = = ApApApAp 1 ApApApAp 2 ppppApApApAp 2 0000 解 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 3 4 001 00 1 000 1 − 2 − 2 ;;;; ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 出 PPPP==== − − 1 1 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − (2)(2)(2)(2) 因为 λλDDDD − = ( ) ( 3 ()1 2 − λ ),2 DDDD 2 λ DDDD ) ( 1 = λ ( 1) = ，故 AAAA～JJJJ==== 设变换矩阵为 PPPP=(=(=(=( pppppppppppp 3 1 , , 2 ),),),), 则 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ),2 ppppApApApAp 1 ppppppppApApApAp 2 2 ApApApAp 3 += λλDDDD + 1 2pppp 3 ) = = = (2 ,1 ⇒PPPP==== (3)(3)(3)(3) DDDD 3 ( λλ = ) AAAAIIII − = ( + λ 2 ()1 − λ ....AAAA的不变因子是 011 010 200 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 8 5 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 03 ⎛ ⎜ 3 1 ⎜ ⎜ 02 ⎝ =λDDDD 1) (1 1 − − − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − 1 2 ,11 =dddd += λdddd 2 ,1 λdddd + 3 = ( )(1 − λ )2 AAAA～JJJJ==== 因为 AAAA可对角化，可分别求出特征值－1111，2222 所对应的三个线性无关的特征向量：当 λ====－1111 时，解方程组 ( + xxxxAAAAIIII = ) ,0 求得两个线性无关的特征向 =pppp 1 当 λ=2=2=2=2 时，解方程组 2( − xxxxAAAAIIII = ) ,0 得 3pppp = ⎛− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,,,, PPPP==== 1 − 0 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 2 1 0 (4)(4)(4)(4) 因 λ AAAAIIII =− + λ 1 1 21 λ 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 − 3 − 4 − λ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ～设变换矩阵为 PPPP==== ( pppppppppppp 3 1 , , 2 ) ,,,, 则 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( λ 1 1 − λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ppppApApApAp 1 ppppApApApAp 2 ppppppppApApApAp 3 = = = + 2 1 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − 2)1 ,,,, 故 AAAA～JJJJ==== 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ , ⎟ ⎟ ⎠ 2pppp = ⎛− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 1 1 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 11 10 1, pppppppp 是线性方程组 2 ( − xxxxAAAAIIII ) 0000= 的解向量，此方程仴的一般解形为 pppp==== ts 3 +− ⎞ ⎟ s ⎟ ⎟ t ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 取 1pppp = ⎛− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,,,, 2pppp = 3 0 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 为求滿足方程 ( ppppAAAAIIII − 3 ) −= pppp 2 的解向量 3pppp,,,, 再取 2 pppppppp = 根据 , 2

由此可得 ssss====tttt,,,, 从而向量 xx 1 2 + − x 3 3 −= s ～ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 − 0 0 11 00 00 s − ⎞ ⎟ ts 3 3 − ⎟ ⎟ ts − ⎠ 的坐标应満足方程 22 11 11 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 − 3 − 3 − ( ts 3 − ⎞ ⎟ s − ⎟ ⎟ t − ⎠ xxx=pppp , ) T 3 3 2 31 − 01 0 1 , 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 − 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ .... AAAA的最小多项式为 4 (λAm ++++ ) + 48 95 61 − ,,,, 设 ffff((((λ)=)=)=)= 4 2 λ 24 2 37 − λ λ 3 − ⎛ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ IIIIAAAA 10 10 ==== + − 7 37 3 ( 2 − λλλAAAAm ) = ,,,, 于是 26 − ⎞ ⎟ 61 − ⎟ ⎟ 34 ⎠ 3 12 λ − 19 2 λ + .... 取 )0,0,1(−=pppp 3 T ,,,, 最后得 PPPP==== 8.8.8.8. 设 ffff((((λ)=)=)=)= ((((λ)=()=()=()=( 4 + 2 2 8 λλλλ + ),),),), 2 14 3 5 − − λλλλ + 9 3 2 − 5 + 4 5 − ffff((((AAAA)=)=)=)= AAAA 24 2 − + 1 ,,,,作带余除法得 ffff 9.9.9.9. AAAA的最小多项式为 ffff((((λ)=)=)=)= 2( 2 λ AAAAm+ ( ) )5 λ 2 ( ) 6 = λλλAm 2+λ .... 于是 [[[[ffff((((AAAA)])])])] 1− ==== ++++ + ( + IIIIAAAA 1)2 − ....由此求出 [[[[ffff((((AAAA)])])])] 1− ==== − 29 + λ ,,,,则 37 1 ⎛ ⎜⎜ 23 ⎝ 17 32 ⎞ ⎟⎟ ⎠ − ,,,, AAAA的最小多项式为 ( −λ 2)1 ;;;; 10.10.10.10. (1)(1)(1)(1) λIIII－AAAA==== 21 λ 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ )(1 − λ + + λ 1 1 )1 ;;;; 6 − 3 − 4 − λ (3)(3)(3)(3) 标准形 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2λ .... 1 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 − λ 0 1 0 0 − 2)1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ( λ 2)2)2)2) ( λ ,,,, AAAA==== − − − 11 34 88 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 1 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 11.11.11.11. 将方程组写成矩阵形式:::: x d 1 t d x d 2 t d x d 3 t d ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 11 − 34 − 88 − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 1 x 2 x 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − ,,,, xxxx = xxxx 1 xxxx 2 xxxx 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,,,, 则有 JJJJ====PAPPAPPAPPAP 1− ==== 11 1 0 00 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 −1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,,,, ....其中 PPPP==== ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 令 x=Pyx=Pyx=Pyx=Py,,,, 将原方程组改写成 :::: d d JyJyJyJyyyyy , = t 则 d d = xxxx t ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x d 1 t d x d 2 t d x d 3 t d 001 ⎞ ⎟ 012 ⎟ ⎟ 124 ⎠ ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y d 1 t d y d 2 t d y d 3 t d −= = = .... y 1 yy 1 2 + y 3 解此方程组得:::: yyyy1====CCCC1eeeet++++CCCC2TTTTeeee t,,,, yyyy2 ====CCCC2 eeeet,,,, yyyy3 ====CCCC3 eeee t− .... 于是 xxxx====PyPyPyPy==== t t c e 1 t + tc e ⎛ + ⎜ 2 t(c ) c e1 e2 2 + ⎜ 1 2 ⎜ c t(c c) e2 4 e4 t t + + + ⎝ 1 2 3 ,,,,AAAA有特征值 10,10,10,10, 2,2,2,2, 2.2.2.2. ( )(10 2)1 λ − − λ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ e −t .... t (1)(1)(1)(1) AAAA是实对称矩阵.... 12.12.12.12. 当 λ=10=10=10=10 时.... 对应的齐次线性方程组 (10(10(10(10IIII－AAAA))))xxxx=0=0=0=0 的系数矩阵 AAAAIIII−λ ==== 3

8 2 2 − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 22 45 54 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ～ 102 110 000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 由此求出特征向量 pppp1=(=(=(=(－1,1,1,1, －2,2,2,2, 2)2)2)2) T ,,,, 单位化后得 eeee1==== (((( − 当 λ=1=1=1=1 时,,,, 对应的齐次线性方程组 ((((IIII－AAAA))))xxxx=0=0=0=0 的系数矩阵 1 − 2 − 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − − 2 4 4 2 4 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − ～ 21 00 00 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 3 , − 2 3 , )))) T .... 2 3 由此求出特征向量 pppp2 =(=(=(=(－2,2,2,2, 1,1,1,1, 0)0)0)0) T ,,,, pppp3 =(2,=(2,=(2,=(2, 0,0,0,0, 1)1)1)1) T .... 单位化后得 eeee2 =(=(=(=( − 2 5 , 1 5 0, )))) T ,,,, − 2 5 1 5 0 − − 1 3 2 3 2 3 2 53 4 53 5 53 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ,,,, 则 UUUU 1− AUAUAUAU==== 10 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 .... ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 eeee3 =(=(=(=( 2 53 , 4 53 , 5 53 )))) T .... 令 UUUU==== (2)(2)(2)(2) AAAA是 Hermit Hermit Hermit 矩阵.... 同理可求出相似变换矩阵 Hermit 1 2 − 0 0 UUUU==== − ,,,, UUUU 1− AUAUAUAU==== ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 2 .... ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ i 2 1 2 i − 2 1 2 1 2 i 2 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 13.13.13.13. 若 AAAA是 Hermit Hermit 正定矩阵,,,,则由定理 1.241.241.241.24 可知存在 nnnn阶酉矩阵 UUUU,,,, 使得 Hermit Hermit UUUUHAUAUAUAU==== λ 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ nλ ⎠ λ 1 λ 2 ⋱ ⎛ ⎜ ⎜ ==== UUUU ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ,,,, iλ ﹥0,0,0,0, IIII====1,1,1,1, 2,2,2,2, λ 1 ⎛ ⎜ ⎜ ,⋯ nnnn....于是 AAAA====UUUU ⎜ ⎜⎜ ⎝ λ 2 ⋱ λ 2 ⋱ λ 1 ⎛ ⎜ ⎜ UUUUHUUUU ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ 2 ⋱ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ nλ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ nλ ⎠ λ 1 UUUUH ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ nλ UUUUH 令 λ 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ BBBB====UUUU ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ nλ ⎠ ⎝ 则 A=BA=BA=BA=B2....反之,,,,当 A=BA=BA=BA=B2 且 BBBB是 Hermit Hermit Hermit 正定矩阵时,,,,则因 Hermit Hermit Hermi Hermitttt Hermit Hermit Hermi Hermit 正定矩阵的乘积仍为 Hermi 正定矩阵,,,,故 AAAA是 Hermit Hermit Hermit 正定的.... Hermit Hermit 矩阵,,,,则存在酉矩阵 U,U,U,U,使得 UUUUHAUAUAUAU=diag( (2). 因 AAAA是 Hermit 1 ⋯ )))) Hermit (2). 14.14.14.14. (1)(1)(1)(1) ⇒ (2). =diag( (2). Hermit =diag( =diag( , , nλ λλ 2 令 xxxx====UyUyUyUy,,,, 其中 y=ey=ey=ey=ek.... 则 xxxx≠ 0.0.0.0. 于是 xxxxHAxAxAxAx====yyyyH ((((UUUUHAUAUAUAU))))yyyy==== kλ ≧0000 ((((kkkk=1,=1,=1,=1, 2,2,2,2, ,⋯ nnnn).).).). UUUUH ⋱ , 4

1 ⋯ ))))UUUUH====UUUUdiag( (3). AAAA====UUUUdiag( diag( (3). (2)(2)(2)(2) ⇒ (3). diag( diag( (3). diag( diag( diag( , λλ 2 , , λλ 令 1 2 (1). 任取 xxxx≠ 0,0,0,0, 有 xxxxHAxAxAxAx====xxxxHPPPPHPxPxPxPx==== (1). (3)(3)(3)(3) ⇒ (1). (1). , nλ PPPP=diag( =diag( =diag( =diag( , , ⋯ nλ )diag( )diag( )diag( )diag( , , λλ 2 1 ))))UUUUH,,,, 则 AAAA====PPPPHPPPP.... ⋯ , nλ 2 2PxPxPxPx ≧0.0.0.0. 习习习习题题题题二二二二 λλ 1 2 , , ⋯ , ))))UUUUH nλ 1xxxx ==== 1.1.1.1. 2 i4 i1 +−++ =max{ =max =max ∞xxxx =max , − , i1 2 + 2.2.2.2. 当 xxxx≠ 0000 时,,,, 有 xxxx ﹥0;0;0;0; 当 xxxx﹦0000 时,,,, 显然有 xxxx=0.=0.=0.=0. 对任意 ∈λ CCCC,,,, 有 =7+=7+=7+=7+ 2 ,,,, 01 ++ }1 =4.=4.=4.=4. , i4 −+− i)4i(4 i)1i)( 2xxxx ==== )2( 1( − + + 2 + 1 ==== 23 ,,,, nnnn nnnn xxxxλ ==== = ∑ ξωλ kkkkkkkk Minkowski 为证明三角不等式成立,,,,先证明 Minkowski Minkowski 不等式:::: Minkowski λξω kkkk ∑ λ kkkk 1 = = kkkk = kkkk 2 1 2 xxxx .... 设 1111≦pppp﹤∞,,,, 则对任意实数 xxxxk,,,,yyyyk((((kkkk=1,=1,=1,=1, 2,2,2,2, ,⋯ nnnn))))有 k yx k + p ) 1 p ≦ ( 1 pp ) + ( x k n ∑ k 1 = 1 pp ) y k n ∑ k = 1 证当 pppp=1=1=1=1 时，此不等式显然成立.... 下设 pppp﹥1,1,1,1, 则有 k yx k + p ≦ yxx kk k + p − 1 + yxy k k + k p − 1 n ∑ k = 1 n ∑ k 1 = n (∑ k 1 = n ∑ k = 1 对上式右边的每一个加式分别使用 HHHHölder 不等式, 并由 (p－1)q=p, 得 n ∑ k = 1 k yx k + p ≦ ( n ∑ k 1 = 1 p ( x k p ) n ∑ k 1 = yx k k + ( qp )1 − 1 q ) + ( n ∑ k 1 = 1 p ( y k p ) n ∑ k 1 = yx k k + ( qp )1 − 1 q ) ==== [( 1 q k yx k + p ) n ∑ k = 1 1 p + ( x k p ) n ∑ k = 1 1 p ]( y k p ) n ∑ k = 1 1 q yx k k + p ) Minkowski 除上式两边,,,,即得 Minkowski Minkowski 不等式.... Minkowski 2 , , 1 ⋯ )))) T ∈CCCC n,,,, 则有 , nnnnηηη nnnn ∑ 2ηξω kkkk ==== ∑ kkkkkkkk + ( n kkkk = 1 k = 1 ηξω k kk + 2) n ≦ ∑ k = 1 ( ηωξω kk kk + 2) 再用 n (∑ k 1 = 现设任意 yyyy=(=(=(=( yyyyxxxx + = n ∑ k = 1 ≦ ( ξω kk 2 ) + ( ηω j k 2 ==== yyyyxxxx + .... n ∑ k = 1 3.3.3.3. (1)(1)(1)(1) 函数的非负性与齐次性是显然的,,,,我们只证三角不等式....利用最大函数的等价定义:::: max(max(max(max(AAAA,,,, BBBB)=)=)=)= ≦max(max(max(max( ) bbbb xxxx aaaa + ( 1 2 xxxxyyyy , aaaa baba ) −++ + bbbb yyyy bbbb )))) ) xxxx aaaa + + bbbb yyyy + aaaa yyyy + bbbb xxxx aaaa + yyyy − aaaa xxxx − bbbb yyyy bbbb max(max(max(max( yyyyxxxxyyyyxxxx + + , aaaa xxxx ( xxxx + aaaa xxxx + bbbb yyyy + aaaa yyyy − xxxx bbbb + yyyy − aaaa yyyy bbbb ) aaaa xxxx aaaa bbbb xxxx + + aaaa xxxxxxxx , bbbb xxxx aaaa − xxxx )+max( )+max( )+max( )+max( bbbb =max( =max( =max( =max( bbbb + xxxx 1 ) ( + 2 aaaa yyyyyyyy , ==== ≦ ==== 1 ( 2 1 2 1 ( 2 yyyy + aaaa yyyy + bbbb yyyy aaaa − yyyy ) bbbb )))) bbbb 5

aaaayyyyxxxx+ (2)(2)(2)(2) 只证三角不等式.... kkkk1 =(=(=(=( kkkk1 4.4.4.4. bbbbyyyyxxxx+ ≦kkkk1 bbbbxxxx )+()+()+()+( kkkk1 ++++=AAAA 53 ++++kkkk2 aaaaxxxx ++++kkkk2 i1 1m aaaaxxxx ++++kkkk1 aaaayyyy ++++kkkk2 bbbbxxxx ++++kkkk2 bbbbyyyy aaaayyyy ++++kkkk2 bbbbyyyy )))) .... 18 i4 =+++ 132 + 2 ;;;; 2 2 ;;;; ;;;; ∞ 2 2 2 2 F 3 5 3 + + + i4 15 66 AAAA i1 + m = =AAAA 1 2 =+ + + ∞AAAA ====行和范数((((最大行模和)=9)=9)=9)=9 ;;;; ;;;; =1AAAA 列和范数((((最大列模和)=)=)=)= 2 7 + 5.5.5.5. 非负性:::: AAAA≠OOOO时 SSSS 1− AAAASSSS≠O,O,O,O, 于是 1ASASASASSSSSAAAA 齐次性:::: 设λ∈C,C,C,C, 则 ) 三角不等式:::: ( SSSSAAAASSSSAAAA λ 1 m 1ASASASASSSSS− 1 = ( = ASASASASSSSS λ = m SSSSBBBBAAAASSSSBBBBAAAA BSBSBSBSSSSSASASASASSSSS ) = BSBSBSBSSSSS 1 + = − m SSSS ASSASSASSASS BSBSBSBS 1 1 − − BSBSBSBSSSSSASASASASSSSS 相容性:::: 6.6.6.6. 因为 IIIIn≠OOOO,,,, 所以 nnnnIIII ＞0.0.0.0.从而利用矩阵范数的相容性得:::: SSSSABABABABSSSS ==== λ AAAA;;;; BBBBAAAA ABABABAB m = ≦ λ ;;;; 1 = + + + + = ) ( m m m m m m − − − − 1 − 1 − 1 − 1 − − 1 ==== AAAA BBBB .... m ＞0.0.0.0. AAAA====OOOO时,,,, 显然 AAAA=0;=0;=0;=0; 7. 设 AAAA=(AAAAij)∈CCCC nn× , xxxx= IIIIIIII nnnnnnnn ),,,( T ξξ ∈ 1 IIII = nnnn n⋯ ξ 2 ≦ nnnnIIII C n, 且 AAAA= nnnnIIII ,,,,即 nnnnIIII ≧1.1.1.1. , 则 a ij max ji , AxAxAxAx 1 ∑∑= iiii kkkk ξa kkkkikikikik ≦∑∑ i k ika ξ ====∑ ∑ k a ] ik [ξ k k i ≦nAnAnAnA∑ k kξ ==== ∞mAAAA 1xxxx ;;;; AxAxAxAx 2 = ∑∑ iiii kkkk 2 [ ξa kkkkikikikik ≦ ∑ ∑ ==== nAAAA 2xxxx ≦nAnAnAnA==== k i ika ξ ==== ∑ ∑ [ ξ k a 2 2] k 2 ] i k ∞mAAAA 2xxxx .... 8.8.8.8. 非负性与齐次性是显然的,,,, 我们先证三角不等式和相容性成立.... AAAA=(=(=(=(aaaaij),),),), BBBB=(=(=(=(bbbbij))))∈CCCC nm× ,,,, CCCC=(=(=(=(ccccst))))∈CCCC ln× 且 AAAA==== MBBBBAAAA+ ba + ≦max{m ,n }(AAAA+BBBB) ij ≦max{m ,n } =max{m,n} ba + ij ij max ji , .... 则 ,,,, BBBB==== ,,,, CCCC==== a ij a ij ) max ji , max ji , ij c max st ts , (max ji , M BBBBAAAA + , ∑ {max ti (Minkowski (Minkowski 不等式)))) (Minkowski (Minkowski ca kt ik } ; M k M CCCCAAAA M .... 下证与相应的向量范数的相容性.... =max{m ,n }AAAA+max{m ,n }BBBB= =max{mmmm,,,,llll}}}} ∑ =max{ =max{ MACACACAC =max{ max ti , ca ik kt ≦max{max{max{max{mmmm,,,,nnnn}}}} ≦max{max{max{max{mmmm,,,,nnnn}}}} ∑ =max{mmmm,,,,nnnn}}}}nACnACnACnAC≦max{max{max{max{mmmm,,,,nnnn}max{ }max{nnnn,,,,llll}}}}ACACACAC==== =max{ }max{ =max{ }max{ =max{ {max ti , ∑ c kt } k k ⋅ 2 2 k a ik max {{{{ kξ },},},}, 则有 2 ∈ 设 xxxx==== CCCC n,,,, dddd==== T n⋯ ),,,( ξξ ξ 1 ≦∑∑ kξ ≦max{max{max{max{mmmm,,,,nnnn}}}}AAAA∑ ika ξ ====∑ ∑ kξ ==== ∑∑= kkkkikikikikaaaa ξξξξ knaξ ====nAnAnAnA∑ (ξ iiii kkkk i k k k k i k a ) ik k k AxAxAxAx 1 ≦ ∑ k M xxxxAAAA 1 ;;;; 6

2 2AxAxAxAx ==== ∑ ∑ kika ξ ≦ ∑ ∑ ( ika ξ ≦ ∑ ∑ ∑ 2 ξ k ika 2) ( k 2 ) lder (H(H(H(Hölder lder 不等式)))) lder i k i k i k k ∑∑ ⋅ ika 2 ==== AxAxAxAx ∞ = i k nnnn {max iiii ∑ kkkk 1 = ξa ≦ kkkkikikikik } ∑ k 2 k ξ ≦ mnAAAA 2xxxx ≦max{max{max{max{mmmm,,,,nnnn}}}}AAAA 2xxxx ==== 2 ∑ ∑ ⋅ ξ ≦ k {max a ik a ik {max } ∑ n i k k i k 1 = M xxxxAAAA 2 ;;;; 2 ξ ≦ k } max{ i na 2 nd 2 ⋅ } ====nADnADnADnAD≦max{max{max{max{mmmm,,,,nnnn}}}}ADADADAD==== ∞xxxxAAAAM .... 9.9.9.9. 只证范数的相容性公理及与向量 2222–范数的相容性.... 设 AAAA=(=(=(=(aaaaij))))∈CCCC nm× ,,,, BBBB=(=(=(=(bbbbst))))∈CCCC ln× ,,,, xxxx==== T n⋯ ),,,( ξ ξξ 1 2 CCCC n且 AAAA==== ∈ max ji , a ij ,,,, BBBB==== max ts , b st ,,,, 则 ABABABAB G = ml max llllttttmmmmiiii 1 1, ≤≤ ≤≤ ba ktktktkt ikikikik ≦ ml ∑ {max ti , k ba kt ik } ∑ k bnl ) b kt 2 } (Minkowski (Minkowski 不等式)))) (Minkowski (Minkowski ==== G BBBBAAAA G .... nnnn ∑ kkkk 1 = a ik 2 ∑ ⋅ k amn )( 2 ≦ ml {max ti , ≦ mlnnnnabababab==== ( nnnn mmmm ∑∑ iiii 1 = kkkk 1 = ( i ≦ ∑ ∑ ≦ ∑ ==== G xxxxAAAA k na 2 ( .... i 2 AxAxAxAx 2 = ξa kkkkikikikik ≦ ∑ ∑ ( i k ika ξ k 2) ika 2 ∑⋅ k ξ k 2 ) lder （HHHHölder lder lder 不等式） ∑⋅ k 2 ξ ==== mnAAAA 2xxxx ) k 10.10.10.10. 利用定理 2.122.122.122.12 得 nnnnIIIIUUUUUUUUUUUU = = H 2 2 = .... 1 2 11.11.11.11. AAAA 1− ==== 1 2 1 1 − − − 3 4 1 2 1 1 2 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ condcondcondcond 1((((AAAA)=)=)=)= −AAAAAAAA 1 1 1 55 =⋅= 2 25 2 ;;;; condcondcondcond ∞ ((((AAAA)=)=)=)= ∞ AAAAAAAA − 1 ∞ =⋅= 25 10 .... 12121212．设 xxxx是对应于 λ的特征向量,,,, 则 AAAA mmmm 那么 mmmm λ xxxx vvvv = λ mmmm xxxxAAAAxxxx = mmmm vvvv ≦ vvvv xxxx mmmm λ= mmmm xxxxAAAA vvvv 因 vvvvxxxx ＞0,0,0,0, 故由上式可得 mmmmλ ≦ mmmmAAAA ⇒ λ≦ mmmm mmmmAAAA .... xxxx ....又设 v⋅ 是 CCCC n上与矩阵范数 ⋅ 相容的向量范数,,,, = )(2 − AAAAIIII λ 1.1.1.1. 2cλcλ ( ) − N 2.2.2.2. 令 SSSS )N( ====∑ kkkkAAAA ,,,, ) lim NNNN +∞→ + ( SSSS ( kkkk = 0 习习习习题题题题三三三三 ﹤﹤﹤﹤1111 时,,,, 根据定理 3.3,3.3,3.3,3.3, AAAA为收敛矩阵.... ,,,, 当 cλρ =)( NNNN ) ====SSSS,,,, 则 lim kkkk +∞→ AAAA kkkk ( ) = lim kkkk +∞→ kkkk ) ( SSSS ( kkkk ) − SSSS ( ) = 0 .... 7

反例:::: 设 AAAA ) 3.3.3.3. 设 AAAA==== ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ (kkkk ==== 1 k 0 7.01.0 6.03.0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ kkkk 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ,,,, 则 1 ,,,, 则因 ∑+∞ kkkk k =0 发散,,,, 故 ∑+∞ kkkk =0 ( kkkkAAAA 发散,,,, 但 ) lim kkkk +∞→ AAAA kkkk ( ) ====OOOO.... (AAAAρ ≦ ) =∞AAAA 行和范数=0.9=0.9=0.9=0.9＜1,1,1,1, 根据定理 3.7,3.7,3.7,3.7, ∑∞+ kkkk = 0 kkkk 7.01.0 6.03.0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ =(=(=(=(IIII－AAAA)))) 1− ==== 2 3 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 74 93 .... ⎞ ⎟⎟ ⎠ 4.4.4.4. 我们用用两种方法求矩阵函数 eeee AAAA:::: 相似对角化法.... i=λ − AAAAIIII λ 2 aλ 2 + = ,,,, a-a i, 当 =λ iiiiaaaa时,,,, 解方程组 (i(i(i(iaaaa－AAAA))))xxxx====0000,,,, 得解向量 pppp1=(i=(i=(i=(i,,,, 1)1)1)1) T .... 当 λ====－iiiiaaaa时,,,, 解方程组 (i(i(i(iaaaa++++AAAA))))xxxx====0000,,,, 得解向量 pppp2 =(=(=(=(－iiii,,,, 1)1)1)1) T ....令 PPPP==== i ⎛ ⎜⎜ 1 ⎝ − i 1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ,,,, 则 PPPP 1− ==== 1 i2 ⎛ ⎜⎜ ⎝ i1 i1 − ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ,,,, 于是 eeee AAAA====PPPP ⎜⎜ ⎝ i a 0 0 ⎞ ⎟⎟ − a ⎠ i PPPP 1− ==== cos sin a-a ⎞ ⎟⎟ a a ⎠ sin cos ⎛ ⎜⎜ ⎝ .... 利用待定系数法.... 设 eeee λ=(=(=(=( 2λ ++++aaaa2 ))))qqqq(((( λ)+)+)+)+rrrr(((( λ),),),), 且 rrrr(((( λ)=)=)=)=bbbb0 ++++bbbb1 λ,,,, 则由 i abb ⎧ = 0 ⎨ abb = ⎩ 0 + − 1 i 1 i a e − a i e ⇒bbbb0=cos=cos=cos=cosaaaa,,,, bbbb1==== 1 sinsinsinsinaaaa....于是 a 1 sinsinsinsinaaaa ⎛ ⎜⎜ a ⎝ a ⎞ ⎟⎟ ⎠ a ==== a sin ⎞ ⎟⎟ a cos ⎠ 后一求法显然比前一种方法更简便,,,, 以后我们多用待定系数法.... 设 ⎛ eeee AAAA====bbbb0IIII++++bbbb1AAAA=cos=cos=cos=cosaaaa ⎜⎜ ⎝ cos sin a a ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ ++++ − − 1 1 .... 1 = = sini sini i i 1 0 = −= ffff((((λ)=cos )=cos )=cosλ,,,, 或 sinsinsinsinλ )=cos abb a + ⎧ 0 ⎨ a-abb − ⎩ 0 b ⎧ ⎪ 0 ⎨ b ⎪⎩ 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ isini 0 0 isini a ⎞ ⎟⎟ ⎠ i a sini a a − 由此可得故 (((( i sini siniaaaa))))AAAA==== sinisini a2 则有与与 =sin=sin=sin=sinAAAA 与 ((((cosicosicosicosiaaaa))))IIII==== abb = ⎧ 0 ⎨ abb = ⎩ 0 + − i i 1 1 cos cos i i a a i a cos 0 = = b ⎧ 0 ⎨ b ⎩ 1 cosi ⎛ ⎜⎜ 0 ⎝ a 0 cosi ⎞ ⎟⎟ a ⎠ =cos=cos=cos=cosAAAA.... 5.5.5.5. 对 AAAA求得 − − PPPP==== ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 3 3 11 ⎞ ⎟ 01 ⎟ ⎟ 01 ⎠ 根据 p69p69p69p69 方法二,,,, ,,,, PPPP 1− ==== 1 6 0 0 6 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 11 33 24 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,,,, PPPP 1− APAPAPAP==== 1 ⎛− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 eeee AtAtAtAt====PPPPdiag(e diag(e tttt− ,e,e,e,e tttt,e,e,e,e tttt2 ))))PPPP 1− ==== diag(e diag(e 2t e6 0 0 1 6 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e4 2 tttt − e3 tttt e3 tttt − tttt tttt e3 e − e3 tttt + − e3 − − tttt 8 e2 2 tttt − e3 tttt e3 tttt − tttt e tttt tttt e3 + e3 − − e3 + tttt − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

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